Приближенное решение уравнений второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , неоднородное — y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) . F ( x ) , p ( x ) и q ( x ) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x . Частным случаем принято считать p ( x ) = p и q ( x ) = q , то есть при наличии постоянных в записи функции.

Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

Общее решение y 0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) , располагаемых на x , считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , где имеются произвольные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) из интервала x при наличии коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и функции f ( x ) является сумма вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 , где y

считается одним из общих решений ЛНДУ.

Отсюда следует, что

• выражение y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 считается общим решением дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , а y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями;
• y = y 0 + y

обозначают в качестве общего решения уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , где y

принимает одно из любых частных решений, y 0 соответствует общему решению ЛОДУ.

После чего необходимо находить y 1 , y 2 и y

Если функции простые, то применяется метод подбора.

Линейно независимые функции y 1 и y 2 находятся из

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x .

Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ‘ ( x ) y 2 ‘ ( x ) . Когда функции располагаются на интервале х , тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.

Когда имеются функции вида y 1 = 1 и y 2 = x , где x принадлежит множеству действительных чисел, то W ( x ) = 1 x 1 ‘ x ‘ = 1 x 0 1 = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R .

Функции вида y 1 = sin x и y 2 = cos x считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W ( x ) = sin x cos x ( sin x ) ‘ ( cos x ) ‘ = sin x cos x cos x — sin x = = — sin 2 x — cos 2 x = — 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R

Функции y 1 = — x — 1 и y 2 = x + 1 считаются линейно независимыми из интервала ( — ∞ ; + ∞ )

W ( x ) = — x — 1 x + 1 — x — 1 ‘ ( x + 1 ) ‘ = — x — 1 x + 1 — 1 1 = = — x — 1 + x + 1 = 0 ∀ x ∈ R

Не всегда можно подобрать y 1 , y 2 , y

. Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения y 1 ЛОДУ второго порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y = y 1 · ∫ u ( x ) d x .

Найти общее решение уравнение вида y » — y ‘ + y x = 0 .

Решение

Частное решение записывается как y 1 = x для дифференциального уравнения y » — y ‘ + y x = 0 , когда x не равен 0 . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y = y 1 · ∫ u ( x ) d x = x · ∫ u ( x ) d x , а итоговое значение примет вид интеграла ∫ u ( x ) d x = y x .

По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

y ‘ = x · ∫ u ( x ) d x ‘ = x ‘ · ∫ u ( x ) d x + x · ∫ u ( x ) d x ‘ = = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) = y x + x · u ( x ) y » = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) ‘ = ∫ u ( x ) d x ‘ + x ‘ · u ( x ) + x · u ‘ ( x ) = = 2 u ( x ) + x · u ‘ ( x )

Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

y » — y ‘ + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — y x — x · u + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — x · u = 0 ⇔ x · d u d x + u · — x + 2 = 0 ⇔ d u u = 1 — 2 x d x , u = 0

Интегрируем обе части выражения и получаем, что ln u + C 1 = x — 2 ln x + C 2 ⇔ ln u = x + ln 1 x 2 + C 2 — C 1 . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u = C · e x x 2 с C являющейся произвольной постоянной.

Ответ: из выражения y = x · ∫ u d x очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y = x · C · ∫ e x x 2 d x = x · C · ( F ( x ) + C 3 ) , когда F ( x ) считается одной из первообразных функции e x x 2 .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) нужно подбирать y

, если возможно найти y 1 и y 2 . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случаем ЛОДУ принимает вид y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y 0 = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 , где производные неизвестных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) можно определить из системы вида C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) , а получение самих функций производится путем интегрирования.

Найти общее решение уравнения y » — y = 2 x .

Решение

Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y » — y = 0 они являются y 1 = e — x и y 2 = e x , то есть выражение вида y 0 = C 1 · e — x + C 2 · e x . Изменяя постоянные, общее решение получит вид

y = C 1 ( x ) · e — x + C 2 ( x ) · e x .

Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) ⇔ C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 0 — C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 2 x

Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

∆ = e — x e x — e — x e x = e — x · e x + e — x · e x = 2 ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e x 2 x e x = — ( 2 e ) x ⇒ C 1 ‘ ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = — 1 2 · 2 e x ∆ C 2 ‘ ( x ) = e — x 0 — e — x 2 x = 2 e x ⇒ C 2 ‘ = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = 1 2 · 2 e x

После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C 1 ( x ) и C 2 ( x ) , запишем, что

C 1 ( x ) = — 1 2 · ∫ ( 2 e ) x d x = — 1 2 · ( 2 e ) x ln ( 2 e ) + C 3 = = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 C 2 ( x ) = 1 2 · ∫ 2 e x d x = 1 2 · 1 ln 2 e · 2 e x + C 4 = = 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4

Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

y = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 · e — x + 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4 · e x .

Итоги

• Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 выполняется из y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y 1 и y 2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены y = y 1 · ∫ u ( x ) d x , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
• Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) производится с помощью y = y 0 + y

является любым частным решением, а y 0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y 0 _, то есть общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , производится первоначально. После чего производится подбор y

. Если необходимо, то в начале производится подбор y 1 и y 2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:

,

а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:

,

где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.

Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:

Общее решениее y₀ ЛОДУ на интервале X с непрерывными коэффициентами на X — линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с произвольными постоянными коэффициентами , т.е. .

Общим решением y ЛНДУ на интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) является суммой , где y₀ — является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения , а — является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

• y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂ — является общим решением ЛОДУ , где y₁ и y₂ – являются его линейно независимыми частные решения,
• а — является общим решением ЛНДУ , где — является любым из частных решений уравнения, а y₀— является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Теперь рассмотрим методы определения y₁, y₂ и .

В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y₁ и y₂ чаще всего определяют из наборов:

Проверить линейную независимость функций y₁ и y₂ можно при помощи определителя Вронского:

.

Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.

Например, функции y₁ = 1 и y₂ = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что

.

Функции y₁ = sinx и y₂ = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что

А функции y₁ = — x — 1 и y₂ = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что

В общем случае определение функций y₁, y₂ и методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.

Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y₁ линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка , тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки .

Разберем метод на примере.

Необходимо вычислить общее решение ЛОДУ 2-го порядка .

Хорошо видно, что y₁ = x оказывается частным решением исходного уравнения при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену

откуда .

Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем

.

Интегрируем обе части равенства:

произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения

,

где С – является произвольной постоянной.

Т.к. мы принимали , то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:

,

где F(x) является одной из первообразных функции .

В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.

Решая ЛНДУ второго порядка , если получилось вычислить y₁ и y₂, тогда можно не подбирать . В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:

Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем

Производные неизвестных функции C₁(x) и C₂(x) вычисляются из системы уравнений

,

а функции C₁(x) и C₂(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФЕРХЮЛЬСТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФЕРХЮЛЬСТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Михеев А.В. *

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия

* Корреспондирующий автор (artem.v.miheev[at]gmail.com)

Аннотация

В данной работе рассматривается вопрос численного интегрирования дифференциального уравнения Ферхюльста второго порядка с заданными начальными условиями. Для этой цели используется два вида приближенных вычислений: расчёты в программе MathCAD (функция Odesolve) и представление решения в виде ряда Тейлора в окрестности точки, соответствующей начальным условиям. На основе рассматриваемого тестового примера проводится сравнение приближенных данных с точным решением уравнения. Полученные результаты представлены в аналитической и графической формах.

Ключевые слова: модель Ферхюльста, дифференциальные уравнения, динамические системы, численное моделирование.

ABOUT APPROXIMATE SOLUTION OF THE SECOND ORDER FERHULST EQUATION

Mikheev A.V.*

St. Petersburg State Electrotechnical University “LETI,” St. Petersburg, Russia

* Corresponding author (artem.v.miheev[at]gmail.com)

Abstract

In this paper, the author considers the issue of numerical integration of the second-order Verhulst differential equation with given initial conditions. Two types of approximate calculations are used for this purpose: calculations in the MathCAD program (Odesolve function) and representing the solution as a Taylor series in a neighborhood of a point corresponding to the initial conditions. Based on the test case in question, approximate data are compared with the exact solution to the equation. The results are presented in analytical and graphical forms.

Keywords: Verhulst model, differential equations, dynamical systems, numerical simulation.

Введение

Функция Ферхюльста была впервые предложена в работе [1] в качестве модели, описывающей процесс ограниченного экспоненциального роста. Данная модель находит широкое применение во множестве областей, таких как прикладная математика, биология, социология и т.д. Её общее представление имеет вид

(1)

В работе [2] были рассмотрены функции Ферхюльста вида

(2)

удовлетворяющие начальным условиям и ограниченные сверху горизонтальной асимптотой . Функции являются элементами фундаментальной системы решений (ФСР) линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) второго порядка с переменными коэффициентами:

(3)

При этом коэффициенты выражаются через функции ФСР согласно формулам:

(4)

(5)

В работе [3] автором была исследована зависимость частных решений уравнения (3) от вида начальных условий. Были обнаружены три вида решений: функции с двумя экстремумами, с одним экстремумом, а также монотонные функции.

Цель данной работы – рассмотреть два способа приближенного решения уравнения (3): при помощи разложения в степенной ряд по формуле Тейлора ([4]) и посредством функции Odesolve программного пакета MathCAD ([5]), а также сравнить полученные результаты с точным решением, представленным в виде линейной комбинации функций ФСР вида (2).

Численное интегрирование ЛДУ с помощью ряда Тейлора

Пусть имеется ЛДУ вида (3) с начальными условиями:

(6)

Тогда его частное решение, соответствующее начальным условиям (6), может быть представлено в виде степенного ряда:

(7)

(8)

В дальнейших вычислениях мы ограничимся нахождением коэффициентов ряда (7) до третьей степени включительно. Из уравнения (3) и начальных условий (6) имеем:

(9)

Из (4), (8), (9) мы получаем выражения для коэффициентов ряда (7) через параметры :

(10)

Численное интегрирование ЛДУ в MathCAD

Для приближенного решения ЛДУ в Mathcad предусмотрена функция Odesolve(t,p), t:=0,s..p где t – переменная, по которой производится интегрирование; p – верхняя граница, до которой проводится расчёт приближенного решения; s – шаг (расстояние между соседними точками, в которых находится значение решения). Начальные условия и само дифференциальное уравнение должны быть определены в блоке Given. На рисунке 1 приводится программный фрагмент, соответствующий решению уравнения (3) со следующими значениями:

(11)

Рис. 1 – Приближенное решение уравнения Ферхюльста в пакете MathCAD

Сравнительный анализ

На рисунке 2 представлены графики точного решения (Z(t)) ЛДУ (3) со значениями параметров (11) и двух видов его приближенного решения: полученного интегрированием в MathCAD (Y(t)) и разложением в ряд Тейлора до третьей степени (U(t)). Как видно из графиков, между точным решением и приближенным решением в программе MathCAD не имеется значимых расхождений. Что касается ряда Тейлора, как и следовало ожидать, при возрастании параметра t мы наблюдаем существенное увеличение абсолютной погрешности AU(t) приближенного решения. Её зависимость от параметра t приводится на рисунке 3.

Рис. 2 – Графики точного и приближенного решений уравнения Ферхюльста

Рис. 3 – Графики абсолютной погрешности приближенных решений уравнения Ферхюльста по отношению к точному решению

Заключение

Полученные результаты показывают, что приближенное решение в MathCAD для рассматриваемого типа уравнений является наиболее оптимальным с практической точки зрения. Недостатком данного способа решения является то обстоятельство, что пакет символьных вычислений MathCAD не позволяет получить требуемое решение в аналитической форме. Что касается использования разложения Тейлора, оно предоставляет требуемую точность лишь в малой окрестности точки начальных условий. Увеличение количества слагаемых, предоставляя лучшее приближение, позволяет повысить точность вычислений, однако из-за увеличения громоздкости выражения в (10) с ростом числа слагаемых затрудняется получение общего аналитического выражения коэффициентов через параметры, участвующие в исходной задаче.

Список литературы / References

1. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P. F. Verhulst // Corresp. Math et Phys. – 1838. – №10. – P. 113–121.
2. Михеев А. В. О динамических моделях типа Ферхюльста, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка / А. В. Михеев // Теория. Практика. Инновации. – 2017. – № 9 (21). – С. 29–33.
3. Михеев А. В. Исследование зависимости частных решений уравнения Ферхюльста второго порядка от начальных условий / А. В. Михеев // Теория. Практика. Инновации. – 2018. – № 8 (32). – С. 12–18.
4. Данилина Н. И. Вычислительная математика / Н. И. Данилина // – М. : Высшая школа, 1985. – 472 с.
5. Щенникова Е. В., Пучкова Е. Н. Вычислительный практикум в среде MathCAD / Е. В. Щенникова, Е. Н. Пучкова // – Саранск : ФГБОУ ВО “Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева”, 2010.

Список литературы на английском языке / References in English