Приближенное вычисление корней алгебраических уравнений метод касательных

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

2. Примеры правильного написания F(x) :
   1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
   2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
   3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
   4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

   Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
   Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

   1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
   2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

   Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

   Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

   Приближенное решение уравнений: метод касательных

   Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

   Приближённое решение уравнений:

   Правило Ньютона (метод касательных) .

   Рассмотрим задачу нахождения нулей функции f ( x ), т.е. корней уравнения f ( x )=0. п редположим, что интересующий нас корень изолирован, т.е., что найден содержащий его промежуток [ a , b ], в котором других корней нет.

   Если на концах отрезка [ a , b ] функция f ( x ) имеет значения f ( а ) и f ( b ) разных знаков, то по 1 теореме Больцано — Коши, деля на части а _k , b _k , содержащее корень, и определяя знак функции f в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и таким образом осуществлять приближённое вычисление корня. Такой метод называется методом половинного деления . Однако этот приём, не смотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, так как требует слишком большого количества вычислений.

   Рассмотрим один из основных приёмов приближённого вычисления изолированного корня уравнения f ( x ) = 0. При этом будем использовать основные понятия и методы дифференцированного исчисления.

   Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

   (1) функция f в промежутке [ a , b ] непрерывна вместе со своими производными f ( x ) и f ( х );

   (2) значения f ( а ) и f ( b ) функции на концах промежутка имеют разные знаки f ( а ) f ( b ) 0;

   (3) обе производные f ‘ ( x ) и f ( х ) сохраняют каждая определённый знак на всём промежутке [ a , b ].

   Тогда уравнение f ( x )=0 на этом промежутке имеет единственный корень.

   Следствия: Из непрерывности функции f и условия (2) следует, что между а и b содержится корень уравнения f ( x ) = 0. Так как производная f ( x ) сохраняет знак, то f в промежутке [ a , b ] возрастает или убывает и, следовательно, обращается в 0 лишь однажды, корень изолирован.

   Условие (3) геометрически означает, что кривая y = f ( x ) не только идёт в одном направлении, но к тому же строго выпукла или вогнута, смотря по знаку f ( х ) . На чертеже изобразим 4 возможных случая, соответствующих различным комбинациям знаков f ( x ) и f ( х ) .

   Приближенное вычисление корней алгебраических уравнений метод касательных

   Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

   1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

   Дано нелинейное алгебраическое уравнение

   Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

   Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

   Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

   В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

   Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

   Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

   Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

   Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

   Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

   Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

   Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

   Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

   X₁== 0.268;

   X₂== 3.732;

   Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

   Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

   Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

   f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

   Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

   f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

   
   

   источники:

   http://infourok.ru/priblizhennoe-reshenie-uravneniy-metod-kasatelnih-2541036.html

   http://pers.narod.ru/study/methods/01.html