Приближенные методы решения уравнений с одной переменной

Лекция «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

БИК Курс лекций по дисциплине «Численные методы»

для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Раздел 2. Численные методы

2.1.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Графический метод решения уравнений

1. Алгебраические и трансцендентные уравнения

При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

( x )= g ( x ), (1)

где (х) и g (х) — данные функции, определенные на некотором числовом множестве X , называемом областью допустимых значений уравнения .

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

F ( x ) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

 Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х : из этой совокупности называется корнем уравнения.

 Всякое число , обращающее функцию F ( x ) в нуль, т.е. такое, при котором F ( )=0, называется корнем уравнения (1).

 Число называется корнем k -той кратности, если при x =вместе с функцией F ( x ) равны нулю ее производные до ( k -1) порядка включительно:

F ( ) = F / () = … = F ( k -1) ( ) = 0.

Однократный корень называется простым.

 Решить уравнение – значит найти множество всех корней этого уравнения.

Оно может быть конечным или бесконечным.

 Два уравнения F ( x )=0 и G ( x =0) называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение каждого из них является решением и для другого, то есть множества решений этих уравнений совпадают.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнения (1) или (2), уравнения разделяются на два больших класса: линейные и нелинейные.

Нелинейные уравнения делятся, в свою очередь на: алгебраические и трансцендентные .

Уравнение (2) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где a ₀, a ₁, . , a _n — коэффициенты уравнения, а x -неизвестное. Показатель n называется степенью алгебраического уравнения.

Если функция F ( x ) не является алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным.

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании корней, т. е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Корни уравнения могут быть вещественными и невещественными (комплексными).

Найти точные значения корней уравнения можно только в исключительных случаях, обычно, когда есть какая-либо простая формула для вычисления значения корней, выражающая их через известные величины.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменой не решаются путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами.

При решении многих практических задач точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

 Решить уравнение – это значит

установить, имеет ли оно корни,

и найти значение корней с заданной точностью.

 Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (2) обычно состоит из двух этапов:

отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых находится одно значение корня,

и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (2) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод простой итерации. Применение того или иного метода для решения уравнения (2) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F ( x ).

2. Графические методы решения уравнений

Одним из методов решения уравнений является графический. Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т. е. представляют его в виде f (х) = 0. После этого строят график функции у = f ( x ), где f (х) – левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции у = f (х) с осью Ох и являются корнями уравнения, так как в этих точках у = 0 (рис. 1).

Рисунок 1

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т. е. представляют его в виде f (х) = g (х).

После этого строят графики двух функций у = f (х) и у = g (х). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу х₀, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т. е. f (х₀) = g (х₀). Из этого равенства следует, что х₀ – корень уравнения (рис. 2).

Рисунок 2

Пример 1. Решить графически уравнение х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 = 0.

Первый способ. Построим график функции у = х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 и определим абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох. Кривая пересекает ось Ох в точке х = 1, следовательно, уравнение имеет один корень (рис. 3). (Отметим, что алгебраическое уравнение третьей степени имеет или один действительный корень или три. Так как кривая пересекает ось абсцисс только в одной точке, то данное уравнение имеет только один действительный корень. Остальные два корня – комплексные.)

Рисунок 3 Рисунок 4

Второй способ. Представим данное уравнение в виде х 3 = 2 x 2 + 2х–1 и построим графики функций у = х 3 и у = 2 x 2 + 2х – 1. Найдем абсциссу точки пересечения этих графиков; получим х = 1 (рис. 4).

Пример 2. Найти приближенно графическим способом корни уравнения lg х — Зх + 5 = 0.

Перепишем уравнение следующим образом: lg х = Зх — 5.

Функции в левой и в правой части уравнения имеют общую область определения: интервал 0

Строим графики функций у = lg х и у = Зх — 5 (рис. 5). Прямая у = Зх-5 пересекает логарифмическую кривую в двух точках с абсциссами x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75. На рисунке трудно показать пересечение графиков этих двух функций в первой точке, однако, учитывая, что нижняя ветвь, логарифмической кривой неограниченно приближается к оси Оу, можно предполагать, что пересечение этих двух графиков произойдет вблизи точки пересечения графика функции у = Зх — 5 и оси Оу. Абсцисса точки пересечения приближенно равна 0,00001. Итак, корни уравнения x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75

Рисунок 5 Рисунок 6

Пример 3. Найти графически корни уравнения 2 х = 2х.

Решение. Строим графики функций у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны х ₁ = 1 и х ₂ = 2. Данное урав­нение имеет два корня х ₁ = 1 и х ₂ = 2 (рис. 6).

Подводя итог вышеизложенному, можно рекомендовать для графического решения уравнения f (х) = 0, все корни которого лежат в промежутке [а, b ], следующую простую схему.

1. Представить указанное уравнение в виде (х) = g (х) с таким расчетом, чтобы функции у=(х) и у = g (х) были просты и удобны для исследования и построения.

2. На бумаге вычертить графики функций у =(х) и у = g (х) в промежутке [а, b ].

3. Если графики не пересекаются, то корней в данном промежутке нет. Если же графики пересекаются, то нужно определить точки их пересечения, найти абсциссы этих точек, которые и будут приближенными значениями корней рассматриваемого уравнения.

Первый этап численного решения уравнения (2) состоит в отделении корней, т.е. в установлении “тесных” промежутков, содержащих только один корень.

 Корень уравнения f (х) = 0 считается отделенным на отрезке [ a , b ] , если на этом отрезке уравнение f (х) = 0 не имеет других корней.

 Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

Графический метод отделения корней. При графическом методе отделения корней поступают так же, как и при графическом методе решения уравнений.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции к орня. Далее корни уточняются одним из способов, указанных ниже.

Аналитический метод отделения корней. Аналитически корни уравнения f(х) =0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа.

Сформулируем без доказательства теоремы, знание которых необходимо при отделении корней.

1) Если непрерывная на отрезке функция F ( x ) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (2) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень

2) Если функция F ( x ) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Рассмотрим примеры поведения некоторых функций:

Рисунок 7

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F ( x )=0, причем можно считать, что все корни находятся на отрезке , в которой функция F ( x ) отделена, непрерывна и F ( A )* F ( B ) F ( x ), начиная с точки X = A , двигаясь вправо с некоторым шагом h .

Как только обнаружится пара соседних значений F ( x ), имеющих разные знаки, и функция F ( x ) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента X (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Схема соответствующего алгоритма изображена ниже. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на дисплей в цикле значения параметров X ₁ и X ₂ (Концов выделенных отрезков).

Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

Учащимся 10-11 классов

доцент кафедры информатики и информационных технологий ГОУ ВПО ДВГГУ

Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

При решении задач прикладного характера в разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях возникает необходимость решения нелинейных уравнений с одной переменной. При этом многие уравнения не имеют аналитических решений. Это относится к большинству трансцендентных уравнений. Также доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраические уравнение выше четвертой степени.

Уравнение будем называть линейным[1], алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Например, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.[2]

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Если точно определить корни уравнения не представляется возможным, для их решения используют численные итерационные (iteration — повторение) методы с заданной степенью точности.

Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

(1)

где функция F(x) — определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале

(2)

где функции f(x) и g(x) также определены и непрерывны на интервале .

Всякое число обращающее уравнения (1) или (2) в верные числовые равенства называется корнем этого уравнения.

Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. В дальнейшем будет идти речь только о вычислении действительных корней.

Решить уравнение численно значит:

1) установить имеет ли оно действительные корни;

2) отделить эти корни (то есть на числовой оси найти достаточно тесные промежутки, называемые интервалами изоляции корня[3], содержащие только один корень данного уравнения);

3) уточнить отделенные корни, т. е. найти значения корней с заданной степенью точности .

Последнее означает следующее.

Пусть x* — точный корень уравнения и x* , то есть x* . Если , тогда числа и могут рассматриваться как приближенные значения корня x* соответственно с недостатком и с избытком с точностью до , так как и .

Любое число, содержащееся между и , можно принять за приближенное значение корня x* с точностью до .

Графические методы решения уравнений[4]

Пусть дано уравнение F (х) = 0. Построим график функции F (х). Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения.

Иногда для графического решения уравнения удобнее записать его в виде и построить графики функций: и Абсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями уравнения F (х) = 0 (рис. 1).

Однако этот метод позволяет получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения. Для получения значений корней с большей точностью применяются численные методы. Однако, графи­ческий метод очень удобен, так как он позволяет найти корни с точностью, достаточной для решения многих практических задач, а также достаточно нагляден, прост и доступен.

Численные методы решения уравнений

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, метод простой итерации и т. д.[5]

Процесс численного решения уравнений разбивается на три этапа:

1. Отделение корней уравнения. Этот процесс можно сделать как графически, так и аналитически. Важно найти такие отрезки, которые бы содержали по одному корню уравнения (1).

2. Выбор метода решения и преобразование уравнения к виду, удобному для применения данного метода.

3. Уточнение корней с заданной точностью при помощи выбранного численного метода.

Говорят, что корень x* уравнения отделен на отрезке , если он содержится в данном отрезке, и если на этом отрезке других корней нет.

Провести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений на интервалы (или на отрезки), в каждом из которых содержится ровно по одному корню (или не содержится ни одного корня).

Отделение корней обычно начинают проводить графически. Для этого строят графики функций, получают интервалы, в которых на­ходятся корни уравнения. Это предположение затем проверяют ана­литически, пользуясь следующим свойством непрерывной функции F(x): если функция непрерывна на интервале и на его концах имеет разные знаки (), то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения .

При этом корней может оказаться и несколько, как показано на рис. 2. Рис.2

Для того, чтобы на интервале существовал только один корень, должно выполняться следующее свойство: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения и этот корень единственный (рис. 3, а, b).

Пример 1: Отделить графически положительные корни уравнения

Решение: Найдем приближенные значения корней уравнения графически. Для этого удобно представить уравнение в следующем виде: e0,3x = 2 sin(2x).

Решением данного уравнения будет являться абсцисса x точки пересечения графиков следующих функций:

На рисунке видно, что графики функций y1(x) и y2(x) пересекаются в двух точках A и B, абсциссы которых положительны и лежат соответственно в промежутках и. Следовательно, уравнение имеет два положительных корня x1 и x2, которые лежат в промежутках и.

Примечание: Графики функций можно строить с помощью компьютера, например, в электронных таблицах Excel или в свободно распространяемой системе компьютерной математики Scilab.[7]

Пример 2: Отделить аналитически корни уравнения

Решение: Для аналитического отделения корней найдем производную функции

Производная этой функции

ни в одной точке не обращается в нуль, т. к. D = 36 -4*3*11 0, следовательно, функция f везде возрастает, и уравнение (4) может иметь один корень.

[3] Методы определения интервала изоляции корня основаны на следующем свойстве: если непрерывная функция f(x) на интервале [a, b] поменяла знак, т. е. f(a)*f(b)

Будь умным!

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой — мы готовы помочь.

атематический анализ 2013 Преподаватель Михащенко Т.Н.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Лабораторная работа по теме «Приближенное решение уравнений с одной переменной»

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Задание. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Найти один из корней уравнения методом деления отрезка пополам (методом Фибоначчи, «золотого сечения», рандомизации) с точностью до : 1) отделить корень на отрезке , проверить его единственность; 2) реализовать один из методов деления отрезка в заданном отношении (использовать ЭВМ или калькулятор); 3) сделать проверку точности найденного решения подстановкой его в исходное уравнение.

;text-decoration:underline» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Индивидуальные варианты:

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>11) , 12) , 13) , 14) , 15) , 16) , 17) , 18) , 19) , 20) .

Порядок выполнения работы

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1) Графическое отделение корня в случае достаточно сложного выражения y=f(х) можно производить следующим образом. Допустим, что уравнение можно представить в виде f ;vertical-align:sub» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(x) = f ;vertical-align:sub» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(x). В этом случае строим графики функций у=f ;vertical-align:sub» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(x) и y=f ;vertical-align:sub» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(x); абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями уравнения. Найдем, например, приближенно корни уравнения x-sin x-1 = 0, записав это уравнение в виде x-1 = sin x. Построим графики функций y = sin x и у = х-1 ( » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>рис.1 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>). Точка пересечения этих линий имеет абсциссу х ≈ 1,9, что можно считать грубым приближением значения корня.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рис. 1

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Интервал [а;b] является » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>интервалом изоляции корня » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, если его можно считать настолько малым, что на нем лежит точно один корень исходного уравнения. Выбор этого интервала производится на основании свойства непрерывных функций: » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(a)f(b) » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>'( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>x » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>) существует и сохраняет постоянный знак внутри [а;b] » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(рис. 2).

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рис. 2

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Найдем интервал изоляции корня уравнения: х ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1=0. Для этого представим уравнение в виде: х ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> =1-x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, т. е. f(x)=x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>и g(x)=1-x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>. Построим приближенно графики функций » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>y » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=f(x) и » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>y » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=g(x) (рис. 3). Точка пересечения графиков двух функций, а значит, и корень уравнения находится на отрезке [0;1]. Проверим аналитические условия: » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(0)=0 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+0 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1=-1 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(1)= 1 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> +1 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1=1>0, и » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>'(х)=3х²+2x>0 на отрезке [0;1]. Таким образом, мы определили интервал изоляции корня, для нахождения которого достаточно применить любой из аналитических методов численного решения уравнений.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> у=x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> у=1-x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рис. 3

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Задача отыскания корней уравнений может считаться практически решенной, если удалось определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1. Метод половинного деления

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рассмотрим один из самых простых численных методов решения уравнений – метод половинного деления. Пусть для уравнения найден интервал изоляции корня – отрезок [а;b]. Для уточнения искомого корня отрезок [а;b] делим пополам и из двух, полученных в результате этого деления отрезков выбираем тот, для которого выполняются условия существования и единственности корня (на концах отрезка функция принимает значения разных знаков). Середину отрезка находим по формуле х ;vertical-align:sub» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>i » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>a » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>b » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>)/2, » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>i » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=1,2,3…, и продолжаем данный процесс пока не достигнем необходимой точности (рис.4).

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Рис.4

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рассмотрим применение метода половинного деления на примере решения уравнения х ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+x ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1 = 0 на отрезке [0;1]. Разделим интервал изоляции пополам – это точка х=0,5. Получим два подотрезка – [0;0,5] и [0,5;1]. Вычислим значения функции на концах отрезков, » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(0)=-1 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(0,5)=0,5 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+0,5 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1=0,125+0,25-1=-0,625 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(1)=1 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>+1 ;vertical-align:super» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2 » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>-1=1+1—1=1>0, т. е. на концах отрезка [0,5;1] функция имеет значения разных знаков, следовательно, корень уравнения принадлежит отрезку [0,5;1]. Выбираем этот отрезок для дальнейшего рассмотрения.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Повторяем метод половинного деления уже для нового отрезка. Середина отрезка x=(0,5+1)/2=0,75, и из двух полученных отрезков выбираем правый отрезок [0,75;1], т.к. » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(0,75) = -0,015625 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>f » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(1)=1> 0. Процесс продолжается до получения корня с заданной степенью точности.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Если делить отрезок [ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>a » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>; » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>b » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>] сразу на десять частей, то на следующем шаге можно получить отрезок в десять раз меньший, чем [ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>a » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>; » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>b » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>].

;color:#000000″ xml:lang=»-none-» lang=»-none-«>2. Метод Фибоначчи

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Рассмотрим одну из разновидностей метода половинного деления – метод Фибоначчи.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Пусть дано уравнение , » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»> » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>где функция у=непрерывна на и . Для уточнения корня данного уравнения введем последовательность чисел Фибоначчи: , , , это будут числа 1,1,2,3,5,8,13,21 и т.д. Согласно данному методу, на каждом ом этапе отрезок делят в отношении , где и соответственно е и е число из последовательности Фибоначчи. Так на первом шаге отрезок делят в отношении (пополам) и выбирают тот из них, на концах которого функция имеет разные знаки. На втором этапе выбранный суженный отрезок делят в отношении , следующие в отношениях , , В результате получаем на некотором этапе точный корень уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что ( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=1,2,…). В качестве корня можем принять .

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3. Метод Золотого сечения

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Еще одним методом последовательного деления отрезка, содержащего корень уравнения, является метод золотого сечения. Его смысл состоит в делении отрезка на две неравные части так, чтобы, отношение всего отрезка к большей части, равнялось отношению большей части отрезка к меньшей (принцип «золотого сечения»).

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Пусть дано уравнение , » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»> » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>где функция непрерывна на и . Суть метода состоит в том, чтобы разделить отрезок точкой так, чтобы , решая это уравнение, получаем . Все остальные действия осуществляются аналогично предыдущему методу.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>4. Метод рандомизации

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Метод рандомизации также является методом последовательного сужения отрезка, содержащего корень уравнения. Но, в отличие от предыдущих рассмотренных методов, он не является строго детерминированным. В нем вводится элемент случайности, и точки деления отрезка выбираются в соответствии с определенным законом распределения. При этом в среднем можно получить выигрыш в числе этапов по сравнению с другими методами.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Пусть дано уравнение , » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»> » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>где функция у=непрерывна на и . Точку деления текущего отрезка на каждом этапе находят из выражения , где случайное число, причем .

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>В результате получаем на каком-то этапе или точный корень исходного уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что ( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> = 1, 2, …).

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>В качестве корня снова выбираем .

Примерный образец оформления работы

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Вычислительный бланк для метода деления отрезка пополам или его модификаций: