Приближенные решения уравнений и их систем

Метод итераций решения системы уравнений. Пример решения

Решение получаем с помощью калькулятора Решение СЛАУ методом итераций .

Достаточное условие сходимости метода простых итераций

Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.
Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E — D•A, c = D•b
Здесь D — некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| 0 =β, тогда:
x 1 =b — a x 0
x 2 =b — a x 1
.
x k+1 =b — a x k
Для нашей задачи достаточное условие сходимости выполняется.

Приведем к виду:
x₁=0.5-(0.2x₂-0.1x₃)
x₂=-4.07-(0.33x₁+0.17x₃)
x₃=3-(0.0833x₁-0.25x₂)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x₁=0.5 — 0 • 0.2 — 0 • (-0.1)=0.5
x₂=-4.07 — 0 • 0.33 — 0 • 0.17=-4.07
x₃=3 — 0 • 0.0833 — 0 • (-0.25)=3
N=2
x₁=0.5 — (-4.07) • 0.2 — 3 • (-0.1)=1.61
x₂=-4.07 — 0.5 • 0.33 — 3 • 0.17=-4.74
x₃=3 — 0.5 • 0.0833 — (-4.07) • (-0.25)=1.94
N=3
x₁=0.5 — (-4.74) • 0.2 — 1.94 • (-0.1)=1.64
x₂=-4.07 — 1.61 • 0.33 — 1.94 • 0.17=-4.93
x₃=3 — 1.61 • 0.0833 — (-4.74) • (-0.25)=1.68
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x₁=1.64, x₂=-4.89, x₃=1.64

Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b с точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

Возможности математического пакета MathCad. Приближенные решения уравнений и их систем

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ
Возможности математического пакета MathCad. Приближенные решения уравнений и их систем

студентка группы МДИ-117
Рыбкина В. А.

Введение

При решении некоторых математических задач, при моделировании различных явлений, при автоматизации рабочего места пользователю приходится выбирать ту среду, которая бы позволяла реализовать с наибольшим комфортом многие варианты решений. До недавнего времени исследователю приходилось разрабатывать на основе алгоритма свои программные средства, пользуясь известными языками программирования. В настоящее время появилось много пакетов прикладных программ, в которых за счет встроенного процессора можно, легко освоив правила работы данной среды, проводить построение различных моделей, решать сложные математические задачи и находить значения выражений.

Система MathCad – пакет, предназначенный для проведения математических расчетов, который содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор. Фирма MathSoft Inc (США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCad заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе.

От других продуктов аналогичного назначения MathCad отличается ориентацией на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Преимущества MathCad состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и мало творческой, к тому же она и время емкая и малоприятная.

1. Основные возможности математического пакета MathCad

1.1 Общая характеристика MathCad

Система MathCad содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы – это использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т. д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа.

Многие задачи, решаемые с помощью математических пакетов, сводятся к решению уравнений – алгебраических, степенных, тригонометрических, к поиску значений неизвестных, превращающих эти уравнения в тождества строго или приближенно. Успех в решении подобных задач зависит не только от мощности соответствующих инструментов, встроенных в MathCad , но и от знания пользователем их особенностей, нюансов, сильных и слабых сторон.

Задачи, решаемые в MathCad:

1) Подготовка научно-технической документации, содержащей текст и формулы в привычной для специалиста форме;

2) Вычисления результатов математических операций с константами, переменными и размерными физическими величинами;

3) Векторные и матричные операции;

4) Решение уравнений и систем уравнений;

5) Статистические расчеты и анализ данных;

6) Построение графиков;

7) Аналитические преобразования и аналитическое решение уравнений и систем;

8) Аналитическое и численное дифференцирование и интегрирование;

9) Решение дифференциальных уравнений.

1.2 Структура программы MathCad

Основное окно приложения имеет ту же структуру, что и большинство

приложений Windows. Сверху вниз располагаются заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная и форматирования) и рабочий лист,

или рабочая область, документа. Новый документ создается автоматически при запуске MathCad. Файлы документов в MathCad имеют расширение .mcd.

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры. Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей, с помощью которых происходит вставка математических операций в документы. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Математика.

В окне редактирования формируется документ MathCad. Новый документ получает имя Untitled (Без названия) и порядковый номер. Одновременно открыто может быть до восьми документов.

Документ состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.

Для ввода текстового комментария нужно выполнить команду Text Region (Текстовая область) из пункта меню Insert или нажать клавишу с двойной кавычкой (“), или нажать на кнопку текста на панели инструментов. Текстовая область служит для размещения текста между формулами и графиками. При этом в месте ввода появляется курсор в виде вертикального штриха, на место которого вводятся символы текста. Внутри текста курсор перемещается клавишами перемещения курсора. Переход на новую строку производится нажатием на клавишу Enter. Для окончания ввода нужно щелкнуть мышью вне текстовой области.

Для ввода формулы нужно установить указатель мыши в свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир в виде красного крестика. Он указывает место, с которого начинается набор формулы.

Константами называются поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

В MathCad применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.

В MathCad содержится особый вид констант – размерные. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCad заданы следующие основные типы физических величин: time (время), length (длина), mass (масса) и charge (заряд). При необходимости их можно изменить на другие.

Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы MathCad должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы:

1) латинские буквы любого регистра;

2) арабские цифры от 0 до 9;

3) символ подчеркивания (_), символ процент (%) и символ (.);

4) буквы греческого алфавита (набираются с использованием клавиши Ctrl или применяется палитра греческих букв).

Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке. MathCad читает рабочий документ слева направо и сверху вниз, поэтому определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде правее и ниже равенства, в котором она определена.

Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов.

Переменные могут быть и размерными, т. е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Проведение расчетов с размерными величинами и переменными особенно удобно при решении различных физических задач.

Предопределенные (системные) переменные – особые переменные, которым изначально системой присвоены начальные значения.

Рисунок 1 Предопределенные переменные

Операторы – элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с панели Calculator (Калькулятор, Арифметика). Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов Calculus (Матанализ). При нажатии любой из кнопок в документе появляется символ соответствующего математического действия, снабженный несколькими местозаполнителями. Результатом действия логических, или булевых, операторов являются только числа 1 (если логическое выражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (если логическое выражение ложно).

2. Приближенные решения уравнений и их систем в MathCad

2.1 Особенности решения уравнений и их систем в MathCad

Алгоритм приближенного решения уравнения f(x)=0 состоит из двух этапов:

1. Нахождения промежутка, содержащего корень уравнения (или начальных приближений для корня);

2. Получения приближенного решения с заданной точностью с помощью функции root.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид v₀+v₁x+…+v_n-1x n-1 + +v_nx n , лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Функция Polyroots(v) – возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Решение систем уравнений матричным методом

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: Ах = b, где:

Если det A ≠ 0 то система или эквивалентное ей матричное уравнение имеет единственное решение.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve. Функция lsolve(А, b) – возвращает вектор решения x такой, что Ах = b.

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему уравнений приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей. В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, (n+1) столбец этой матрицы содержит решение системы.

В MathCad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

Решение систем уравнений с помощью функций Find или Minner

Для решения системы уравнений с помощью функции Find необходимо выполнить следующее:

1. Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. MathCad решает систему с помощью итерационных методов;

2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCad, что далее следует система уравнений;

3. Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов , ≥ и ≤;

4. Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: х:= Find(х, у).

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find. Функция Minerr(x1, x2, . . .) – возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Символьное решение уравнений

Имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении;

• если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы → Переменные → Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

2.2 Решения уравнений и их систем в MathCad

Пример 1. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.

Пример 2. Для полинома g(x) выполнить следующие действия:

1. С помощью команды Символы → Коэффициенты полинома создать

вектор V, содержащий коэффициенты полинома;

2. Решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;

3. Решить уравнение символьно, используя команду Символы →

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

1. Матричным способом и используя функцию lsolve;

2. Методом Гаусса;

3. Используя функцию Find.

Пример 4. Решить систему нелинейных уравнений с помощью функции Minerr .

Пример 5. Символьно решить системы уравнений.

Заключение

MathCad – это универсальная система, которая может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

И так, перечислим основные достоинства MathCad.

Во-первых, это универсальность пакета, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.

Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета – от студентов до академиков.

И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.

Но, к сожалению, популярный во всем мире пакет MathCad фирмы MathSoft, в России распространен еще слабо, как и все программные продукты подобно рода.

Список использованных источников

1. Белинская, С. И. Использование пакета Mathcad в информатике : учебное пособие / С. И. Белинская. – Иркутск : ИрГУПС, 2012. – 84 с.

2. Гурский, Д. А. Вычисления в MATCHCAD 12 / Д. А. Гурский,
Е. С. Турбина. – СПб.: Питер, 2006. – 544 с.

3. Дьяконов, В. Mathcad 2000. Учебный курс / В. Дьяконов. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.

4. Макаров, Е. Г. Инженерные расчёты в MATCHCAD 14 /
Е. Г Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.

5. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе Mathcad /
В. А. Охорзин. – Лань, 2009. – 352 с.

6. Очков, В. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В. Очков. – BHV.: – Спб, 2007. – 368 с.

7. Поршнев, С. В. Численные методы на базе MATCHCAD /
С. В. Поршнев, И. В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Питербург, 2005. – 464 с.

8. Шушкевич, Г. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Часть 1 / Г. Шушкевич, С. Шушкевич. – Издательство Гревцова. 2010. – 288 с.

Реферат на тему «ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ»

Просмотр содержимого документа
«Реферат на тему «ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ»»

ФБГОУ ВПО «Мордовский Государственный педагогический институт им. М.Е.Евсевьева»

Кафедра информатики и вычислительной техники

ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Выполнила: Н. Н. Казаева,

студентка 4 курса группы МДМ-116

Проверила: Кормилицына Т.В

кан. физ-мат. наук, доцент

Встроенные решатели MathCad. 5

Поиск нулей и функций и решение уравнений 6

Метод половинного деления 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений 8

Решение систем нелинейных уравнений 13

Список литературы 18

Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.

Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Рассматрим возможности и эволюция одной из таких систем — MathCAD.

MATHCAD — универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета — естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

От других продуктов аналогичного назначения MATHCAD отличается ориентация на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном компьютера практически совпадает с работой на бумаге с одной лишь разницей — она более эффективна. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и мало творческой, к тому же она и время емкая и малоприятная.

MathCAD является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов.

Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор — служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментарии и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы — использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель — обеспечивает вычисление по сложным математических формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т.д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор — служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. MathCAD поддерживает работу со многими типами принтеров, а так же с плоттерами.

MathCAD — система универсальная, т.е. она может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

Многие задачи, решаемые с помощью математических пакетов, сводятся к решению уравнений — алгебраических, степенных, тригонометрических, к поиску значений неизвестных, превращающих эти уравнения в тождества строго или приближенно. Успех в решении подобных задач зависит не только от мощности соответствующих инструментов, встроенных в Mathcad, но и от знания пользователем их особенностей, нюансов, сильных и слабых сторон.

Встроенные решатели MathCad.

Инструменты решения аналитических уравнений и их систем в Mathcad собраны в трех «ящиках с инструментами» (toolbox):

встроенные функции категории Решение уравнений в диалоговом окне Вставка функции;

команды символьных преобразований из меню Символьные операции, в частности, команда Переменная | Решить.

операторы символьных преобразований, в частности, оператор solve (решить для переменной) из панели инструментов Символьные;

Как следует из названий, два последних инструмента — это символьная математика, математика компьютерных аналитических преобразований. В первом же пункте отмечены встроенные функции, и некоторые из них имеют двоякую сущность — могут возвращать численный или символьный ответ в зависимости от того, каким оператором вывода их «потревожили» — оператором → (символьный вывод) или оператором = (численный вывод).

Поиск нулей и функций и решение уравнений

Для решения одиночных уравнений предназначены встроенные функции root (корень) и polyroots (корни полинома). Если быть точным, то функции root и polyroots, возвращают не корни уравнений, а нули функций. В случае, когда функции root и polyroots необходимо применить к поиску корня (корней) уравнения, то его следует преобразовать в функцию: перенести одну из частей уравнения в другую, поменяв его знак, и работать с «ненулевой» частью как с функцией. Например, уравнение a·x = b преобразуется в функцию f(x):=a·x – b

Функция root первоначально имела только два аргумента: первый из них — это анализируемая функция (в полном ее написании y(x), а не просто y), у которой ищется нуль, а второй отмечал аргумент (неизвестное), найденное значение которого делает функцию равной нулю. В двухаргументной функции root заложен метод секущих, требующий первого приближения. Вблизи которого определяется вторая опорная точка, равная значению первого приближения плюс значение встроенной (системной) переменной TOL, значение которой по умолчанию равно 0.0001, умноженной на значение первого приближения. Через эти две точки проводится секущая, пересечение которой с осью х дает очередное (третье) приближение. Итерации к корню (к

нулю функции) заканчиваются тогда, когда в очередном приближении значение функции будет отличаться от нуля менее чем на значение встроенной (системной) переменной TOL.

Метод половинного деления, заложенный в функцию root, требует, чтобы значения анализируемой функции в точках a и b имели противоположный знак. В этом случае,если анализируемая функция, конечно, непрерывна, на отрезке [a, b] будет находиться, как минимум, один нуль. В противном случае функция root будет возвращать сообщение об ошибке, призывающей пользователя изменить значения a и b. Если же на отрезке [a, b] окажется более одного корня (три, пять, семь и т. д. при, повторяю, непрерывности анализируемой функции), то функция root вернет один из них. Какой именно — изображено на рис. 3.10, где показан результат сканирования прямоугольной области [a, b] с помощью четырехаргументной функции root.

Если нуль функции не найден, срабатывает оператор Mathcad on error, возвращающий значение своего первого операнда, если во втором операнде происходит сбой, зафиксировавший сообщение об ошибке.

Функцию root несложно приспособить и для решения обратных задач, когда необходимо найти значение аргумента функции по заданному значению самой функции (см. рис., где ищется диаметр шара объемом 30 куб. см).

Метод половинного деления

Пусть уравнение имеет на отрезке единственный корень, причем функция на данном отрезке непрерывна.

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая:

— функция меняет знак на отрезке ;

— функция меняет знак на отрезке .

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Решение в пакете Mathcad методом половинного деления уравнения

1. Задание функции:

2. Построение графика функции.

3. Задание функции, реализующей метод половинного деления (Рисунок 1.3). Здесь аргументы функции: — имя функции, — левая и правая координаты концов отрезка; — точность вычисления корня.

4. Вычисление значения корня уравнения:

5. Проверка найденного значения корня:

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Сначала поговорим о решении систем линейных алгебраических уравнений, которые в матричной форме записываются так: A∙X=B, где A — квадратная матрица коэффициентов при неизвестных (вектор X), а B — вектор свободных членов. Первоначально для решения такой системы в среде Mathcad был предназначен оператор A –1 ∙B — произведение инвертированной (обратной) матрицы A на вектор свободных членов B. Затем (в версии 7 и выше) в Mathcad была введена функция lsolve.

Решение системы линейных алгебраических уравнений через произведение инвертированной матрицы коэффициентов при неизвестных на вектор свободных членов (А –1 ∙В) и через функцию lsolve могут отличаться в том случае, если матрица А вырожденная (сингулярная), т. е. ее определитель равен нулю. В первом случае (А –1 ∙В) решение сразу прерывается соответствующим сообщением об ошибке «singular matrix», а во втором — продолжается, если решение не просто есть, а их. бесчисленное множество. Такая вычислительная ситуация зафиксирована на рис., где показано решение системы уравнений с так называемой «телефонной» матрицей А, повторяющей кнопки на телефоне.

Система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены которой вводятся в расчет первыми двумя операторами, показанными на рис., не может быть решена через произведение А –1 на В, т. к. матрица А сингулярная (вырожденная). На рис. обратная матрица от матрицы A определялась с помощью численной, а не символьной математики Mathcad (оператор =, а не оператор →). Численную же математику по другому называют математикой приближенных вычислений, имея в виду, что она, как правило, дает не точные, а приближенные ответы. Приближенный ответ возможен и при инвертировании вырожденной матрицы, что может привести к неверному ответу при решении соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

В среде Mathcad только в 2000-й версии стало возможным избежать грубой ошибки, показанной на рис. В Mathcad был введен контроль за вырожденностью матрицы при работе и с численной математикой (сброшенный флажок использовать строгую проверку вырожденности матрицы).

Линейная алгебра в этом случае гласит, что у системы с вырожденной матрицей может либо не быть ни одного решения, либо существовать бесконечное множество решений («впадание в крайности»), два из которых и найдены на рис (вторая и третья строки операторов, заканчивающихся проверкой решения А∙Х=исходный вектор свободных членов системы. На рис. показано, как средствами символьной математики можно найти это множество решений через уравнение линии.

Решение нашей системы с вырожденной матрицей коэффициентов при неизвестных (т. е. аналитическое (параметрическое) описание прямой линии, образованной пересечением трех плоскостей) можно получить проще, чем показано на рис. 3.17. Для этого нужно отказаться от инструментов, применяемых к линейным системам (функции lsolve и rref, см. рис. 3.17), а прибегнуть к универсальному оператору solve, предназначенному для аналитического решения уравнений общего вида (рис. 3.20).

Графическая интерпретация задачи сводится к тому, что три плоскости могут пересекаться либо в одной точке, либо в линии, либо вовсе не иметь общих точек пересечения (параллельность двух или трех плоскостей).

Функции lsolve и Find, как видно из рис. 3.17, дали два разных решения, лежащих в области z, y(z) и x(z). Второе отличие в работе этих функций заключается в том,что функция lsolve не требует первого приближения и всегда выдает один «только ей ведомый» ответ. Функция же Find требует первого приближения и дает ответ в зависимости от его значения. В задаче на рис 3.17 первое приближение для функции Find — это ответ, данный функцией lsolve. Несмотря на это (функцию Find «ткнули носом» в ответ, вернее, в один из ответов) функция Find дала новый результат. Ответ функции Find зависит не только от первого приближения и от прочих установок, но и от способа решения задачи, на которой она настроена.

Решение систем нелинейных уравнений

Для решения системы нелинейных уравнений используются два блока: given…find() и given…minerr (). Так как система нелинейных уравнений может иметь несколько решений, то полученные результаты зависят от начальных значений искомых переменных. В обоих случаях получаются приближенные решения, для которых рекомендуется делать проверку. Обычно в Mathcad требуется, чтобы количество уравнений было равно количеству искомых переменных, но в некоторых случаях, когда с точки зрения классической математики может быть получено точное решение и при меньшем количестве уравнений, данное условие может быть нарушено. На листинге представлены примеры использования блоков given…find() и given…minerr () для решения систем нелинейных уравнений.

Решить систему двух нелинейных уравнений

методом Ньютона.

Рисунок 2.1 — Задание координатной сетки

1. Зададим координатную сетку и вычислим значения координат и в узлах сетки (рисунок 2.1).

Рисунок 2.2 — График функции и карта линий уровня

2. Построим график функции и карты линий уровня (рисунок 2.2) (на которых наглядно видно, что данная система имеет решение, и причем единственное) с использованием панели Graph (рисунок 2.3).

3. Точки пересечения линий одинакового уровня дают решение данной системы уравнений.

4. Зададим начальное приближение переменных:

Рисунок 2.4 — Вектор-функция, задающая систему уравнений

6. Зададим функцию (рисунок 2.5), реализующую метод Ньютона (функция возвращает таблицу, содержащую значения координат на каждом шаге итерации и соответствующие значения координат вектор-функции).

Запустив программу, получим итерационную последовательность, которая показывает, как находятся приближения. Здесь две первые строки — это значения и соответственно, а последние две строки — значения данных функций при найденных значениях и . В ноль функции обращаются на седьмом шаге. Значит, решением будет являться пара чисел и .

7. Проверяем решение системы нелинейных уравнений с помощью блока Given. Minerr (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 — Проверка численного решения при помощи встроенных функций пакета Mathcad

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.

Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr. В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:

отделение корней – определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;

уточнение корней – нахождение численного значения корня с указанной точностью.

1. Гурский, Д.А. Вычисления в MATCHCAD 12 / Д.А.Гурский, Е.С. Турбина. — СПб.: Питер, 2006. — 544с.

2. Поршнев, С.В. Численные методы на базе MATCHCAD /С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. — СПб.: БХВ-Питербург, 2005. — 464с.

3. Макаров, Е.Г. Инженерные расчёты в MATCHCAD 14 / Е.Г Макаров. -СПб.: Питер, 2007.- 592с.

4. Очков, В. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В. Очков. — BHV.: — Спб, 2007. — 368с.

5. Шушкевич, Г. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Часть1 / Г. Шушкевич, С. Шушкевич. — Издательство Гревцова. 2010. — 288с.

6. Максфилд, Б. Mathcad в инженерных расчётах/Б. Максфилд.- Корона-век, 2012. — 368с.

7. Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе Mathcad/ В.А.Охорзин.- Лань, 2009. — 352с.

8. Копчёнова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/Н.В.Копчёнова, И.А.Марон. — М.: — Наука, 1972. — 368с.

9. Дьяконов, В. Mathcad 2000. Учебный курс / В. Дьяконов. — СПб.: Питер, 2001. — 592с.

10. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин. Н.П. Жидков.-М.: — Наука,1966. — 632с.