Приближенный метод решения трансцендентных уравнений

Реферат: Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений Метод Ньютона

Пензенский государственный университет

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

По курсу «Математический анализ»

на тему «Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона»

Выполнил: студент группы 08ВВ1

Проверил: доцент кафедры высшей и прикладной математики

Руденко Алевтина Кирилловна

Биография Исаака Ньютона

Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир), в год смерти Галилея и в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился болезненным, до срока, но всё же выжил и прожил 84 года. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы.

Покровителем мальчика стал его дядя по матери, Вильям Эйскоу. В детстве Ньютон, по отзывам современников, был замкнут и обособлен, любил читать и мастерить технические игрушки: часы, мельницу и т. п. По окончании школы (1661) он поступил в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского университета. Уже тогда сложился его могучий характер — научная дотошность, стремление дойти до сути, нетерпимость к обману и угнетению, равнодушие к публичной славе.

Научной опорой и вдохновителями творчества Ньютона в наибольшей степени были физики: Галилей, Декарт и Кеплер. Ньютон завершил их труды, объединив в универсальную систему мира. Меньшее, но существенное влияние оказали другие математики и физики: Евклид, Ферма, Гюйгенс, Валлис и его непосредственный учитель Барроу.

Похоже на то, что значительную часть своих математических открытий Ньютон сделал ещё студентом, в «чумные годы» 1664—1666. В 23 года он уже свободно владел методами дифференциального и интегрального исчислений, включая разложение функций в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Тогда же, по его утверждению [2], он открыл закон всемирного тяготения, точнее, убедился, что этот закон следует из третьего закона Кеплера. Кроме того, Ньютон в эти годы доказал, что белый цвет есть смесь цветов, вывел формулу «бинома Ньютона» для произвольного рационального показателя (включая отрицательные), и др.

Все эти эпохальные открытия были опубликованы на 20-40 лет позже, чем были сделаны. Ньютон не гнался за славой. Стремление открыть истину было у него главной целью.

1667: эпидемия чумы отступает, и Ньютон возвращается в Кембридж. Избран членом Тринити-колледжа, а в 1668 году становится магистром.

В 1669 году Ньютон избирается профессором математики, преемником Барроу. Барроу пересылает в Лондон сочинение Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», содержавшее сжатое изложение некоторых наиболее важных его открытий в анализе. «Анализ» получил некоторую известность в Англии и за её пределами. Ньютон готовит полный вариант этой работы, но найти издателя так и не удаётся. Она была опубликована лишь в 1711 году.

Продолжаются эксперименты по оптике и теории цвета. Ньютон исследует сферическую и хроматическую аберрации. Чтобы свести их к минимуму, он строит смешанный телескоп-рефлектор (линза и вогнутое сферическое зеркало, которое полирует сам). Всерьёз увлекается алхимией, проводит массу химических опытов.

1672: демонстрация рефлектора в Лондоне вызывает всеобщие восторженные отзывы. Ньютон становится знаменит и избирается членом Королевского общества (британской Академии наук). Позже усовершенствованные рефлекторы такой конструкции стали основными инструментами астрономов, с их помощью были открыты иные галактики, красное смещение и др.

Разгорается полемика по поводу природы света с Гуком, Гюйгенсом и другими. Ньютон даёт зарок на будущее: не ввязываться в научные споры. В письмах он жалуется, что поставлен перед выбором: либо не публиковать свои открытия, либо тратить всё время и все силы на отражение недружелюбной дилетантской критики. Судя по всему, он выбрал первый вариант.

1680: Ньютон получает письмо Гука с формулировкой закона всемирного тяготения, послужившее, по признанию первого, поводом его работ по определению планетных движений (правда, потом отложенных на некоторое время), составивших предмет «Начал». Впоследствии Ньютон по каким-то причинам, быть может, подозревая Гука в незаконном заимствовании каких-то более ранних результатов самого Ньютона, не желает признавать здесь никаких заслуг Гука, но потом соглашается это сделать, хотя и довольно неохотно и не полностью [3].

1684—1686: после долгих уговоров Ньютон соглашается опубликовать свои главные достижения. Работа над «Математическими началами натуральной философии» (весь трёхтомник издан в 1687 году). Приходят всемирная слава и ожесточённая критика картезианцев: закон всемирного тяготения вводит дальнодействие, несовместимое с принципами Декарта.

В 1689 году Ньютон был в первый раз избран в парламент от Кембриджского университета и заседал там немногим более года. Второе избрание состоялось в 1701—1702 годах.

1696: Королевским указом Ньютон назначен смотрителем Монетного двора (с 1699 года — директор). Он энергично проводит денежную реформу, восстанавливая доверие к основательно запущенной его предшественниками монетной системе Великобритании.

1699: начало открытого приоритетного спора с Лейбницем, в который были вовлечены даже царствующие особы. Эта нелепая распря двух гениев дорого обошлась науке — английская математическая школа вскоре увяла на целый век, а европейская — проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона, переоткрыв их много позднее. На континенте Ньютона обвиняли в краже результатов Гука, Лейбница и астронома Флемстида, а также в ереси. Конфликт не погасила даже смерть Лейбница (1716).

В 1703 году Ньютон был избран президентом Королевского общества и управлял им до конца жизни — более двадцати лет.

1705: королева Анна возводит Ньютона в рыцарское достоинство. Отныне он сэр Исаак Ньютон. Впервые в английской истории звание рыцаря присвоено за научные заслуги.

Последние годы жизни Ньютон посвятил написанию «Хронологии древних царств», которой занимался около 40 лет, и подготовкой третьего издания «Начал».

В 1725 году здоровье Ньютона начало заметно ухудшаться (каменная болезнь), и он переселился в Кенсингтон неподалёку от Лондона, где и скончался ночью, во сне, 20 (31) марта 1727 года. Похоронен в Вестминстерском аббатстве.

Надпись на могиле Ньютона гласит:

«Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливы океанов.

Он исследовал различие световых лучей и появляющиеся при этом различные свойства цветов, чего ранее никто не подозревал. Прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и Св. писания, он утверждал своей философией величие Всемогущего Бога, а нравом выражал евангельскую простоту.

Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого»

На статуе, воздвигнутой Ньютону в 1755 г. в Тринити-колледже, высечены стихи из Лукреция:

«Qui genus humanum ingenio superavit (Разумом он превосходил род человеческий)»

Сам Ньютон оценивал свои достижения более скромно:

Не знаю, как меня воспринимает мир, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, который развлекается тем, что время от времени отыскивает камешек более пёстрый, чем другие, или красивую ракушку, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным.

По словам А. Эйнштейна, «Ньютон был первым, кто попытался сформулировать элементарные законы, которые определяют временной ход широкого класса процессов в природе с высокой степенью полноты и точности» и «… оказал своими трудами глубокое и сильное влияние на всё мировоззрение в целом».

История метода

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» (лат. Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе «De metodis fluxionum et serierum infinitarum» (лат. Метод флюксий и бесконечные ряды) или «Geometria analytica» (лат. Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений xn вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В 1879 годуАртурКэливработе The Newton-Fourier imaginary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.

Отделение корней

Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения заранее требуется знать какой-либо отрезок, на котором лежит искомый корень, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения). В этом случае говорят, что корень отделён на отрезке. Отделить корень — значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближениеx 0 к корню (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.

Теорема 1 Если функция непрерывна на отрезке, причём значения её в концах отрезка и — это числа разных знаков, то на отрезке лежит по крайней мере один корень уравнения.

Практический смысл теоремы в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

Теорема 2 Если функция строго монотонна на отрезке, то есть возрастает или убывает на, то на этом отрезке уравнение не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение имеет один корень.

Тем самым, если отрезок, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если и — разного знака), — это отрезок строгой монотонности функции, то на отделён ровно один корень.

Заметим, что интервалы монотонности функции можно отыскивать, решая неравенства (что соответствует возрастанию функции) и (что соответствует убыванию).

Описание метода Ньютона (метода касательных)

Пусть корень уравнения f ( x ) = 0 отделён на отрезке, причем f ’( x ) и f ’’( x ) непрерывны и сохраняют определённые знаки при . Найдя какое-нибудь n-e приближение корня n (), мы можем уточнить его по Методу Ньютона следующим образом. Пусть , где hn малая величина. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:

Внеся эту поправку в формулу (2), получим следующее по порядку приближение корня:

(n=0,1,2…).

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f ( x ) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. в самом деле, положим для определённости, что f ’’( x )> 0 при и f ( b )> 0 (рис. 1).

Выберем, например, х0=b, для которого f ( x ) f ’’( x )> 0. Проведем касательную к кривойy = f ( x ) в точке B0 (x0, f(x0)).

В качестве 1-го приближения x 1 корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Через точку B1( x 1, f ( x 1)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с Ox даст нам 2-е приближениеx 2 корня и т.д. (рис. 1). Очевидно, что уравнение касательной в точке Bn (xn , f ( xn )) (где n=0,1,2…) есть

.

Заметим, что если в нашем случае положить х0=a и, следовательно, f ( x ) f ’’( x ) 0, f ‘(x) >0, f ’’( x )> 0 при (остальные случаи рассматриваются аналогично). Согласно неравенству (4) имеем f(x0) >0 (например, можно принять х0 = b).

Методом математической индукции докажем, что все приближения xn>(n = 0, 1, 2. ) и, следовательно, f ( xn )> 0. В самом деле, прежде всего, x0 >.

Пусть теперь xn>. Положим

Применяя формулу Тейлора, получим:

где 0, то имеем:

что и требовалось доказать.

Из формулы (3), учитывая знаки f(xn) и f’(х n ), имеем хn+1 0 при , f»(x )>0 и х0 = с, где .

Если f (с) = 0 , то корень = с и задача, таким образом, решена.

Если f ( c ) > 0, то справедливо приведенное выше рассуждение и процесс Ньютона с начальным значением с сходится к корню .

Кроме того, из условия f»(x) >0 вытекает, что f ’ (х) — возрастающая функция и, значит, f ’( x ) > f ‘ (а) > 0 при х>а. Следовательно, х1 можно принять за начальное значение для процесса Ньютона, сходящегося к некоторому корню функции f ( x ) такому, что > с а. Так как в силу положительности производной f ‘ (х) при х > а функция f ( x ) имеет единственный корень на интервале (а, +), то =.

Аналогичное рассмотрение можно провести для других комбинаций знаков производных f ’( x ) и f»(x).

Замечание 2 . Из формулы (3) видно, что чем больше численное значение производной f ’( x ) в окрестности данного корня, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n-му приближению, чтобы получить (n+l)-e приближение. Поэтому метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Но если численное значение производной f ’( x ) близ корня мало, то поправки будут велики, и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным. Следовательно, если кривая y = f ( x ) вблизи точки пересечения с осью Ох почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f ( x ) = 0 не рекомендуется.

Оценка погрешности

Для оценки погрешности n-го приближения хn можно воспользоваться общей формулой.

(6)

где m1 — наименьшее значение |f ’( x ) |на отрезке [а, b].

Выведем еще одну формулу для оценки точности приближения xn. Применяя формулу Тейлора, имеем:

(7)

где .Так как в силу определения приближения хп имеем

то из (7) находим:

где М2 — наибольшее значение | f » (х) |на отрезке [а, b].Следовательно, на основании формулы (6) окончательно получаем:

Если процесс Ньютона сходится, то хп- хп-1 0 при п —►. Поэтому при п имеем:

т.е. «установившиеся» начальные десятичные знаки приближений xn -1 иxn начиная с некоторого приближения, являются верными.

Заметим, что в общем случае совпадение с точностью до е двух последовательных приближений хп-1 и хп вовсе не гарантирует, что с той же точностью совпадает значение хп и точный корень | (рис. 19).

Установим также формулу, связывающую абсолютные погрешности двух последовательных приближений хп и xn +1 . Из формулы (5) получаем:

где . Отсюда, учитывая формулу (3), будем иметь:

(9)

Формула (9) обеспечивает быструю сходимость процесса Ньютона, если начальное приближение х0 таково, что

В частности, если

то из формулы (9) получаем:

т.е. в этом случае, если приближение хп имело mверных десятичных знаков после запятой, то следующее приближение хп+1 будет иметь по меньшей мере 2т верных знаков; иными словами, если , то с помощью метода Ньютона число верных знаков после запятой искомого корня удваивается на каждом шаге.

Информация о предыдущих приближениях корня используется для нахождения последующих приближений не только в методе касательных. В качестве примера другого такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении xi + 1 по двум предыдущим приближениям xi и xi − 1 с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд .

Идея метода состоит в том, что по двум точкам Mi − 1(xi − 1;f (xi − 1)) и Mi (xi ;f (xi )) построить прямую Mi − 1Mi (то есть хорду, соединяющую две точки графика y = f (x )) и взять в качестве следующего приближения xi + 1 абсциссу точки пересечения этой прямой с осью Ox . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию f (x ) её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям : x и xi − 1. (Линейной интерполяцией функции f (x ) назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями f (x ) в двух фиксированных точках, в данном случае — в точках xi − 1 и xi .)

Уравнение хорды — это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

В зависимости от того, лежат ли точки xi − 1 и xi по разные стороны от корня x * или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Рис 3. Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая.

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .

Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

построенному для отрезка между xi − 1 и xi , график которой проходит через точку Mi :

Решая уравнение , находим

(1)

Заметим, что величина ki может рассматриваться как разностное приближение для производной f ‘(x ) в точке xi . Тем самым полученная формула (1) — это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона. Вычисление по формуле (1) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле

хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (1) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.

Погрешность

Имеются две разновидности применения формулы (1). Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (1) при , начиная с двух приближений x 0 и x 1, взятых, по возможности, поближе к корню x * . При этом не предполагается, что x * лежит между x 0 и x 1 (и что значения функции f в точках x 0 и x 1 имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между xi − 1 и xi на каком-либо следующем шаге (хотя это и исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой xi + 1 приближает истинное значение корня x * , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где — желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .

Условие сходимости

Достаточное условие сходимости, таково: Это неравенство может быть переписано в виде откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых, так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех X на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент K не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка X[1] может выскочить из рассматриваемой окрестности корня X[*] , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

Метод половинного деления

Снова предположим, что корень отделён на отрезке и знаки и различны (функция меняет знак при переходе через корень ).

Положим и и вычислим значения функции в левом конце отрезка, , и в его середине ; . Сравним знаки чисел и . Если эти знаки различны, то корень лежит в интервале ; если же одинаковы, то тогда различны знаки и , и корень лежит в интервале . (Возможен ещё случай ; тогда корень уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке либо , длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка . Обозначим этот отрезок половинной длины через (то есть положим в случае, когда и разных знаков, и в случае, когда и одного знака).

Далее повторим процесс для отрезка : снова отыщем его середину , найдём значение функции и сравним знак этого числа со знаком ; если знаки разные, то корень отделён на , если одинаковые, то на (или же оказывается, что ; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза.

Рис 4. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Поступая тем же образом и далее, получаем, что после делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в раз и становится равной (если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с при некотором ).

Погрешность

Пусть — заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство . Очевидно, что если при этом положить

то расстояние от корня , лежащего где-то в интервале , до середины этого интервала будет не больше , то есть приближённое равенство будет выполнено с нужной точностью. C увеличением точности заметно возрастает объем вычислительной работы, поэтому метод удобно применять для нахождения грубого корня уравнения.

Метод легко реализуется на ЭВМ.

Пример решения уравнения методом Ньютона

, .

f ’( x )=

f’(x) 0 при

Вывод: в третьем приближении получен результат с 4-мя точными знаками после запятой: .

Ответ:

Список литературы

· «Основы вычислительной математики», Б. П. Демидович, И.А. Марон, 1966г.

Лекция «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

БИК Курс лекций по дисциплине «Численные методы»

для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем

Раздел 2. Численные методы

2.1.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Графический метод решения уравнений

1. Алгебраические и трансцендентные уравнения

При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

( x )= g ( x ), (1)

где (х) и g (х) — данные функции, определенные на некотором числовом множестве X , называемом областью допустимых значений уравнения .

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

F ( x ) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

 Совокупность значений переменной х, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х : из этой совокупности называется корнем уравнения.

 Всякое число , обращающее функцию F ( x ) в нуль, т.е. такое, при котором F ( )=0, называется корнем уравнения (1).

 Число называется корнем k -той кратности, если при x =вместе с функцией F ( x ) равны нулю ее производные до ( k -1) порядка включительно:

F ( ) = F / () = … = F ( k -1) ( ) = 0.

Однократный корень называется простым.

 Решить уравнение – значит найти множество всех корней этого уравнения.

Оно может быть конечным или бесконечным.

 Два уравнения F ( x )=0 и G ( x =0) называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение каждого из них является решением и для другого, то есть множества решений этих уравнений совпадают.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнения (1) или (2), уравнения разделяются на два больших класса: линейные и нелинейные.

Нелинейные уравнения делятся, в свою очередь на: алгебраические и трансцендентные .

Уравнение (2) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где a ₀, a ₁, . , a _n — коэффициенты уравнения, а x -неизвестное. Показатель n называется степенью алгебраического уравнения.

Если функция F ( x ) не является алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным.

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании корней, т. е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Корни уравнения могут быть вещественными и невещественными (комплексными).

Найти точные значения корней уравнения можно только в исключительных случаях, обычно, когда есть какая-либо простая формула для вычисления значения корней, выражающая их через известные величины.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменой не решаются путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами.

При решении многих практических задач точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

 Решить уравнение – это значит

установить, имеет ли оно корни,

и найти значение корней с заданной точностью.

 Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (2) обычно состоит из двух этапов:

отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых находится одно значение корня,

и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (2) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод простой итерации. Применение того или иного метода для решения уравнения (2) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F ( x ).

2. Графические методы решения уравнений

Одним из методов решения уравнений является графический. Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т. е. представляют его в виде f (х) = 0. После этого строят график функции у = f ( x ), где f (х) – левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции у = f (х) с осью Ох и являются корнями уравнения, так как в этих точках у = 0 (рис. 1).

Рисунок 1

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т. е. представляют его в виде f (х) = g (х).

После этого строят графики двух функций у = f (х) и у = g (х). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу х₀, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т. е. f (х₀) = g (х₀). Из этого равенства следует, что х₀ – корень уравнения (рис. 2).

Рисунок 2

Пример 1. Решить графически уравнение х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 = 0.

Первый способ. Построим график функции у = х 3 — 2 x 2 + 2х — 1 и определим абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох. Кривая пересекает ось Ох в точке х = 1, следовательно, уравнение имеет один корень (рис. 3). (Отметим, что алгебраическое уравнение третьей степени имеет или один действительный корень или три. Так как кривая пересекает ось абсцисс только в одной точке, то данное уравнение имеет только один действительный корень. Остальные два корня – комплексные.)

Рисунок 3 Рисунок 4

Второй способ. Представим данное уравнение в виде х 3 = 2 x 2 + 2х–1 и построим графики функций у = х 3 и у = 2 x 2 + 2х – 1. Найдем абсциссу точки пересечения этих графиков; получим х = 1 (рис. 4).

Пример 2. Найти приближенно графическим способом корни уравнения lg х — Зх + 5 = 0.

Перепишем уравнение следующим образом: lg х = Зх — 5.

Функции в левой и в правой части уравнения имеют общую область определения: интервал 0

Строим графики функций у = lg х и у = Зх — 5 (рис. 5). Прямая у = Зх-5 пересекает логарифмическую кривую в двух точках с абсциссами x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75. На рисунке трудно показать пересечение графиков этих двух функций в первой точке, однако, учитывая, что нижняя ветвь, логарифмической кривой неограниченно приближается к оси Оу, можно предполагать, что пересечение этих двух графиков произойдет вблизи точки пересечения графика функции у = Зх — 5 и оси Оу. Абсцисса точки пересечения приближенно равна 0,00001. Итак, корни уравнения x ₁ 0,00001 и x ₂ 1,75

Рисунок 5 Рисунок 6

Пример 3. Найти графически корни уравнения 2 х = 2х.

Решение. Строим графики функций у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны х ₁ = 1 и х ₂ = 2. Данное урав­нение имеет два корня х ₁ = 1 и х ₂ = 2 (рис. 6).

Подводя итог вышеизложенному, можно рекомендовать для графического решения уравнения f (х) = 0, все корни которого лежат в промежутке [а, b ], следующую простую схему.

1. Представить указанное уравнение в виде (х) = g (х) с таким расчетом, чтобы функции у=(х) и у = g (х) были просты и удобны для исследования и построения.

2. На бумаге вычертить графики функций у =(х) и у = g (х) в промежутке [а, b ].

3. Если графики не пересекаются, то корней в данном промежутке нет. Если же графики пересекаются, то нужно определить точки их пересечения, найти абсциссы этих точек, которые и будут приближенными значениями корней рассматриваемого уравнения.

Первый этап численного решения уравнения (2) состоит в отделении корней, т.е. в установлении “тесных” промежутков, содержащих только один корень.

 Корень уравнения f (х) = 0 считается отделенным на отрезке [ a , b ] , если на этом отрезке уравнение f (х) = 0 не имеет других корней.

 Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

Графический метод отделения корней. При графическом методе отделения корней поступают так же, как и при графическом методе решения уравнений.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции к орня. Далее корни уточняются одним из способов, указанных ниже.

Аналитический метод отделения корней. Аналитически корни уравнения f(х) =0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа.

Сформулируем без доказательства теоремы, знание которых необходимо при отделении корней.

1) Если непрерывная на отрезке функция F ( x ) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение (2) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень

2) Если функция F ( x ) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Рассмотрим примеры поведения некоторых функций:

Рисунок 7

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F ( x )=0, причем можно считать, что все корни находятся на отрезке , в которой функция F ( x ) отделена, непрерывна и F ( A )* F ( B ) F ( x ), начиная с точки X = A , двигаясь вправо с некоторым шагом h .

Как только обнаружится пара соседних значений F ( x ), имеющих разные знаки, и функция F ( x ) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента X (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Схема соответствующего алгоритма изображена ниже. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на дисплей в цикле значения параметров X ₁ и X ₂ (Концов выделенных отрезков).

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами

Существуют формулы и правила для нахождения решений уравнений третей и четвертой степени, но эти формулы громоздкие и не удобные в применении, особенно в практических задачах. Если рассмотреть не алгебраические уравнения, то задача усложняется еще больше, потому что получить формулу для нахождения корней такого уравнения практически невозможно.

Трансцендентные уравнения – это уравнения в которых переменная x находится в нутрии тригонометрических функций, показательных, логарифмических функций.

Если записать уравнение в виде f(x)=0 , то известные алгоритмы обычно не накладывают не каких ограничений на конкретный вид функций f(x), чтобы найти корни такого уравнения, т. е. те значения x которые обращают уравнения тождества, необходимо подобрать численный метод этого решения, численный метод как правило дает приближенное значение.

Если имеется нелинейное уравнение , то в процессе приближенного отыскания обычно выделяют два этапа:

1. отделение корня;
2. уточнение корня.

Под отделение корня понимается определение промежутка содержащего один и только один корень. Вторая точка находится в зависимости от заданной точности и условия задачи, чаще всего процесс отделения корня уравнения не может быть алгоритмизирован, существуют только некоторые классы уравнений для которых разработаны специальные приемы позволяющие отделять корень. Эти приемы могут быть аналитические или графические.

Просмотр содержимого документа
«Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами »

ГБОУ СПО САМАРСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

практического занятия №5-6

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами

Автор-составитель: Родионова Т.В.

По дисциплине: «Численные методы»

Тип урока: практическое занятие

Тема. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами.

Формировать умения решить алгебраические уравнения приближёнными методами.

Учить использовать логические приёмы активизации мыслительной деятельности.

Развивать алгоритмическое мышление.

Проверить уровень знаний некоторых методов приближённого решения уравнений.

Воспитывать вычислительную культуру, внимательность, аккуратность, дисциплинированность.

Развивать познавательный интерес, навыки самоконтроля, умения работать с тестом смешанного типа.

Оборудование: доска, планшеты функций, карточки с заданием (тест).

Орг. момент. (5 мин)

Целевая установка и актуализация знаний. (5 мин)

Решение уравнений(20 мин)

Самостоятельная работа студентов (тест). (10 мин)

Подведение итогов урока. Домашнее задание (5 мин)

Приветствие, проверка присутствующих. Сегодня на уроке мы рассмотрим пример применения метода итераций для решения алгебраических уравнений. Вспомним алгоритм решения и численные, приближённые методы решения уравнений. В конце урока выясним, как каждый знает основные положения темы с помощью мини-теста.

II. Актуализация знаний.

Что называется уравнением?

Что является корнем уравнения?

Какие уравнения называют трансцендентными, и какие — алгебраическими?

Что значит непрерывная функция, приведите пример?

Вспомним алгоритм решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Из скольких этапов он состоит.

В каком случае говорят, что корень отделён?

Метод проб с десятичным делением

Метод проб с половинным делением

аким способом может быть отделён корень?

-Назовите методы уточнения корня.

-Чем похожи, и чем отличаются метод проб с десятичным делением и метод проб с половинным делением?

-Охарактеризуйте кратко остальные методы.

III. Решение уравнений.

1.На прошлом занятии мы рассмотрели теоретический блок метода итераций. Сейчас рассмотрим конкретный пример.

Пусть корень уравнения отделён и принадлежит интервалу [0,1; 0,2].

Для уточнения корня применим метод итераций. Представим уравнение в виде, удобном для применения метода

Проверим условия применимости метода. Найдем производную и сравним модуль её значения на заданном отрезке с1.

Пусть х = 0,15, тогда f ‘(0,15) =-0,005625

Получили |-0,005625| f ‘(х) | значит, метод итераций применить можно.

Примем за начальное приближение любое число из данного интервала.

х₀≈0,16 и будем вычислять последовательные приближения

Получили приближённое значение корня и ответ.

IV. Самостоятельная работа студентов (тест).

(см. Приложение 1.)

V. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

1.Решить комбинированным методом проб и хорд с точностью до 0,001:

х 5 +0,2х-0,84=0, (положительный корень). (Отв.0,919)

2. Решить комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001:

х 6 +2х-1=0, (положительный корень). (Отв.0,493)

3.*Составить алгоритм и программу для нахождения приближенных решений алгебраических и (или) трансцендентных уравнений.

(см. Приложение 2.)

1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.

2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.

3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.

4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.

Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Вариант для преподавателя Вариант №1

Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.

Установите соответствие понятия определению:

1. Численные методы

2. Корень уравнения

3. Скорость сходимости

А) – это характеристика близости приближённого решения к точному решению при некоторых дополнительных ограничениях.

Б) позволяют получить численный ответ с помощью последовательности осуществимых численных операций.

В). – число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство.

Установите соответствие уравнения его виду:

А) √х+3 + √3х-2 = 7; Б) lg х = 1 / х 2 ;

Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.

Среди предложенных функций выберите непрерывную:

А) у = 5х 4 -7х 2 +4х+10, Б) у = tg х,

В) у = 18 / х, Г) у = 5 / (х-1).

Решить уравнение х 4 -25х 2 +144=0

и выбрать правильный ответ.

Метод итераций можно применять для решения алгебраического уравнения, если:

Б) | f ‘(x)| 1 на отрезке [a,b];

Г) | f ‘(x)| 0 на отрезке [a,b].

Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.

Для уточнения корня методом хорд, если f ‘(х) и f »(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..

Для уточнения корня методом касательных, если f ‘(х) и f »(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то

х₀ =b и применяется формула………..

Найти приближённое значение корня уравнения

х 3 +х 2 -3=0 на отрезке [1;1,5]., применяя метод хорд и метод касательных, с точностью до 0,01.

Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Вариант для преподавателя Вариант №2

Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.

Установите соответствие понятия определению:

1. Открытый интервал

2. Условие сходимости метода

3. Численные методы

А) — раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения задач.

Б) — это минимальные по возможности ограничения, при которых приближённое решение задачи стремится к точному решению.

В) – совокупность всех действительных чисел х , удовлетворяющих неравенству: а х b, где а и b – данные числа. Обозначается так (а,b).

Установите соответствие уравнения его виду:

А) sin 3 х = 2cosх; Б) 2х 2 -2х+1=0;

Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.

Среди предложенных функций выберите непрерывную:

А) у =, сtg х; Б) у = 3х 4 -5х 2 +2х+9;

В) у = 8 / х; Г) у = 15 / (х-2).

Решить уравнение х 4 — 13х 2 +36=0

и выбрать правильный ответ.

В процессе решения алгебраического уравнения отделение корня можно выполнить следующими способами:

А) практически; Б) аналитически;

В) графически; Г) на глаз.

Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.

Для уточнения корня методом касательных, если f ‘(х) и f »(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то

х₀ =b и применяется формула………..

Для уточнения корня методом хорд, если f ‘(х) и f »(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..

Найти приближённое значение корня уравнения

х 3 -2х-1=0 на отрезке [1,5;2]., применяя метод десятичного деления и метод проб, с точностью до 0,01.

Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.

Установите соответствие понятия определению:

1. Численные методы

2. Корень уравнения

3. Скорость сходимости

А) – это характеристика близости приближённого решения к точному решению при некоторых дополнительных ограничениях.

Б) позволяют получить численный ответ с помощью последовательности осуществимых численных операций.

В). – число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство.

Установите соответствие уравнения его виду:

А) √х+3 + √3х-2 = 7; Б) lg х = 1 / х 2 ;

Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.

Среди предложенных функций выберите непрерывную:

А) у = 5х 4 -7х 2 +4х+10, Б) у = tg х,

В) у = 18 / х, Г) у = 5 / (х-1).

Решить уравнение х 4 -25х 2 +144=0

и выбрать правильный ответ.

Метод итераций можно применять для решения алгебраического уравнения, если:

Б) | f ‘(x)| 1 на отрезке [a,b];

Г) | f ‘(x)| 0 на отрезке [a,b].

Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.

Для уточнения корня методом хорд, если f ‘(х) и f »(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..

Для уточнения корня методом касательных, если f ‘(х) и f »(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то

х₀ =b и применяется формула………..

Найти приближённое значение корня уравнения

х 3 +х 2 -3=0 на отрезке [1;1,5]., применяя метод хорд и метод касательных, с точностью до 0,01.

Тест по теме «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Инструкция по выполнению заданий 1-2: соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2. Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 2, обозначающую правильный ответ на вопросы столбца 1. В результате выполнения Вы получите последовательность букв.

Установите соответствие понятия определению:

1. Открытый интервал

2. Условие сходимости метода

3. Численные методы

А) — раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения задач.

Б) — это минимальные по возможности ограничения, при которых приближённое решение задачи стремится к точному решению.

В) – совокупность всех действительных чисел х , удовлетворяющих неравенству: а х b, где а и b – данные числа. Обозначается так (а,b).

Установите соответствие уравнения его виду:

А) sin 3 х = 2cosх; Б) 2х 2 -2х+1=0;

Инструкция по выполнению заданий № 3-5: выберите букву (буквы), соответствующую (щие) правильному варианту ответа, и запишите в колонку ответов.

Среди предложенных функций выберите непрерывную:

А) у =, сtg х; Б) у = 3х 4 -5х 2 +2х+9;

В) у = 8 / х; Г) у = 15 / (х-2).

Решить уравнение х 4 — 13х 2 +36=0

и выбрать правильный ответ.

В процессе решения алгебраического уравнения отделение корня можно выполнить следующими способами:

А) практически; Б) аналитически;

В) графически; Г) на глаз.

Инструкция по выполнению заданий № 6-8: в колонку ответов запишите формулу или число.

Для уточнения корня методом касательных, если f ‘(х) и f »(х) имеют одинаковые знаки на отрезке [а,b], то

х₀ =b и применяется формула………..

Для уточнения корня методом хорд, если f ‘(х) и f »(х) имеют разные знаки на отрезке [а,b], то применяется формула………..

Найти приближённое значение корня уравнения

х 3 -2х-1=0 на отрезке [1,5;2]., применяя метод десятичного деления и метод проб, с точностью до 0,01.

Практическая работа № 5

Приближенное решение алгебраического уравнения комбинированным методом

Содержание работы. Отыскание корня алгебраического уравнения комбинированным методом (методом проб и хорд или методом хорд и касательных).

Тип задания. Дано алгебраическое уравнение степени выше второй f(x)=0. Даются указания, какой именно корень требуется найти. Ставится задача отыскания приближенного значения корня с заданной точностью.

1. Графически отделить корень данного уравнения: найти отрезок [а; b] достаточно малой длины, внутри которого содержится искомый корень, и этот корень единственный.

Проверить аналитически, что:

Методом проб уточнить корень, добившись того, что длина отрезка [а; b] станет равной 0,1.

Избрать один из рекомендуемых комбинированных методов, составить расчетный бланк для записи вычислений.

Провести вычисления в соответствии с разработанной схемой.

Проверить полученный результат путем подстановки найденного корня в уравнение.

Задание 1. Вычислить наименьший положительный корень уравнения

2— х – 2 = 0

комбинированным методом проб и хорд с точностью до четвертого десятичного знака.

Задание 2. Вычислить наименьший положительный корень уравнения

2— х – 2 = 0

комбинированным методом хорд и касательных.

1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.

2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.

3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.

4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.

Практическая работа №6*.

Приближенное решение трансцендентного уравнения

Тип задания. Найти корень данного уравнения F(x)=0 с заданной точностью одним из методов: 1) комбинированным методом проб и хорд;

2) комбинированным методом хорд и касательных;

3) методом итераций.

Если решено применить метод (1) или (2), то порядок выполнения работы тот, который изложен в работе № 5. Заметим лишь, что при выполнении данной работы следует пользоваться таблицами тех трансцендентных функций, которые содержат в уравнении (логарифм, тригонометрические функции и др.).

Приведем план выполнения данной работы в случае применения метода итераций.

Графически или другим методом найти грубое приближенное значение корня . Отделить корень — найти отрезок [а; b] достаточно малой длины, в котором содержится корень (также находится в этом отрезке).

Привести данное уравнение F (х) = 0 к виду x = f (x). Из различных представлений уравнения в этом виде выбрать такое, при котором есть малое число, значительно меньшее единицы (чем меньше, тем лучше).

Убедиться в том, что для всех х отрезка [а; b] выполняется неравенство

где q—малое число, значительно меньшее единицы. (Если ) очень мало и длина отрезка [а; b] также очень мала, то эту проверку можно не выполнять.)

Составить расчетный бланк для вычисления последовательных приближений, приняв за начальное приближение или (если окажется удобным) любое другое число из отрезка [а; b]. (Обозначить начальное приближение х₀.) Провести вычисление последовательных приближений с одним запасным знаком. Вычисления прекратить, когда совпадут два соседних приближения в пределах заданной точности.

Если окажется необходимым, произвести дополнительную оценку точности найденного корня.

Задание. Вычислить корень уравнения lg x+5x—2=0 с точностью до 0,0001 методом итераций.

1. Костомаров Д.П. Программирование и численные методы – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.

2. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.

3. Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.

4. Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.