Придумать свою задачу на составление уравнения

Составление уравнений и задач как творческая форма работы учащихся

Разделы: Математика

Образованию более крупных единиц усвоения знаний содействует выполнение учащимися творческих упражнений, которые в общепринятой практике занимают очень скромное место.

Два полярных процесса — решение задачи и составление подобной ей — становится в совокупности слитной двуединой, качественно новой, укрупнённой единицей учебного познания.

Самостоятельное приобретение учащимися новых знаний — творческий процесс. Большую помощь при этом оказывает введение в обучение творческих заданий, одним из видов которых является задания по составлению задач. Такие задания могут быть предложены учащимся, как на этапе изучения нового материала, так и на этапе его закрепления.

Составление задач развивает мышление, повышает интерес к учёбе. Уже начиная с 5 класса можно предлагать ученикам составить свою задачу, скажем, на умножение, на среднее арифметическое. И пусть ребёнок лишь изменит «словесную оболочку» задачи, всё равно можно смело говорить, что он осознал эту задачу, и что он обязательно решит её и ей подобную. Можно меньше волноваться за ученика, в чьей задаче вместо папы, собиравшего грибы, появилась бабушка, собиравшая ягоды, чем за ученика, который не смог придумать свою задачу.

В дальнейшем, конечно, нужно усложнять задачу: давать общие правила составления упражнений, учить составлять более содержательные, трудные задачи.

Очень хорошо, если будут отведены отдельные уроки в конце каждой темы именно на обучение детей составлению задач. Также целесообразно предлагать такие задания на самостоятельных и контрольных работах.

Здесь встаёт несколько вопросов:

1. Что значит составить задачу?
2. Какие задачи лучше учить составлять (из каких разделов)?
3. Сколько времени уделять этому?

1. Тут важно различить два понятия: пример и задача.

Пример — это интуитивная, неосознанная в плане решения, задача, т.е. нельзя сказать её результат, не всегда можно видеть пути её решения.

Задача (упражнение) — это данные + условие + неизвестное + ответ + осознание плана решения. И составить задачу не есть весь этот комплекс (зачастую без ответа) формально подстроить под формулу или метод.

2. Самые разные: чем больше, тем лучше. Это и составление текстовых задач, и уравнений, и неравенств, и задач на интегралы, и геометрических задач.

3. Нельзя строго регламентировать время на такие уроки.

Важен результат! В то же время нельзя забывать, что всё-таки главное в обучении — это давать необходимый уровень знаний. Обучение детей составлению задач должно вытекать именно из этого и не должно быть самоцелью!

Важнейшими методами творческого мышления учёные считали сравнение, сопоставление,* обобщение.

В процессе творческой познавательной деятельности познающий создаёт (воссоздаёт) знания, делает для себя открытие. Процесс творческого познания осуществляется без помощи извне.

Творческая познавательная деятельность предполагает высокую степень мыслительной активности, напряжение всех познавательных сил, внимание, привлечение опыта и приобретённых знаний, представления и воображения, а также анализ, синтез, догадку и предположение и т.д. В процессе творческой, познавательной деятельности ученик самостоятельно (под руководством учителя) формулирует познавательную задачу, отыскивает пути её решения, формулирует вывод, осуществляет проверку истинности полученного результата.

Составление и решение обратных задач заинтересовывает учащихся, приковывает их внимание к объяснению учителя и стимулирует познавательную деятельность, побуждает к творческой активности, самостоятельности.

Решение задач вызывает интерес школьников в том случае, когда они заставляют их думать и действовать, порождают веру в свои силы, дают выход энергии, деятельности. Само решение задачи должно захватить ученика, стать для него необходимым и важным.

В школе надо решать не только готовые задачи, но и научить детей их составлять, так как это один из наиболее важных приёмов, способствующих творческому развитию ученика. При решении готовых задач, которые формируют математические понятия, ученики усваивают конкретные признаки этого понятия. При составлении задач мысль ученика идёт от математического понятия, ученики усваивают конкретную признаки этого понятия (например, сложения) к жизненному действию. При этом школьник выделяет из понятия (сложения) конкретный его признак (увеличение числа на несколько единиц, нахождение суммы двух чисел и т.д.). Значит, при составлении задач общее понятие конкретизируется, следовательно, вместе с тем раскрывается его объём. Составление задачи помогает овладению приёмами синтеза и анализа, проникновению в математическую структуру задачи.

Самостоятельное составление задач учащимися имеет большое значение для развития их речи. Составляя же задачи, ученик должен перебрать и продумать различные варианты выражения мысли, чтобы наиболее точно раскрыть математическую ситуацию в зависимости между предметами, явлениями, величинами. При этом он учится быть внимательным, под каждым словом понимать конкретные примеры, явления, величины окружающей действительности, давать им точные названия, правильно пользоваться математической терминологией. Для стиля математического мышления характерна чёткая расчленённость хода суждения, логическая стройность, предельная сжатость.

И, несомненно, составление, и решение взаимно — обратных задач тоже является элементом творчества школьников. Хотя подборке задач в действующих учебниках отводится определённое место, в них всё же слишком мало так называемых двоек, троек задач. Между тем подборка задач является действенным элементом активизации познавательной деятельности школьников.

Необходимо чаще решать парные задачи, тройки задач, чтобы развивать у детей умение сопоставлять. Решение двоек, троек задач помогает заинтересовать учащихся процессом их решения, и этот процесс приносит удовлетворение и побуждает к овладению общим способом решения подобных задач. Использование игровых моментов и наглядности при решении задач, введение элементов соревнования, составление задач с использованием различных заданий — всё это развивает творческое мышление учащихся.

Приведу примеры уравнений, задач, составленных учащимися 5 класса по теме «Дробные числа».

1. Деформированные упражнения.

2. Матричные упражнения

б) Заполнить таблицу умножения дроби на дробь.

Образец: а/в х х/у = а х х/в х у

3. Уравнения.

а) 5 : х = 1½ (Алтн Ш.)

б) х + 3,8 =8 (Эльвира 3)

в) 25/28 : x = 5/7 (Айса Л)

4. Текстовые задачи

а) Длина комнаты 5,5м, а ширина на 2 м больше. Найти площадь комнаты. Составить и решить обратную задачу.

б) Луком было засеяно 11/14 поля, а огурцами 1/7 поля. Какая часть поля была засеяна луком и огурцами?

в) Купили 10 кг пшеницы по цене 3,5р. и 10 кг ячменя по цене 2,5р. за килограмм. Из пшеницы и ячменя сделали кормосмесь. Определить цену кормосмеси.

Литература:

1. П.М. Эрдниев «Обучение математике методом укрупнения дидактических единиц».
2. Журнал «Математика в школе».
3. Журнал «Cyphyль» (Учёба).

Индивидуальные задания на тему «Задачи на составление уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Индивидуальные задания по теме «Задачи на составление уравнений» Математика – 5

1.Решите задачу с помощью уравнения.

Ученик задумал число. Это число он умножил на 9 и к полученному результату

прибавил 40. Получилось число 76. Какое число задумал ученик?

2. Решите задачу с помощью уравнения.

Если задуманное число увеличить в 11 раз и к полученному результату

прибавить 5, то получится число 82. Найдите задуманное число.

3. Решите задачу с помощью уравнения.

Из 14м 2 материи сшили 2 пододеяльника. На каждый пододеяльник

израсходовали 6 м 2 . Сколько квадратных метров материи осталось?

4. Решите задачу с помощью уравнения.

Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98км. В первый день они проплыли

22км. В каждый из последующих дней они проплывали одно и то же

расстояние. Найдите это расстояние.

5. Решите задачу с помощью уравнения.

Из 830г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов шерсти истратили

на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350г?

6. Решите задачу с помощью уравнения.

Имелось несколько ящиков. Когда в каждый ящик положили по 12кг слив, то

осталось ещё 16кг. Сколько имелось ящиков, если всего было 100кг слив?

7. Решите задачу с помощью уравнения.

Получили несколько бидонов молока, по 20л в каждом. В детский сад отправили

45л молока, после чего осталось 115л. Сколько бидонов молока было получено?

8. Решите задачу с помощью уравнения.

На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.

Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек посажено 16 кустов?

9. Решите задачу с помощью уравнения.

За день туристы прошли 15 км. После обеда они прошли в 4 раза меньше, чем до

обеда. Сколько километров туристы прошли до обеда?

10. Решите задачу с помощью уравнения.

В двух зрительных залах кинотеатра 624 места. В одном зале в 3 раза больше

мест, чем в другом. Сколько мест в другом зрительном зале?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 726 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.11.2015
• 430
• 0

• 24.11.2015
• 996
• 0

• 24.11.2015
• 587
• 1

• 24.11.2015
• 747
• 0

• 24.11.2015
• 599
• 0

• 24.11.2015
• 2740
• 17

• 24.11.2015
• 44460
• 79

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.11.2015 653
• DOCX 15.8 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Козлова Светлана Львовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 15688
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.