Придумайте уравнение в котором х 60

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 4.1 Алгебраический способ решения задач. Номер №340

Придумайте задачу, переводом которой на язык математики является уравнение:
а ) x + (x − 3 ) = 33 ;
б ) x + (x + 3 ) + (x + 6 ) = 30 ;
в ) x + 3 x = 160 ;
г ) x + 2 x + 3 x = 60 .

Решение а

Маша собрала на 3 гриба меньше, чем Витя. Сколько грибов собрал каждый из ребят, если вместе они собрали 33 гриба?
Решение:
Пусть x ( грибов) − собрал Витя, тогда:
x − 3 (грибов) − собрала Маша.
Так как, вместе ребята собрали 33 гриба, то:
x + (x − 3 ) = 33
x + x − 3 = 33
2 x = 33 + 3
2 x = 36
x = 36 : 2
x = 18 (грибов) − собрал Витя;
x − 3 = 18 − 3 = 15 (грибов) − собрала Маша.
Ответ: 18 грибов собрал Витя; 15 грибов собрала Маша.

Решение б

Во второй день Миша прочитал на 3 страницы книги больше, чем в первый, а в третий день на 6 страниц больше, чем в первый. Сколько страниц прочитал Миша в первый день, если всего за 3 дня он прочитал 60 страниц?
Решение:
Пусть x ( страниц) − прочитал Миша в первый день, тогда:
x + 3 (страниц) − прочитал Миша во второй день;
x + 6 (страниц) − прочитал Миша в третий день.
Так как, всего за 3 дня он прочитал 60 страниц, то:
x + (x + 3 ) + (x + 6 ) = 30
x + x + 3 + x + 6 = 30
3 x + 9 = 30
3 x = 30 − 9
3 x = 27
x = 27 : 3
x = 9 (страниц) − прочитал Миша в первый день.
Ответ: 9 страниц

Решение в

Со второго поля собрали в 3 раза больше картофеля, чем с первого. Сколько тонн картофеля собрали с первого поля, если всего с двух полей собрали 160 тонн?
Решение:
Пусть x ( т) − картофеля собрали с первого поля, тогда:
3 x ( т) − картофеля собрали со второго поля.
Так как, с двух полей собрали 160 тонн, то:
x + 3 x = 160
4 x = 160
x = 160 : 4
x = 40 (т) − картофеля собрали с первого поля.
Ответ: 40 тонн

Решение г

Во второй пачке было в 2 раза больше карандашей, чем в первой, а в третьей пачке в 3 раза больше карандашей, чем в первой. Сколько карандашей было в каждой из пачек, если всего в трех пачках было 60 карандашей?
Решение:
Пусть x ( карандашей) − было в первой пачке, тогда:
2 x ( карандашей) − было во второй пачке;
3 x ( карандашей) − было в третьей пачке.
Так как, всего в трех пачках было 60 карандашей, то:
x + 2 x + 3 x = 60
6 x = 60
x = 60 : 6
x = 10 (карандашей) − было в первой пачке;
2 x = 2 * 10 = 20 (карандашей) − было во второй пачке;
3 x = 3 * 10 = 30 (карандашей) − было в третьей пачке.
Ответ: 10, 20 и 30 карандашей.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Задачи, решаемые с помощью уравнения: примеры, объяснение. Задачи по алгебре

Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Алгоритм решения

Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х. Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х. А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить – совершать любые необходимые действия.

После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому — те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.

Основа основ — задача про корзины

Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.

Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально?

Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное — то есть первоначальное количество корзин – буквой Х. Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) – 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х — 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7. Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 — 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.

Закрепление: концертные залы

Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале.

Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале – 4 * Х = 4Х. Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем – 90 * 4 = 360. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.

Классика: полки с книгами

Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей — в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?

Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей — Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.

Практикуемся дальше: бобры

Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?

Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное – в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром. Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий – 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х. Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй – 6, а третий – 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.

Соотносим уравнения и условия

Если вам скажут: «К каждой задаче подберите соответствующее уравнение», — не пугайтесь – это целиком и полностью реально.

Даны следующие уравнения:

Условия задач следующие:

1. У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
2. На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
3. У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?

Составим уравнения по каждой из задач.

• В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
• Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
• Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х – очевидно, что сюда подходит первое уравнение.

Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.

Усложняем: система уравнений — конфеты

Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре – это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?

В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.

Составив систему, получаем два уравнения:

А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 — 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 — 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 — 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши — 13.

Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок

Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?

Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 — Y. Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 — Y) * Y = 60000, то есть 500Y — Y 2 = 60000. Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам – квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.

Повторяем: деревья в саду

Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?

За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х. Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев. Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.

Контрольная: сумма чисел

Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное – не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.

Сумма трёх чисел – 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z — 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?

Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Далее заменяем также известный Y, получая равенство 3Z — 2 + 4Z = 40, откуда Z = 6. Возвращаясь к Y, находим, что он равен 5.2, а Х, в свою очередь, равен 18. С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.

Заключение

Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда. А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки. Главное – внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.