Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Дипломная работа: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
| Название: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа Добавлен 08:28:58 26 мая 2008 Похожие работы Просмотров: 3600 Комментариев: 21 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать |
по определению квадратного корня из чего выводится метод решения иррациональных уравнений – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Затем данный метод демонстрируется на примерах решения иррациональных уравнений вида 
, 
. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Автор подчеркивает, что проверка – обязательный этап решения иррационального уравнения. Далее приводится решение уравнения вида 
методом введения новой переменной 
. Параграф завершается беседой о равносильных и неравносильных преобразованиях: дается определение равносильных уравнений, перечисляются и демонстрируются на примерах равносильные и неравносильные преобразования.
, где 
– линейное, квадратное или дробно-рациональное выражение. В № 1015 чтобы решить уравнение необходимо сначала уединить радикал. В № 1016 для решения предложены уравнения вида 
, 
, 
. В №№ 1023, 1024 необходимо выяснить, равносильны ли уравнения. В №№ 1021, 1022, 1025-1027 нужно решить уравнения вида 
, 
, где выражения 
могут быть как линейными так и квадратными, а в №№ 1028-1031 – уравнения вида 
.
, которые решаются с помощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведения в квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильный переход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Рассмотрен пример иррационального уравнения, содержащего корень третьей степени. Для того чтобы «избавиться от радикала», обе части такого уравнения возводятся в куб.
, решить которые можно с помощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а также используя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебника необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в №№422-425 чуть сложнее. Здесь уравнения содержат корни выше третьей степени.
к уравнению 
.
, 
. В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств 
во втором – равносильной совокупностью систем неравенств 
:
и 
к системам, состоящим из уравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде 
. Далее данный метод применяется для решения иррациональных уравнений
и 
с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств – во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида 
с помощью равносильного перехода к неравенству 
. Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.
, 
с помощью равносильного перехода к системе (или совокупности систем). Только в учебнике [4] рассматривается решение иррационального неравенства вида 
.
и 
– некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x ). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x .
и равенство 
является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций 
и 
и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).
, (2)
, (3)
, (4)
(5)
, то 
– корень уравнения 
, но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция 
не определена при 
и 
и 
. В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение: если функция 
определена при всех x таких, что 
, а функция 
, то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]
(1)
. (2)
(2).
. Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]
(3)
,
, 
уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3)
(4).
, то получится уравнение
,
, 
, а первое – единственный корень 
.
, то уравнения (3) и (4) равносильны.
. (5)
и 
, содержится в области определения функции 
,
и 
. (7)
уравнение (7) является следствием уравнения (6);
(n – нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;
(n – четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
, (8)
. (9)
(10)
при 
является равносильным преобразованием, при 
.
. [6]
. [7]
.
и получим 
, откуда следует, что 
или 
.
: 
. Это неверное числовое равенство, значит, число 
не является корнем данного уравнения.
. Это верное числовое равенство, значит, число 
является корнем данного уравнения.
.
.
, откуда следует что 
или 
.
. Это верное числовое равенство, значит, число 
является корнем данного уравнения.
. Это неверное числовое равенство, значит, число 
не является корнем данного уравнения.
.
состоит в переходе к равносильной ему системе :
в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]
. Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие 
автоматически выполняется для корней уравнения 
, в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9]
.
, получим корни 
и 
.
. Такое уравнение равносильно каждой из двух систем
. Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство 
(или 
). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]
.
, получим корни 
и 
. Однако при этих значениях x не выполняется неравенство 
, и потому данное уравнение не имеет корней.
. Тогда после возведения обеих частей уравнения в n — ую степень радикал справа исчезнет. [4]
. Это уравнение равносильно системе
и 
, но условие 
выполняется только для 
.
.
.
,
, 
.
,
.
, 
. Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет.
.
.
, получим существенно более простое иррациональное уравнение 
.
;
;
;
;
, 
.
показывает, что 
– корень уравнения, а 
– посторонний корень.
, то есть квадратное уравнение 
, решив которое находим два корня: 
,
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
, 
.
.
.
, то уравнение примет вид 
, откуда 
, 
.
и уравнения 
. Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем 
, 
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
, 
.
.
, 
.
,
, получаем 
. Решая уравнение 
, получаем корень 
. Как показывает проверка, 
удовлетворяет исходному уравнению.
.
(здесь a , b , c , d – некоторые числа, m , n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: 
и 
, где 
и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений . [17]
.
и 
, где 
. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x . Выразим x через y и z : 
и 
. Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z
.
, корнями которого являются числа 
и 
. Корень 
посторонний, поскольку 
. Осталось решить уравнение 
, откуда находим 
.
.
. [6]
, 
, то исходное уравнение переписывается так: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства 
, 
.
, 
; 
, 
.
, вторая дает 
.
.
и 
, где 
.
, то y и z должны удовлетворять системе
.
, 
в квадрат и заметим, что 
.
.
, получаем разложение левой части уравнения на множители
.
.
. Выражение 
называется сопряженным для выражения 
. Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.
,
и 
пусто. Следовательно, уравнение 
решений не имеет. Значит, уравнение 
имеет единственный корень 
.
– корень.
.
нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения 
на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.
. [9]
. После преобразований получим уравнение
.
. Проверка показывает, что 
– корень функции 
.
возрастает (убывает), или
«встречно монотонны», т.е. 
убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения. [9]
.
– единственный корень.
.
.
.
, 
, значит 
(функция 
возрастающая), и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
.
и функция 
возрастающая, то 
. Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.
.
. Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на 
указанная функция возрастает, причем корень 
данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции 
на отрезке 
. Очевидно, что при 
, а 
. Следовательно, на 
исходное уравнение корней не имеет.
.
.
, одновременно удовлетворяющих условиям 
и 
, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.
.
в данное уравнение, приходим к выводу, что 
– корень исходного уравнения.
.
.
из промежутка 
. Эскизы графиков функций 
и 
представлены на рисунке 1.
. Из рисунка следует, что график функции 
не выше. При этом эти графики касаются прямой 
в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого 
имеем 
, а 
. При этом 
только для 
, а 
только для 
.
и 
представлены на рисунке 2.
является точкой пересечения графиков функций 
и 
, то есть 
– решение уравнения. Проведем прямую 
. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций 
и 
. Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.
справедливы неравенства 
и 
, а для промежутка 
справедливы неравенства 
и 
. Очевидно, что неравенство 
, а неравенство 
. Решим неравенство 
. Это неравенство равносильно неравенству 
, которое можно переписать в виде 
. Решениями этого неравенства являются все 
являются все 
.
.
. Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что 
. Здесь необходимо применить формулу 
. Уравнение теперь легко решается
.
.
.
.
. Поэтому исходное уравнение равносильно системе
и 
. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
.
и 
.
. В результате получим уравнение
,
,
.
, 
. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
, 
из Примера 32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение
.
.
.
.
, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: 
не имеет смысла при 
. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат
и 
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы
, 
.
.
, получим
.
. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.
.
.
, а класса школы №37 города Кирова. Ее основная задача: определить уровень подготовки, знаний и умений по теме «Иррациональные уравнения». |
На основании таблиц №1 и №2 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольных работ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.
Как видно из диаграммы, перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был средним, а после проведения занятий он повысился. Положительная тенденция заметна: учащиеся научились решать простейшие иррациональные уравнения и справились с заданиями 1-3, значительно лучше стало умение решать более сложные уравнения. Так как 8-ое задание относится к высокому уровню сложности, с ним справилось лишь 3 человека. Учащиеся лучше стали владеть методом введения новых переменных при решении иррациональных уравнений. Трудным показался материал, связанный с рационализирующими подстановками при решении иррациональных уравнений.
Программа факультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы их решения»
Ниже предлагается программа факультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы их решения». Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого вида содержатся в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Программа рассчитана на 16 часов. Занятия проводятся по 2 часа.
Тема: Равносильные и неравносильные преобразования уравнений.
1) Познакомить учащихся с понятием равносильных уравнений.
2) Показать, когда одно уравнение является следствием другого.
3) Сформулировать теоремы о равносильности уравнений.
4) Познакомить учащихся с равносильными и неравносильными преобразованиями уравнений.
Краткое содержание: Определение равносильности уравнений, следствия уравнений, понятие постороннего корня уравнения, перечисление и демонстрация на примерах равносильных и неравносильных преобразований уравнений.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Решение простейших иррациональных уравнений
1) Отработать у учащихся умение решать простейшие иррациональные уравнения вида 
, 
.
2) Закрепить изученный ранее материал.
3) Подготовить учащихся к изучению нового материала.
Краткое содержание: Определение иррационального уравнения, решение простейших иррациональных уравнений вида 
, 
методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой полученных корней, а также методом сведения к равносильной системе уравнений и неравенств. Метод уединения радикала.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Решение иррациональных уравнений методом замены.
Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения методом замены.
Краткое содержание: Применение метода замены в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение. Решение иррациональных уравнений методом сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений при помощи введения двух вспомогательных неизвестных.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Применение рационализирующих подстановок при решении иррациональных уравнений.
Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения при помощи рационализирующих подстановок.
Краткое содержание: Рассмотрение рационализации некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Решение иррациональных уравнений функционально-графическим методом.
Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения и неравенства, используя свойства входящих в них функций.
Краткое содержание: Использование ОДЗ, монотонности, графиков функций при решении иррациональных уравнений.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Обобщение и систематизация методов решения иррациональных уравнений.
1) Показать учащимся, что иррациональные уравнения можно решать не одним методом.
2) Систематизировать методы решения иррациональных уравнений.
3) Научить выбирать наиболее рациональный способ решения.
Краткое содержание: Рассмотрение различных методов решения на примере одного иррационального уравнения вида 
.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
Тема: Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля или параметр. Решение уравнений смешанного типа.
Цель: Показать учащимся как решаются уравнения смешанного типа и уравнения, содержащие знак модуля и параметр.
Краткое содержание: Решение иррациональных уравнений с параметром и модулем, а также иррациональные уравнения, содержащие логарифмические, показательные или тригонометрические выражения.
Литература для учителя:
Литература для ученика:
В данной работе сделана попытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе.
При проведении исследования были решены следующие задачи:
1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном программой предусмотрено формирование у учащихся решать простейшие иррациональные уравнения и неравенства;
·в учебнике [1] материала, посвященного методам решения иррациональных уравнений нет. В остальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных преобразований;
·очень мало материала по методам решения иррациональных неравенств;
·среди предлагаемых заданий в учебниках много однотипных;
2) Изучена учебно-методическая литература по данной теме;
3) Рассмотрены основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений и неравенств;
4) Рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как распознавать и предотвращать их;
5) Подобраны примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемого теоретического материала;
1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш. А. Алимов – М.: Просвещение, 1993. – 254 с.
2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / М. И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.
3. Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В. Г. Болтянский – Литва: Альфа, 1996. – 637 с.
4. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.
5. Галицкий М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М. Л. Галицкий – М.: Просвещение, 1999. – 271с.
6. Григорьев А. М. Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С. 46-49.
7. Денищева Л. О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О. Денищева – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.
8. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.
9. Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002. – №5. – С. 9-13.
10. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.
11. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.
12. Мордкович А. Г. Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А. Г. Мордкович // Квант – 1970. – №5. – С. 48-51.
13. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / А. Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 1991. – 320 с.
14. Кузнецова Г. М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы [Текст] / Г. М. Кузнецова – М.: Дрофа, 2004 – 320 с.
15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ [Текст] / М. Потапов // Математика. Первое сентября – 2003. – №21. – С. 42-43.
16. Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь – Ростов на Дону: Феникс, 2003. – 352 с.
17. Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.
18. Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. [Текст] / М. Шабунин // Математика. Первое сентября – 1996. – №24. – С. 24.
19. Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.
20. Моденов В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В. П. Моденов // Математика в школе – 1970. – №6. – С. 32-35.
21. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 236 с.
24. Шарова Л. И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.
26. Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №17. – С. 13-14.
27. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.
28. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.
Решение иррациональных уравнений смешанного типа
Для каждого вида уравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнение или неравенство «с модулем» и «с параметром» .
Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля
Простейшие уравнения с модулем имеют вид: 
и 
; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем.
Пример 1 . Решить уравнение 
.
Решение . ,
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Будем решать каждую из систем по отдельности.
Решение первой системы:
Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения 
меньше нуля.
Решение второй системы:
Ответ : 
.
Пример 2 . Решить уравнение 
Решение . 
,
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Будем решать каждую из систем по отдельности.
Решение первой системы:
Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств 
и 
пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.
Решение второй системы:
Ответ : 
.
Иррациональные уравнения, содержащие параметр
Уравнение вида 
называется иррациональным с параметром относительно неизвестного 
, если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .
Как и раньше, будем находить только действительные корни.
Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.
Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.
Пример 3 . Для каждого действительного значения параметра 
решить уравнение
.
Решение . Исходное уравнение равносильно смешанной системе
При 
эта система решений не имеет.
При получим решение
Теперь необходимо найти те значения , при которых эта система имеет решение:
Ответ : при – корней нет;
при 
.
Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.
Пример 4 . Решить уравнение 
.
Решение . Область определения данного уравнения:
Так как 
и 
, то и 
.
Сделаем замену 
, тогда 
и исходное уравнение можно записать в виде системы
которая равносильна системе
Корни уравнения 
должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему
Итак, при 
исходное уравнение имеет единственный корень 
. Отсюда при 
имеем
,
Ответ : при ;
при 
– корней нет.
Иррациональные показательные уравнения
Пример 5 . Решить уравнение 
.
Решение . Перепишем уравнение так:
,
Приведем все степени к одному основанию 7:
.
Сделаем замену 
, 
, тогда получаем уравнение 
, корнями которого являются 
Сделаем обратную замену:
или
– уравнение не имеет решений.
Ответ : .
Пример 6 . Решить уравнение 
.
Решение . Приведем все степени к одному основанию:
.
откуда получаем уравнение 
которое равносильно уравнению:
Ответ : 
Иррациональные логарифмические уравнения
Пример 7 . Решить уравнение 
.
Решение . Преобразуем данное уравнение:
.
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Ответ : 
Пример 8. Решить уравнение
Решение . Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений:
Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению:
Из неравенства системы 
следует, что 
. Следовательно, – посторонний корень.
Ответ : 
, 
Сколько корней имеет уравнение 
?
Сколько корней имеет уравнение 
?
Диагностирующая контрольная работа №1
1. Сколько корней имеет уравнение 
?
2. Решите уравнение
, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
А. 
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
(или сумма корней, если их несколько).
А. 
Б. 
В. 
Г. 
4. Решите уравнение
, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
5. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения.
6. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)
7. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения.
8. Решите уравнение 
.
Диагностирующая контрольная работа № 2
1. Сколько корней имеет уравнение 
?
2. Решите уравнение
, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).
В. 
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
(или сумма корней, если их несколько).
А. 
Б. 
В. 
Г. 
4. Решите уравнение
, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
5. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения.
6. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).
7. Решите уравнение 
, укажите корень уравнения.
8. Решите уравнение 
.
Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №1
4. Уединив первый радикал, получаем уравнение 
, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
, 
. Последнее уравнение равносильно системе 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: 
.
5. Введем новую переменную 
, тогда 
, причем 
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного 
, откуда учитывая ограничение , получаем 
. Решая уравнение 
, получаем корень 
. Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .
6. Введем новую переменную 
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид 
Решая первое уравнение этой системы, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение 
, получаем корни 
и 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: 
.
7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: 
и 
Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: 
Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств 
и 
пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет. Решение второй системы: 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: 
.
8. Введем новые переменные 
и 
. Тогда исходное уравнение принимает вид: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства , в третью степень и заметим, что 
. Итак, надо решить систему уравнений 
она имеет два (действительных) решения: 
, 
; 
, 
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным 
и систему 
первая из них дает 
, вторая дает 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .
Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2
4. Уединив первый радикал, получаем уравнение 
, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
,
. Последнее уравнение равносильно системе 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни и 
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.
5. Введем новую переменную 
, тогда 
, причем 
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного 
, откуда учитывая ограничение , получаем 
. Решая уравнение 
, получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .
6. Введем новую переменную 
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид 
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение 
, получаем корни 
и 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: 
.
7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: 
и 
Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы: 
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению 
, получим корни 
и 
. Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ: .
8. Введем новые переменные 
и 
. Тогда исходное уравнение принимает вид: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства 
, в четвертую степень и заметим, что 
. Итак, надо решить систему уравнений 
она имеет два (действительных) решения: 
, 
; 
, 
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным 
и систему 
первая из них дает 
, вторая дает 
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .
Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»
Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.
Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации .
Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.
Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.
1. Рационализация выражения 
, (1)
где 
обозначает рациональную функцию, и 
– постоянные, а 
– любое целое положительное число, рационализируется подстановкой
. (2)
Действительно, возводя обе части равенства (2) в -ую степень, получим 
, откуда 
, причем функция 
рациональна. Следовательно,
.
Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.
Пример 1 . Решить уравнение 
.
Решение . ОДЗ рассматриваемого уравнения 
. Рационализирующей подстановкой 
это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе
или (сокращая дробь на 
) системе
Решением последней будет 
. Воспользовавшись подстановкой, получим 
.
Ответ : .
2. Рациональность дробно-линейных иррациональностей
Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида
, (3)
где , 
, 
и 
– некоторые постоянные, а – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии 
приведена к рациональному виду подстановкой
(4)
(5)
рационализируется при помощи подстановки
(6)
где 
– наименьшее общее кратное показателей радикалов , 
, …
Пример 2 . Решить уравнение 
.
Решение . Будем искать корни данного уравнения в области 
(очевидно, что числа и не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на 
:
.
Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки
сводится к смешанной системе
эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы 
и 
и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.
Ответ : 
.
3. Рационализация биноминальных выражений
Можно доказать, что выражение
, (7)
где и 
– постоянные, а показатели степеней , – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях , когда оказывается целым одно из чисел 
, 
или 
.
В этих случаях возможны следующие подстановки:
Если – целое, то 
, где – наименьшее общее кратное знаменателей чисел и .
Если – целое, то 
, где 
– знаменатель числа .
Если – целое, то 
, где 
– знаменатель числа .
Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений 
в первом случае и 
во втором и третьем случаях.
Пример 3 . Решить уравнение 
.
Решение . Так как – не является корнем уравнения, разделим обе его части на 
. Выделяется биномиальное выражение:
.
Имеет место третий случай рационализации ( 
и 
– целое число). Следовательно, будем применять подстановку 
. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим 
, так что 
. Теперь с помощью подстановки и найденного значения получаем
и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному 
, или 
. Определив корни этого уравнения 
, 
и воспользовавшись подстановкой, находим 
Ответ :
4. Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида
, (9)
где 
и – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен 
неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).
а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант 
. В этом случае знак квадратного трёхчлена 
совпадает со знаком , и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия 
равенство трёхчлена нулю невозможно), то 
.
Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:
(или 
) (10)
Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера . Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства
(заметим, что 
), получим 
, так что
,
где функции 
и 
рациональные. Таким образом,
.
В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.
б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант 
, то есть квадратный трехчлен имеет (различные) действительные корни 
и 
. Следовательно,
.
Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки:
, (11)
называемой часто второй подстановкой Эйлера .
Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии 
. Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение 
корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).
Замечание 2. Если 
, то в этом случае можно положить
(или 
) (12)
Ответ : 
, 
.
Пример 4 . Решить уравнение 
.
Решение . В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его 
и 
. Найдем другие корни подстановкой
.
Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения. Итак, – корень данного уравнения.
Возводя в квадрат обе части равенства 
, получим 
, откуда 
. Теперь подставим это значение в исходное уравнение и последовательно получаем:
и исходное уравнение сводится к уравнению 
, или 
. Это уравнение имеет единственный действительный корень 
, тогда 
. Итак, исходное уравнение имеет два корня: 
и 
.
Ответ : , .
5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]
1). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, 
или 
, 
.
2). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
tg t , 
или 
ctg t , 
.
3). Если в уравнение входит радикал 
, то можно сделать замену 
, или 
, .
Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.
Пример 5 . Решить уравнение 
.
Решение . В данное уравнение входит выражение 
, поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену
tg t , где .
Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать
и исходное уравнение можно записать в виде
.
Поскольку 
не равен нулю при рассматриваемых значениях t , то полученное уравнение равносильно уравнению
.
Решая это уравнение, находим два возможных значения
и 
.
Из всех корней этих уравнений промежутку 
принадлежит единственное значение 
.
Поэтому соответствующее значение x равно
.
Ответ . 
.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение . В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка 
, что приводит к мысли совершить замену
, где 
.
В результате такой замены приходим к уравнению
.
и 
,
.
В силу ограничения выполнено 
, поэтому приходим к уравнению
,
которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду
.
Решая последнее уравнение, находим
или 
, 
.
Условию удовлетворяют лишь три значения
, 
, 
.
, 
, 
.
Ответ . , , 
.
В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие иррационального уравнения;
2) понятие иррационального неравенства;
3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;
4) методы решения иррациональных неравенств.
Глоссарий по теме
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.
Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Рассмотрим виды иррациональных уравнений
В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.
Из него следует, что а≥0, тогда 
Для нашего случая получим
или 
Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е. 
По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:
следовательно, решений нет
Ответ: решений нет
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Решим уравнение: 
Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:
, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня 
, а у первоначального уравнения только один корень х=4.
Подчеркните корни данного уравнения
Решим данное уравнение.
Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1
Решите уравнение: 
Рассмотрим область определения функций:
х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.
http://www.bestreferat.ru/referat-188158.html
http://resh.edu.ru/subject/lesson/5569/conspect/