Приемы решения целых уравнений 9 класс видеоуроки

Урок «Некоторые приемы решения целых уравнений»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Некоторые приемы решения целых уравнений» помогает освоить приемы, помогающие решить более эффективно целые уравнения с различными особенностями. При помощи данного материала расширяется и углубляется понятие учеников о способах решения уравнений, формируются навыки поиска эффективных способов решения.

Задача видеоурока – при помощи подробного объяснения с использованием анимации и других приемов, применяемых для лучшей наглядности, облегчить понимание материала, представить его в наиболее удобном виде для понимания и запоминания.

Видеоурок начинается в представления темы. Ученикам напоминается, что нахождение корней многочлена высокой степени осложняется, так как удобных формул на нахождения корней нет или они вовсе не выведены. Поэтому для решения уравнений, содержащих многочлены высоких степеней, применяются методы, основанные на особенностях решаемых уравнений. В зависимости от особенностей уравнения, могут быть применены разные способы решения – к примеру, уже рассмотренный метод интервалов.

Некоторые уравнения высоких степеней решают, используя выводы теоремы о корне многочлена, которая формулируется на экране. Суть теоремы состоит в том, что при известном корне а многочлена вида P(x)=a₀x n +a₁x n-1 +…+a_n-1x+a_n, в котором a₀≠0, многочлен может быть представлен в виде произведения (х-а)Р₁(х). При этом Р₁(х) – многочлен степени (n-1). Отмечается, что для уравнения с одной переменной, целыми коэффициентами и одним корнем, поиск корня можно выполнить, используя теорему о целых корнях целого уравнения.

Текст теоремы о целых корнях целого уравнения выведен на экран и выделен для записи в тетради и лучшего запоминания. Он гласит о том, что если уравнение a₀x n +a₁x n-1 +…+a_n-1x+a_n=0, в котором a_n≠0, а a₀, a₁, a₂… являются целыми числами, имеет целый корень, этот корень — делитель свободного члена. Приводится доказательство данной теоремы. Чтобы доказать справедливость суждения, допускается, что х₀ – целый корень уравнения. При его подстановке в уравнение, получается a₀x₀ n +a₁x₀ n-1 +…+a_n-1x₀+a_n=0. При переносе свободного члена в правую часть уравнения, в оставшемся выражении можно вывести за скобки общий множитель х₀. Получится уравнение вида a_n= x₀(-a₀x₀ n-1 -a₁x₀ n-2 -…-a_n-1). Выражение в скобках является целым числом, так как x₀, -a₀, -a₁, -a₂… — целые числа. Следовательно, при делении a_n на x₀ в результате получается целое число, и x₀ является делителем свободного члена.

Ученикам представляется материал, помогающий научиться применять данную теорему для решения уравнений методом разложения многочлена на множители. Для этого необходимо усвоить, что уравнение Р(х)=0 решается разложением многочлена Р(х) на множители, если Р(х) – многочлен третьей и более высоких степеней. Примером подобного решения служит описанное в примере 1 решение уравнения х 3 -7х 2 +11х-2=0. Вспоминая изученную теорему о целых корнях целого уравнения, обратим внимание на свободный член уравнения. Его делителями являются числа 2, -2, 1, -1. Подставив значения корней в уравнение, можно убедиться, что корнем будет число 2. Поэтому многочлен в левой части уравнения, согласно теореме о корнях многочлена, представляем в виде (х-2)F(x), при этом F(x) является многочленом второй степени. Найти F(x) можно, выполняя деление уголком. Данный способ деления демонстрируется на экране, наглядно описывая все его особенности. В результате деления получается F(x)=х 2 -5х+1. Соответственно уравнение приобретает вид (х-2)( х 2 -5х+1)=0. Уравнение будет справедливо, если хотя бы один множитель равен нулю. То есть решение сводится к нахождению корней уравнений х-2=0 и х 2 -5х+1=0. Корень первого уравнения х₁=2 Корнями второго уравнения являются числа х₂=1/2(5+√21) и х₃=1/2(5-√21). Все три найденных значения являются корнями исходного уравнения.

Напоминается способ введения новой переменной, который уже применялся учениками при решении биквадратных уравнений. Его использование демонстрируется в решении уравнения 2014(х 4 -4х 2 +4)+2013(х 2 -2)-1=0. Очевидно, что в выражении есть часть, которая может быть заменена переменной у, понижающей степень многочлена. После замены выражения х 2 -2 переменной у, получается квадратное уравнение 2014у 2 +2013у-1=0. Используя теорему Виета находятся корни данного уравнения – у₁=-1 и у₂=1/2014. После подстановки значений у в выражение, принятое на новую переменную, находим значения корней х. Полученные решения уравнений равны х1=1, х2=-1, х3=√4029/2014 и х4=-√4029/2014.

Отмечается, что методом введения новой переменной могут быть решены возвратные уравнения. Определение возвратных уравнений дается на экране, выделенное для запоминания. Это уравнения вида a₀x n +a₁x n-1 +…+a_n-1x+a_n=0, в которых a_k= a_n-k, k=0, 1, 2, …, n. Примером решения возвратного уравнения служит решение уравнения х 4 -7х 3 +8х 2 -7х+1=0. Отмечается, что в решении уравнения может помочь схожесть коэффициентов, которая приведет к выражению, позволяющему применить метод введения новой переменной. После деления обеих частей уравнения на х 2 , перегруппировки слагаемых и вынесения общих множителей за скобки, получаем выражение (х 2 +1/х 2 )-7(х+1/х)+8=0. За новую переменную принимается х+1/х=у. После ее подстановки получается квадратное уравнение у 2 -7у+6=0. Корнями данного уравнения являются у₁=1 и у₂=6. После подстановки значений переменной у в выражение, содержащее х, получим два уравнения для нахождения корней исходного уравнения. В результате вычисления определяются корни уравнений – х₁=3+2√2 и х₂=3-2√2.

На примере рассматривается решение уравнения, в котором используются участки возрастания и убывания функции. В уравнении х 5 +2х-3=0 согласно теореме о целом корне целого уравнения, проверяется наличие целого корня. Для этого оцениваются делители свободного члена. Проверкой выявлено, что делитель 1 является корнем данного уравнения. Для демонстрации единственности данного корня решения уравнения оценивается при помощи переброски его линейной части в правую сторону: х 5 =-2х+3. Слева в уравнении располагается возрастающая функция у= х 5 , график которой построен на рисунке. Функция, расположенная в правой части у=-2х+3 представляет собой убывающую прямую. Решение уравнения будет точкой пересечения этих двух графиков. Таким образом, можно констатировать, что решение уравнения будет одно: х=1.

Видеоурок «Некоторые приемы решения целых уравнений» помогает учителю представить информацию об особенностях решения различных уравнений, более эффективно использовать время урока. Также данный материал поможет ученику самостоятельно разобраться с решением уравнений. Также данное видео может быть полезно при дистанционном обучении.

Некоторые приемы решения целых уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентация по теме Учитель математики МБОУ СОШ № 13 города Костромы Коржева Наталия Александровна

Некоторые приемы решения целых уравнений Алгебра 9 класс (учебник «Алгебра» автор Ю.Н. Макарычев и др.)

Краткая аннотация. Выполнение данного проекта позволит ученику обобщить знания, полученные на уроках по решению целых уравнений и дополнить эти знания новыми теоремами, свойствами и фактами. Материал по данной теме вполне доступен для изучения учащимися 9 классов. Его изучение подготовит ребят к более успешному усвоению курса алгебры в старшей школе. Содержание материала рассчитано на сдвоенный урок.

Цели учебная: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний обучающихся по решению целых уравнений с одной переменной высших степеней; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации. развивающая: развитие личности обучающегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы обучающихся; обеспечивать устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения; воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка обучающихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Задачи обеспечивать устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; подготовить учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнений, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование Проектор Компьютер Презентация Таблицы Место проведения – кабинет информатики

Беседа с учащимися по данной теме. Мотивация изучения темы. Актуализация знаний – блиц — опрос по теме «Целые уравнения» Систематизация и обобщение знаний – сообщения обучающихся о стандартных приемах решения уравнений. Самостоятельная работа. Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений. Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний Структура разработки

1) х2 — 6│х│+8 = 0 2) х5 +2х+1 = 0 3) х5 +х3 +2х – 4 = 0 4) (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40 5) 2х4 +х3 -6х2 +х+2=0 6) (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2 7) х3 – 8х2 + 13х -2=0 8) 2х4 – 2х3 – х +1 = 0 Мотивация обучения темы

1.Какое уравнение называется целым и есть ли они среди выше представленных? 2.Как найти степень целого уравнения с одной переменной и сколько корней имеет уравнение первой, второй, третьей и т.д. степеней? 3.Могли бы вы для какого-нибудь уравнения предложить способ решения? 4. Какие способы решения уравнений вы знаете? 5. Могли бы вы предложенные способы применить для решения этих уравнений? Актуализация знаний

1. Метод разложения на множители. 2. Введение новой переменной. 3. Графический способ. Систематизация и обобщение знаний – стандартные приемы решения

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант Х2– 16 =0 Х4-3х2=0 Х2+ 5х +6 +0 Х2+5х -6 +0 Х3- 8х2–х +8 =0 Х3-2х2-4х +8 =0 Х3– 3х2-4х = 0 (х – 1)2-25 = 0. (х2– 3х +1)(х2-3х +3)=3 (2х + 1)2+ 4(2х +1) = 221

Теорема о корне многочлена. Теорема целых корнях уравнения Использование свойств функций. Свойство четности функции Свойство монотонности функции Решение возвратных уравнений Расширение и углубление знаний

1) -3х7 -2х +5=0 2) (х 2 +3х)2+2 (х 2 +3х) -120=0 3) х3 +х – 4=0 4) х 2 – │10х│+21=0 5) (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=945 6) 27х 2 – 9х – 18=0 7) (х2 +х+6)(х2 +х-4)=144 8) х5 — х4 -2х3 +2х2 -3х +3=0 9) 2х4 +х3 — 3х2 +х +2=0. Подведение уроков

х8 – 17х4 +16=0 х3-6х2+11х-6=0 (х+1)(х+3)(х+5)(х+7) -15=0 (х+4)(х-2)(х+5)(х-10)+54х2 =0 х4 +2х3 – 6х2 +2х+1=0. х3+2х-1=0 Домашнее задание

Ю.Н. Макарычев и др., Просвещение, 2011г. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ. Виноградов И.М. (главный редактор) Математическая энциклопедия. Б.М. Ивлев и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа 1990г. Литература

Урок по ФГОС в 9 классе по теме «Некоторые приемы решения целых уравнений», презентация к уроку
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Краткий конспект урока в 9 классе по ФГОС «Некоторые приемы решения целых уравнений»: изучются приемы решения уравнений с применением теоремы о целых корнях целого уравнения; Разработана технологическая карта к уроку.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА.
Некоторые приемы решения целых уравнений.

Елфимова Ирина Ивановна.

Муниципальное образовательное учреждение средняя школа №3 города Сасово.

Тема и номер урока в теме

Некоторые приемы решения целых уравнений.

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений . Под редакцией С. А. Теляковского — 19-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2012.

1. Цель урока: формировать представление о приемах решения целых уравнений; познакомить учащихся с теоремой о корне многочлена и теоремой о целых корнях целого уравнения и их использование при решении несложных задач.

— образовательные ( формирование познавательных УУД ) :

научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «корень многочлена», «правило нахождения корня многочлена среди делителей свободного члена» ,повторить применение теоремы Виета.

— воспитательные ( формирование коммуникативных и личностных УУД ) :

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в пару со сверстником и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

— развивающие ( формирование регулятивных УУД )

1. умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; представлять информацию в табличной форме, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

10.Тип урока Урок первичного предъявления новых знаний .

11.Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

12.Организация деятельности учащихся на уроке:

-самостоятельно выходят на проблему и решают её;

-самостоятельно определяют тему, цели урока;

-выводят правила решения целых уравнений с использованием теоремы о корне многочлена и теоремы о целых корнях целого уравнения;

-работают с текстом учебника;

-работают с технологической картой при выполнении заданий;

-отвечают на вопросы;

-решают самостоятельно задачи;

-оценивают результаты своей деятельности на уроке .

13. Необходимое оборудование: компьютер, проектор, учебники по математике, раздаточный материал (технологическая карта, карточки с дополнительным заданием, карточки с домашним заданием), электронная презентация, выполненная в программе Power Point