Прикладная задача на составление уравнения

Решение уравнений. Решение задач прикладного содержания.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Урок итогового повторения «Решение уравнений. Решение садач практического содержания». Данный урок может быть использован при подготовки к ЕГЭ в 11 классе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок итогового повторения: Решение уравнений. Решение задач прикладного содержания. 11 класс

Автор: Шемарова Татьяна Анатольевна, учитель математики МОУ «Средняя школа №16», г.Кимры, Тверской области.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Цель урока : 1) умение анализировать условие задачи, умение логически мыслить, умение выделять основные этапы решения, умение конкретизировать и обобщать, умение анализировать полученный результат, умение делать выводы.

Образовательные — повторить алгоритм решения логарифмических, показательных, иррациональны, дробно-иррациональных уравнений, применение уравнений при решении задач прикладного содержания, оценка знаний полученных учащимися.

Развивающие — развитие логического и пространственного мышления учащихся; память; анализ.

Воспитательные — эстетическое воспитание; воспитание ответственности за конечный результат, самостоятельности.

I. Организационный момент. Постановка цели урока. Перед нами стоит задача: повторить виды, методы и особенности решения логарифмических, показательных и иррациональных уравнений и применить их на практике. Только личный труд каждого в изучении математики может принести результаты.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня Маша, Даша Зина и Наташа проверят свои знания и умения решать уравнения, Вам предлагается решить по 4 уравнения. В соответствии с этой оценкой мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

А мы с вами повторим решение уравнений. Внимание на доску, решаем уравнения.

II. Устная работа:

1. Найдите корни уравнения:

Вопросы к учащимся при решении устных заданий:

1. Повторить алгоритм решения логарифмических, показательных, иррациональных уравнений.
2. Что надо учитывать при решении логарифмических уравнений и иррациональных уравнений.
3. Решение тригонометрических уравнений.

Четверо учащихся в это время решают устно на местах индивидуальные задания.

III. Работа с текстом заданий.

В заданиях ЕГЭ встречаются задания (конкретно – задания В5, В12, В13, С1, С5), где возникает необходимость в знании и умении решать уравнения.

Сегодня мы вместе будем выполнять задания типа В12 и С1. У Вас на партах лежат памятки по выполнению задания В12, сейчас выполняем вместе используя данную памятку будем выполнять задания на доске.

1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

m(t) = , где (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа =40 мг. Период его полураспада T=10 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 10 мг?

1. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды m=0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(˚C) , причeм x=α (м), где c= 4200 — теплоeмкость воды,γ =21 — коэффициент теплообмена, а α=0,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?
2. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a , где =6м — начальный уровень воды, м/мин2, и b= — м /мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Сейчас мы с частью учащихся будем решать задания С1, а на парте у учащихся лежат задания это перевернутые листочки, вы выполняете в тетрадях для подготовки к ЕГЭ.

IV. Самостоятельная работа

Далее работаем параллельно часть учеников выполняет часть 2 С1, а тем кто не решает вторую часть выполняет самостоятельную работу.

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
2. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=100-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q•p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
3. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η= , где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 25%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,4 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
2. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=130-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q•p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
3. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η= , где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, промежутку

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, отрезку промежутку

Д/З: а) Решите уравнение =4

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, промежутку

Домашнее задание: Выполнить 5 заданий В12 (различные) из Открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1) Алгебра и начала анализа для 10 класса, авторов: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и М.И. Шабунин, под редакцией А.Б. Жижченко. – М. Просвещение, 2009.

Прикладная задача на составление уравнения

Моя работа появилась не случайно. Некоторое время назад, в автобусе, я случайно услышал разговор двух мужчин средних лет. Они громко обсуждали нынешнюю ситуацию в стране, область образования и его «проблемы». Но, надо сказать, их спор меня заинтересовал. А именно, следующая фраза: «Ха, математика, а что эта ваша математика и зачем она?! Ну, порешали мы в детстве задачи, научились сдачу считать, посчитаем время, затраченное в пути к месту, где собираемся отпуск проводить, зная скорость транспорта и расстояние. А дальше что? Одна теория, да скорость решения задач. Ну, еще развитие логического мышления в начальных классах. А практика в чем? Не все же у нас бухгалтеры да учителя математики!»

На следующей остановке я вышел. И мне не было интересно, кому принадлежала эта фраза. Меня заинтересовал её смысл. Неужели мы зря изучаем математику из года в год, переходя из класса в класс? Неужели и в моей жизни, и в жизни многих из нас она останется лишь одним из «школьных предметов»? Не хотелось бы…

И я решил изучить данный вопрос. В основном посредством специализированных книг, соответствующих лекций и, конечно же, всемирной паутины знаний – Интернета. Но, наверное, этого оказалось мало, поскольку решение некоторых задач потребовало практического жизненного опыта, а также знаний в области физики, экономики и даже истории. На самом деле вопрос применения теории на практике оказался очень интересным.

Мне удалось узнать много интересного и нового. Свои исследования, полученные и зафиксированные знания и наблюдения, я и попытался изложить в данной работе.

То, что математика является и «языком» и основным, главным инструментом естественных наук и техники нам всем известно давно. Математика играет эту роль и в физике, от теории до практики, и в подготовке, изучении и осуществлении космических полетов, а также в укрощении атомной энергии, и, наконец, то без чего сейчас уже никто не обходится — в жизни компьютерного мира. Менее очевидна для широкой аудитории важность математики в таких дисциплинах, как, например, медицина или лингвистика. И, тем не менее, наш «школьный предмет» важен и здесь.

Но даже тот, кто догадывается «о значительной математической «составляющей» в различных сферах деятельности, не всегда может оценить степень зависимости этих областей науки от математики. Основная причина – сложность применяемых математических инструментов, часто – специально разработанных для конкретного приложения. И признавая на словах роль математики, люди редко задумываются над математической «начинкой» окружающих нас предметов и явлений, а иногда и просто не замечают её» — пишут авторы книги «Математическая составляющая», и я с ними полностью согласен.

Так, существующие прикладные задачи являются постоянным и требовательным заказчиком, ставящим всё новые и новые проблемы перед самой математикой, а, следовательно, и перед теми, кто их пытается решить. С другой стороны, прогресс в математике открывает новые возможности, порождает такие технические задачи и решения, о которых до того нельзя было и подозревать, ведь они становятся возможными, а формулировка актуальной лишь на определенном витке технической эволюции.

А бывает и так, что результаты теоретической математики ждут своего практического воплощения долгими десятилетиями, а потом «выстреливают» неожиданно и с невероятной эффективностью.

И я решил применить «математическую составляющую» некоторых отраслей науки, исходя из прикладных математических задач, приводящих к квадратным уравнениям.

Итак, актуальность данной работы, по моему мнению, в том, что

математика в той или иной степени присутствует во многих отраслях науки. А иногда является и связующим звеном между ними.

Исходя из вышесказанного, гипотезой в данном случае может послужить следующее условие исследования: если математическая составляющая присутствует в различных отраслях, то изучение взаимодействия математики с более «практическими» науками в нашей жизни не позволяет считать математику лишь теоретической, «оторванной от жизни» наукой.

А изучение прикладных задач, приводящих к квадратным уравнениям опытным путем, и применение их к элементарным жизненным ситуациям, а также с целью решения конкретных поставленных вопросов в той или иной научной сфере подчеркнет неразрывную связь математики с конкретной наукой или окажется действенным связующим звеном между ними.

Целью изучения прикладных задач, приводящих к квадратным уравнениям можно полагать следующее: решить поставленные некоторыми научными сферами вопросы путем применения прикладных математических задач, приводящих к квадратному уравнению, тем самым подтвердить взаимодействие математики с указанными «практическими» науками.

Задачинашего исследования можно обозначить следующие:

Проследить историю развития прикладной математики в целом и прикладных задач как её отдельной части.

Обосновать применение прикладных математических задач, приводящих к квадратным уравнениям в различных отраслях науки, тем самым подтвердив взаимодействие математики с ними.

Научиться грамотно применять математические методы, систематизацию и прочие математические приемы и навыки, полученные в школьной программе к другим сферам науки и жизни в целом (в том числе и на бытовом уровне), не только подтверждая необходимость изучения математики, как науки, но и улучшая, тем самым качество жизни.

Методы – в нашем случае – это непосредственно решения прикладных математических задач, и возможность опытным путем доказать, что такие задачи при движении и работе в правильном направлении, дают возможность в физике, экономике, биологии, медицине и т.д. получить ответы на многие вопросы, приходя вовремя к нужному решению, а значит, к победе.

Предмет исследования в данной работе – это сами задачи, приводящие к квадратному уравнению.

Объект – взаимодействие математики с другими отраслями науки, источником которого является решение сложных прикладных задач, приводящих к квадратному уравнению и постоянное усовершенствование методов математического подхода к решению задач различного уровня в различных сферах науки и деятельности человека.

Практическое применение данной темы заключается в том, что изучение прикладных математических задач и успешное применение их для решения поставленных другими отраслями жизни и науки вопросах позволяет более конкретно и разносторонне рассмотреть ту или иную сложившуюся жизненную ситуацию. А исследование подобных прикладных задач на предмет поиска альтернативных решений позволяет развить практические навыки различного уровня и формата.

История развития прикладной математики.

Сами того не замечая, мы постоянно что-то считаем, измеряем, пересчитываем, оцениваем, сравниваем. Да, это природа человека. И всегда ли так было?

Как ни странно, но математика в том понимании, в котором мы её знаем сегодня, зародилась еще в Древней Греции. В странах-ровесниках Эллады математика использовалась либо в быту людей (подсчеты и измерения), либо для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т.п.). То есть уже в те далёкие времена наблюдаются «прикладные свойства» математики. Уже тогда Пифагорейская школа выдвинула следующий тезис «Числа правят миром». А 2 тысячелетия спустя Галилео Галилей перефразирует его в следующее изречение: «Природа разговаривает с нами на языке математики» Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия.

Но математика параллельно развивалась и в других культурах, народностях. Так, например, по мнению историков, соотношение между сторонами прямоугольного треугольника было известно еще в Междуречье примерно за 1800 лет до нашей эры. А уже примерно в 500 году н.э. в Индии была изобретена новая система записи чисел – десятичная позиционная система. Так, до наших времен дошла задача о стае обезьян, решаемая путем составления квадратного уравнения. А между тем, задача имеет древнеиндийское происхождение.

Китайцы на Востоке тоже не отставали. В Древнем Китае активно развивались базовая арифметика (включая НОД и НОК), действия с дробями и, как ни странно, снова решение квадратных уравнений, а соответственно, и математические, экономические и физические задачи могли решаться путем составления квадратных уравнений.

А вот уже последующее время развития прикладной математики было тесно связано с решением технических проблем, а значит, и прикладных задач, связанных со строительством, сельскохозяйственными нуждами, прокладыванием инженерных коммуникаций и т.д.

Возможность применения математики для решения прикладных задач является ее сущностью. Ведь само возникновение математики (алгебра, геометрия) несколько тысяч лет назад было обусловлено потребностями человека.

Существенный прогресс в развитии математики определился в эпоху Возрождения (XVI век и последующие годы). Как сообщает нам «Краткий очерк истории математики» Д.Я. Стройка, «Важным примером является деятельность алгебраистов XVI столетия. Эти математики Возрождения были участниками общего культурного движения, заодно они были творческими медиками, архитекторами, живописцами, гражданскими и военными инженерами, были и купцами; бурное развитие больших и могущественных торговых городов вдохновляло их деятельность. Ранний меркантилизм дал нам не только новую теорию алгебраических уравнений, но и новую науку о перспективе».

Кроме того, работы математиков XVI — XVII в.в. охватывали много областей — новых и старых. Они действительно обогатили оригинальными результатами классические разделы, так сказать, «пролили новый свет на прежние области» и создавали даже совершенно новые области математических исследований. И уже тогда новым творением была математическая теория вероятностей, которую в своих исследованиях применяют и современные аналитики.

Очень интересен, такой практический пример эпохи Возрождения, как, скажем, то, что нематематические факторы стимулировали математические изыскания. Так, поиски метода определения долготы судна, длившиеся 3 столетия, начиная с путешествия Васко да Гама и Колумба, преследовали вполне практическую цель – обеспечить безопасность океанских плаваний. И тут же в поисках решения данной проблемы были усовершенствованы навигационные приборы и часы, исследовано движение отдельных небесных тел: Луны и спутников Юпитера и т.д. Таким образом, исследования по картографии и навигации, механике и астрономии оплодотворили математику этой эпохи. В частности, анализ.

И многие крупные мыслители тех времен искали большего – так называемого «общего метода». Его иной раз понимали в ограниченном смысле, шире как метод математики — как метод познания природы и создания новых изобретений.

Возможно, это было причиной того, что в рассматриваемую эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений ученые иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Трудно перечислить всех выдающихся математиков того времени. Вот лишь некоторые из них: Галилей, Декарт, Кеплер, Паскаль, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц, Братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас, Гаусс.

Нельзя исключать и дальнейшие успехи естествознания в конце XIX — начале XX веков, которые сыграли, непосредственно, решающую роль в подготовке базы для научно-технической революции XX века. Революционный сдвиг произошёл в технике, в первую очередь под влиянием применения электричества в промышленности и на транспорте. Кроме того, было изобретено радио, родилась авиация.

В то же время, открытие электрона, радия, и возможности превращения химических элементов, создание теории относительности и квантовой теории ознаменовали прорыв науки в область микромира и больших скоростей.

Ну а уже в начале XX века появляются и специальные курсы высшей математики для инженеров. Именно в эти годы началось формирование вычислительной и прикладной математики в качестве самостоятельных разделов математической науки. Этот прогресс не оставлял равнодушными просвещенных людей.

Примеры задач, приводящих к квадратным уравнениям, проверенные опытным путем.

Итак, заинтересовавшись математикой, как наукой неразрывно связанной с жизненным опытом, я решил изучить возможность её применения на практике. И случай не заставил себя долго ждать.

Летом, у бабушки на даче мы с приятелями Сашей, Димой и Лёней решили провести эксперимент. От дома бабушки до конца улицы было 400 метров. Мы разделились на 2 команды по двое ребят. В первой команде были Саша и Лёня, а во второй – я и Дима. Мой папа засекал время эстафеты. По результатам забега мы определили, что Саша бегает на 0,1 метра в секунду быстрее Димы, на 0,2 метра в секунду меня и на 0,3 метра в секунду Лёни. Тем не менее, мы никак не могли выявить победителя, так как бегуны пришли к финишу почти одновременно, и поэтому разгорелся жаркий спор. Но тут я предложил подойти к данному вопросу чисто математически, вспомнив о своем практическом интересе и ту пользу, которую я смог извлечь из этого случая для своего исследования.

Итак, мы решили взять за единицу измерения скорости – V — скорость Лёни, как наименьшую. Следовательно, моя скорость получилась равной ( V +0,1) метра в секунду, скорость Димы – ( V +0,2) метра в секунду, а Саши – ( V +0,3) метра в секунду. Исходя из условия задачи, первая команда пробежала эстафету за 100/ V + 100/( V +0,3) = 100(2 V +0,3)/ V ( V +0,3) секунд, а вторая за 100/( V +0,1) + 100/ V +0,2 = 100(2 V +0,3)/( V +0,1)( V +0.2) секунд. Так как расстояние, которое мы с ребятами пробежали было одинаковым, значит, числители полученных дробей равны, а меньшей считается та дробь, у которой больше знаменатель, и у нас получилось, что ( V +0,1)( V +0,2) больше, чем V ( V +0,3).

Ответ порадовал нас с Димой: мы победили.

В дальнейшем, понимая насколько интересно применять прикладные математические задачи на практике, я начал задаваться вопросом: «А можно с помощью задач, приводящих к квадратным уравнениям решать и другие вопросы, связанные с другими сферами науки и жизни?». И не зря.

Недавно, читая исторический роман о русском купечестве конца XIX века, я наткнулся на подробное описание сделки двух купцов, фамилии которых, скорее всего, были вымышленными. Но я решил не упускать представившийся случай и представил эту сделку в виде прикладной задачи. Таким образом, у меня получилось следующее условие: два купца внесли для общей торговли по 48 тысяч рублей: первый на один год, второй – на два года. Прибыль составила 42 тысячи рублей. Как же её поделят между собой купцы из романа?

Решил эту задачу я следующим образом: пусть общая торговля приносит постоянный доход, тогда получается, что вложенная сумма увеличивается ежегодно. И пусть она увеличивается на постоянное число процентов или в одно и то же число раз. Обозначим это число через X . Тогда, за два года доход первого купца составил (48 X — 48) тысяч рублей, а второго купца (48 X 2 — 48) тысяч рублей.

Получилось вот такое уравнение:

(48 X — 48) X + 48 X 2 – 48 = 42

96 X 2 – 48 X – 90 = 0

16 X 2 – 8 X – 15 = 0

А так как прибыль не может быть меньше или равна нулю (тогда это убыток или статичность дохода), то, несомненно, X >0, то исходя из уравнения, X =1,25. Значит, доход первого купца составил 48х(1,25 – 1)Х 1,25 = 15 тысяч рублей, а второго 42 – 15 = 27 тысяч рублей.

Таким образом, получилась своего рода «историко-экономическая» задача. И еще один практический опыт для моего «Математического расследования».

Также мне стало интересно, насколько математика взаимодействует с

физикой, поскольку для изучения физических явлений и применения их в пользу человека также необходимы точные математические расчёты.

В прошлом году я был на вертолётной площадке в Ульяновске. Экскурсовод сказал о том, что одной из самых распространённых проблем для вертолётов является ветер. Оказывается, необходимо постоянно учитывать его скорость и направление перед началом и во время полета. А иначе могут возникнуть определенные проблемы. А вот и возможность проверить взаимодействие математики с физикой!

Поэтому я решил с помощью квадратного уравнения найти скорость ветра, зная скорость и время движения вертолёта. И в результате получилась задача еще одна задача.

Итак, согласно рассказу инструктора, вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость 250 километров в час. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится, допустим, в 70 километрах от неё и вернутся обратно за определенное время. Необходимо это сделать для того, чтобы топлива в баке хватило на весь путь. Пусть в это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолёта к лесу, где случилось возгорание. Из-за чего обратно до базы вертолет доберется на 1 час раньше. Я постарался найти скорость ветра, чтобы понять при какой единице V природное явление будет мешать машине лететь на пожар и помогать возвращаться обратно на базу.

Решение получилось следующим: я обозначил скорость ветра традиционной латинской буквой V . И оказалось, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной
250 – V , поскольку ветер будет встречным, а обратно его реальная скорость будет составлять 250 + V , т.к. ветер в данном случае будет уже попутным. Тогда я рассчитал время на путь туда и на путь обратно. Вот что из этого вышло. Время в пути до леса ( t ₁₎ составило 70/(250 – V ) (ч), а обратно: t ₂ = 70/(250+ V ) (ч).

Так как обратно до базы вертолет добирался на час раньше, получается:

70/(250 – V ) – 70/(250+ V ) = 1(ч) – изначально по условию задачи.

Левую часть я привел к общему знаменателю, применив правило пропорции и произведя элементарные преобразования:

(17500 + 70 V – 17500 + 70 V )/(250- V )(250+ V ) = 1

140 V = 62500 – V 2

V 2 + 140 V – 62500 = 0

И получил квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решил его с помощью дискриминанта:

И получилось: V = (-140 + 519)/2 = 189,5 километров в час.

Вот так мне удалось рассчитать некоторые полезные и вредные физические свойства одного природного явления. И я добавил еще одну прикладную задачку в мою «копилку опытов».

Всё-таки не правы были пассажиры, ехавшие со мной в одном автобусе. Математика – очень интересная, «живая» наука. Она применима в разных областях и очень полезна.

Взаимодействие математики и других сфер науки.

Как известно, даже самые, на первый взгляд, отвлечённо-умозрительные научные теории могут через какое-то время, порой даже очень незначительное, а иногда довольно длительное, стать основой весьма практических дел, причём выгода порой от одного такого применения может многократно окупить расходы на эдаких чудаков-математиков за всю историю науки…

Предлагаю рассмотреть некоторые из таких примеров.

Так для работы GPS -навигаторов нужны атомные часы на спутниках орбитальной группировки, поддерживающих работу навигационной системы. Ход указанных часов в данных условиях изменяется посредством известного в специальной теории относительности эффекту: из-за большой скорости спутника часы на орбите идут иначе, чем такие же часы на Земле. Также, есть и специфичный для общей теории относительности эффект такого рода, связанный с неевклидовой геометрией. Но если в какой-то момент «отключить» учёт этих эффектов, то уже через сутки в показаниях навигационной системы накопится определенная ошибка порядка 10 километров. Получается, что неевклидова геометрия помогает нам ориентироваться в городе.

В принципе кому-то возможно достаточно и этого примера, чтобы убедиться, что математика взаимодействует с другими науками. Но я бы хотел привести пример корреляции математики с биологией, который, на мой взгляд, ещё интереснее предыдущего.

Пока биология не может «прочитать» большие молекулы ДНК как книгу, так сказать, «буква за буквой». Вместо этого учёные расшифровывают последовательности коротких кусочков ДНК, не зная, из какого места генома был вырезан данный кусочек. Процесс сборки генома из огромного числа копий одной ДНК, называется секвенированием. Этот процесс сродни попытке собрать огромный фантастический пазл из миллиарда кусочков и основывается он опять же на математической теории.

В середине 1990-х годов был расшифрован геном бактерии, в 2001 году – человека. Работа была длительной, кропотливой и дорогостоящей, поскольку алгоритмы суперкомпьютеров основывались на задачах на нахождение гамильтонова цикла. В последствие математики разработали быстрые методы сборки, связанные с задачами на нахождение эйлерова цикла, и теперь биологи готовятся к решению фундаментальной задачи: для каждого вида млекопитающих провести свою сборку генома. Так, благодаря одному из величайших математиков, возможно, станет реальностью возвращение к жизни многих исчезнувших видов животных.

А вот ещё один интересный факт. Он также черпает основу в математических расчетах, но связан уже с другой областью человеческой жизни – со спортом.

Итак, поверхность классического футбольного мяча (начиная с 1968-го года) состоит из 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Казалось бы – зачем? Попытаемся разобраться. Модель мяча можно представить следующим образом.

Из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников с равными сторонами можно сложить многогранник, называемый усечённым икосаэдром.

Икосаэдр – один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов, означающих «двадцать оснований». У икосаэдра 12 вершин,20 граней – правильных треугольников, 30 рёбер.

«Отрежем» вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Очевидно, что срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр.

Усечённый икосаэдр – один из полуправильных многогранников. Так называются многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники разных типов (в отличие от правильных многогранников, все грани которых – одинаковые правильные многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», то есть многогранные углы при вершинах равны (совместимы).

При «наполнении воздухом» усечённого икосаэдра он принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами мяча», рёбра перейдут в швы, а грани – в «слегка искривлённые» многоугольники на поверхности мяча. Таким образом, получится модель мяча – центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу.

Удивительно, не правда ли? Вот такая забавная «спортивная» геометрия.

Разбираясь в математических задачах разного типа, профиля и уровня, формата и масштаба, я понимаю, что, несмотря на древность этой дисциплины, она не перестает быть актуальной и по сей день.

Сегодня, как собственно и во все времена математика не перестает нас удивлять своей масштабностью, многогранностью и верной «дружбой» практически со всеми отраслями науки и техники. Наш «всего лишь школьный предмет», на самом деле «самодостаточен», но, тем не менее, способен «прийти на помощь» любой отрасли знаний и практически любой бытовой проблеме.

Мы изучаем математику еще до школы. В школе же она с годами трансформируется, в неё, словно в девичью косу по волоску вплетаются все новые волоски знаний, образуя красивую, стройную, массивную структуру.

Еще математику часто называют фундаментальной наукой. Она дает основу, ядро, на котором, словно красивый прочный дом, потом сможет вырасти новое открытие. А при точных расчетах углов и крепких стенах знаний, он простоит многие годы, укрепляясь новыми знаниями красуясь новыми достижениями и успехами.

Итак, в ходе исследования поставленные задачи, считаю выполненными, поскольку математика предстала перед нами как самостоятельная, так и прикладная дисциплина. На всем протяжении своего существования она служила человеку. Не только укрепляла его теоретические знания, но и развивала его практические навыки. Математика видоизменялась и «подстраивалась» под необходимости человека изучать технику, придумывать различные, порой невообразимо длинные и запутанные расчеты для получения необходимого результата, поиска «рационального зерна». Она всюду, как своего рода «палочка-выручалочка» поддерживает все начинания человека. Ведя за собой и одновременно сопровождая поколения людей. Как человек не мыслит своей жизни без слов, так он не мыслит её и без цифр.

В своей работе я попытался представить некоторые ситуации, которые можно смоделировать в качестве прикладных задач, приводящих к квадратным уравнениям. И мне это удалось. Я не только представил условие задачи, но и привел пример решения.

Затрагивая, таким образом, некоторые области знаний, я постарался доказать, что с помощью точных математических расчетов можно вовремя потушить пожар, учесть возможную прибыль, а также победить в спорном забеге. Вот такая она многогранная эта простая математика, всего лишь «школьный предмет».

Я всё же верю, что это далеко не так. Ведь не зря математика появилась задолго до рождения многих из нас, развивалась, совершенствовалась, проходя сквозь века, рука об руку с другими науками. И будет идти дальше, меняя, утверждая, приводя в порядок всё на своем бесконечном математическом пути. Возможно, это не часть математики является прикладной, а другие науки – прикладные к ней.

Но как бы то ни было, и то и другое очень хорошо, ведь жизнь – математически целая единица, а начнешь делить, кто знает, к каким разрушениям всё это приведет.

А еще я часто вспоминаю недавно услышанную мной фразу, которую произнес преподаватель физики на дне открытых дверей одного из технических ВУЗов. Он сказал, что если поступить в технический ВУЗ, станешь менее доверчивым, и не каждый тебя сможет обмануть. И я с ним абсолютно согласен. Ведь математика структурирует мышление человека, выстраивает логику, заставляет думать, решать задачи не только математические, но и физические, химические, да и жизненные в том числе. А значит мозг постоянно в работе. Вот она прикладная часть к жизни и взаимодействие с ней математики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ И ЛИТЕРАТУРЫ.

Е.С. Вентцель. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе // Математики о математике: сборник статей / сост. Н.Я. Виленкин М.: Знание, 1984.

Блинков А.Д. Геометрия в негеометрических задачах. – М.: МЦНМО, 2016. – 160 стр.: ил.

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. 5-е изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990. – 256 с.

Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюнин ; Художник-оформитель Р.А. Кокшаров. – М. : Фонд «Математические этюды», 2015. – 151 с. : ил.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта+, 1998. – 688 с.: ил.

Лекции Владимира Зубкова (2017) и Алексея Иваницкого (2018) по прикладной математике.

Я как-то читал книгу о войнах в Средневековье, где активно применялись различные осадные машины. И я решил составить задачу про действие катапульты и вот что у меня получилось:

Камнемётная машина выстреливает камнями под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой

где a = -0,01 м -1 , b = 1 – постоянные параметры, x метров – смещение камня по горизонтали, y метров – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение: задача сводится к неравенству y => 9 при заданных значениях параметров a и b .

Y => 9  -0,01 x 2 – 100 x +900  10 x q на продукцию предприятия-монополиста от цены p (в тысячах рублей) определяется как

Определите максимальный уровень цены p , при котором месячная выручка r ( p ) составит не менее 240 тысяч рублей. Ответ приведите в тысячах рублей.

Решение: из всего вышесказанного можно составить неравенство r ( p ) => 240

r ( p ) = q x p = (100 – 10 p ) p = 100 p – 10 p 2 ,

r ( p ) => 240  10 p 2 – 100 p + 240  p 2 – 10 p + 24  4 p P = m ( v 2 / L – g ).

Где m – масса воды в килограммах, v – скорость движения ведра в метрах в секунду, L – длина верёвки в метрах, g – ускорение свободного падения (округлим до 10 м/с 2 ). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,441 метра? Ответ выразите в метрах в секунду.

Решение: исходя из условия, образуется неравенство P ( v ) => 0 при заданной длине верёвки L = 0,441 метра

P => 0  m ( v 2 / L – g ) => 0  v 2 /0,441 – 10 => 0  v 2 => 4,41  v => 2,1

Ответ: 2,1 метра в секунду.

Я ранее говорил, что математика имеет очень древние корни, и поэтому я решил представить задачу, которая была придумана в Древней Индии. Представляю вам задачу о стае обезьян:

На две партии разбившись,

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

У этой задачи было следующее решение:

Пусть всего было x обезьян, тогда (0,125 x ) 2 + 12 = x ; x 2 /64 + 12 = x ; x 2 – 64 x + 768 = 0; D = 32 2 – 768 = 1024 -768 = 256; x = 32 + 16; x ₁ = 48; x = 16/

Ответ: 16 или 48.

Следующая задача попала к нам из древнего Вавилона и была написана на глиняной табличке:

Я сложил длину и ширину, получил 27. Избыток длину над шириной я прибавил к площади поля и получил 183. Найди длину, ширину и площадь.

Решить эту задачу было непросто:

Пусть x – длина, y – ширина. Получаем систему уравнений:

Из первого уравнения находим y = 27 – x . Подставим это выражение во второе уравнение, раскроем скобки, приведём подобные. Получится квадратное уравнение:

X 2 – 29x + 210 = 0.

D = (-29/2) 2 – 210 = 841/4 – 210 = ¼

И наконец, найдём корни:

Итак, мы получили два различных значения для длины поля: 15 и 14. Используя формулу y = 27 – x , вычисляем ширину поля:

Y ₁ = 27 – 15 = 12

Y ₂ = 27 – 14 = 13

S ₁ = 15 x 12 = 180

S ₂ = 14 x 13 = 182

Древний математик также получил в процессе вычислений числа 15 и 14. Но он взял для длины только 15 и написал, что истинная ширина 12, а площадь 180. Мы же нашли ещё одно решение: длина 14, ширина 13, площадь 182.

Ну а эта задача также связана с полем:

Имеется строительный материал, из которого можно построить забор длиной 12 метров. Мы хотим огородить прилегающую к дому площадку наибольшей площади. Каковы её размеры?

Решение напоминало клубок ниток: достаточно найти одну нить, а дальше «как по маслу»:

Пусть x – длина площадки, y – её площадь. Составим уравнение:

Из которого находим

Подставив это значение в формулу площади, получим

S = X (6 – X /2) = — X 2 /2 + 6 X

Перед нами уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Нужно определить такое X , при котором S принимает наибольшее значение

Его корни X ₁ = 0 и X ₂ = 12. Затем абсциссу вертикальной параболы вычислим по формуле X ₀ = ( X ₁ + X ₂)/2.

Отсюда X ₀ = 6, Y ₀ = 3 и S = 18. Итак, размеры площадки: длина 6 метров, ширина 3 метра, площадь 18 квадратных метров.

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.

Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева

ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ( 2 КУРС)

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений .

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.

Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.

Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.

Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.

Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.

Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.

Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.

Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов

2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов

3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и

4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).

Вопросы и упражнения для выполнения на занятии

Какое уравнение называется дифференциальным?

Назовите виды дифференциальных уравнений.

Решите уравнение: 2у dx = (1+ x ) dy . Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t . Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М при t =0

Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t . Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R ₀ при t =0.

Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.

Решить уравнение: ху ‘ + у = х (х ≠ 0).

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у » = — k 2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

Подведение итогов урока

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности – это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.

Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

где k – const , причем k может быть : k > 0 или k

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:

т.к. C – произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке .

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону .

Если r ‘ ( t ) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

Значит, решением уравнения, является функция r ‘ ( t ) = С e — kt . Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

Промежуток времени T , через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”, зная Т , можно найти k :

Логарифмируя по основанию е , получаем — k T = – ln 2 ,

Например, для радия период полураспада . Поэтому, , следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы r _o останется.

Задача: Скорость размножения бактерий m ‘ (t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:

где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения являются функции m ( t ) = C · e kt .

Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса m _o бактерий известна, тогда

Задача. Два тела имеют одинаковую температуру – 100 0 . Они вынесены на воздух, его температура 0 0 . Через 10 мин. температура одного тела стала 80 0 , а второго – 64 0 . Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25 0 .

Значит, 80 0 = 100 0 · e -10 k , e -10 k = 0,8

-10 k = ln 0,8,

2) 64 0 = 100 0 · 100 0 · e -10 k , тогда e -10 k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64,

Следовательно

Ответ: t = 31,06 мин .

Задача. Задача о гармонических колебаниях.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений

где k – заданное положительное число

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).

1.

2.

3.

4.

5.

Решаем квадратное уравнение относительно y’:

следовательно

Решим это уравнение, взяв + , заменяем на получаем

,умножаем обе части на dx , отсюда это однородное уравнение.

Сделаем замену y = z x и продифференцируем ее по x, получим dy = x dz + z dx , подставляем

Обе части делим на x получаем , раскрываем скобки и приводим подобные , разделяем переменные , интегрируем , решением будет функция далее , т.к , то раскрываем скобки в итоге получаем — это каноническое уравнение параболы с вершиной (; 0) и фокусом в точке (0;0).

Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Решение. А = А₀ e к t

А₀ = 3,6 · 10 9 , А = 40 · 10 9 , k = 0,017

40 · 10 9 = 3,6 · 10 9 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.

Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения

Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.