Приложение дифференциальных уравнений в биологии

Приложение дифференциальных уравнений в биологии

Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных систем, зависящих от времени, в частности, для описания и исследования экономических и биологических систем.

В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра—Лотка. Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.
Пусть x₁ и x₂ — число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв x₁‘/x₁ равен a-bx₂, a>0, b>0, где a — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, —bx₂ — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи ( x₁=0 ) относительная скорость изменения популяции хищников равна , c>0 , наличие пищи компенсирует убывание, и при x1>0 имеем , d>0.
Таким образом, система Вольтерра—Лотка имеет вид:

где a, b, c, d >0.
Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр.
Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x₁(0)=3, x₂(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3 : 1 , обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b=2.5 , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x₁=c/d =2 (в этой точке x₂‘=0), число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины x₂=a/b =1.6 (в этой точке x₁‘=0).С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и . процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин x₁=2, x₂=1.6 соответственно (дробные числа здесь не означают “половину волка”, величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.). Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости — фазовая кривая (x₁(t), x₂(t)) — замкнутая линия. Самая левая точка, этой кривой, — это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка x₁=4, x₂=1.6 , — точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает, до нижней точки фазовой кривой,x₁=2 , где достигает наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой кривой (x₁=2, x₂=2.5). Фазовая кривая охватывает точку x₁=2, x₂=1.6.
На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние
x₁‘ =0, x₂‘ =0,
которое достигается в точке x₁=2, x₂=1.6. Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решения x₁(t), x₂(t) не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и т.п.

Рассмотрим модель конкурирующих видов с “логистической поправкой”:

В этом случае поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра a.
Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a =0.1, a=4, b=2.5, c=2, d=1 и графики ее решения с начальным условием x₁(0)=3, x₂(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения — в затухающие колебания. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близким к стационарному и стремится к нему при .

Графики решений и фазовая кривая при отрицательном значении параметра a, a =-0.1, приведены ниже.

Как видно, в этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. В этом случае как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.

ПРИМЕР 2. Модель «хищник-жертва» с логистической поправкой.

На примере модели Вольтерра—Лотка и модели Вольтерра—Лотка с логистической поправкой было продемонстрировано одно из важнейших качественных свойств центров — они легко разрушаются даже при самых малых изменениях правой части. Большинство моделей является идеализацией действительности; в них внимание сосредоточено на некоторых основных переменных и соотношениях между ними. Поэтому устойчивость моделей относительно малых возмущений чрезвычайно важна в приложениях. Модели, не чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми.

Модель Вольтерра—Лотка неустойчива относительно возмущений, поскольку ее стационарное состояние — центр.

Существует другой вид моделей, в которых возникают незатухающие колебания, — это модели, имеющие на фазовых портретах предельные циклы. Такая модель существует для системы конкурирующих видов — это модель Холлинга—Тэннера.
Скорость роста популяции жертв x‘₁ в этой модели равна сумме трех величин:

• скорости размножения в отсутствие хищников — r x₁;
• влиянию межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах (для случая конкурирующих производителей это влияние ограниченных сырьевых ресурсов) —
• влиянию хищников , в предположении, что хищник перестает убивать, когда насыщается —

Скорость роста популяции хищников x‘₂ строится так же, как в модели Вольтерра—Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из x₁ жертв сможет обеспечить пищей x₁/J хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину, имеет вид
.
Таким образом, имеем модель Холлинга—Тэннера:

где r, s, K, D, J > 0.
Можно показать, что при

на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл. Ниже приведено решение системы при r=1, K=7, w=1, D=1, s=0.2, J=0.5 и двух различных начальных состояниях и фазовый портрет системы, построенные программой ОДУ.

Модель выравнивания цен по уровню актива интересна тем, что в ней можно наблюдать гармонические колебания решений возле стационарного состояния. Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d, т.е. q‘=k(s—d), k > 0. Предположим далее, что изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q₀ так, что p‘=-m(q—q₀ ) , m > 0. Таким образом, модель выравнивания цен по уровню актива имеет вид
q‘ = k(s(p) — d(p)),
p‘ = — m(q—q₀).

Видно, что цена и актив колеблются возле стационарного состояния. Фазовая траектория представляет собой эллипс, охватывающий стационарную точку. Это означает, что колебания актива и цены — гармонические.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2011 в 15:48, реферат

Краткое описание

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

Содержание

Введение
1. Биологические и медицинские понятия
1.1. Понятие популяции.
1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.
1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.
2. Дифференциальные уравнения.
2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.
2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.
2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.
Задачи
Заключение
Список литературы.

Прикрепленные файлы: 1 файл

реферат по математике дифференциальные уравнения в биологии и медицине.docx

«Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: Динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии».

1. Биологические и медицинские понятия

1.1. Понятие популяции.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Математические методы всегда являлись важным инструментом при исследовании вопросов медицинского и биологического характера. Есть множество математических способов позволяющих описать те или биологические процессы. Один из них решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения используются не только в биологии и медицине, но и многих других науках, таких как физика, экономика, техника. С их помощью описываются практически любые задачи динамики машин и механизмов.

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

1. Биологические и медицинские понятия.

1.1 Понятие популяция.

Популяция это совокупность особей одного вида, занимающих определенный ареал, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющих общее происхождение, генетическую основу и в той или иной степени изолированная от других популяций данного вида.

Динамика численности особей и механизмы ее регулирования являются одними из важнейших свойств популяции. Всякое значительное отклонение численности особей от оптимальной связано с отрицательными последствиями для ее существования. В связи с этим популяции обычно имеют адаптационные механизмы, способствующие как снижению численности, если она значительно превышает оптимальную, так и ее восстановлению, если она уменьшается ниже оптимальных значений.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

В целом можно выделить две динамики популяций: независимую от плотности (численности) ее особей и зависимую от плотности.

Независимый от плотности тип изменения численности обусловливается в основном абиотическими факторами (погодные явления, наличие пищи, различного рода катастрофы и т.п.). Эти факторы могут обеспечивать условия как для неограниченного, хотя и кратковременного, роста популяций, так и для снижения их численности до нуля. Группы этих факторов обычно называют модифицирующими.

Зависимая от плотности динамика популяций зависит от биотических факторов. Их называют регулирующими. Они «работают» по принципу обратной отрицательной связи: чем значительнее численность, тем сильнее срабатывают механизмы, обусловливающие ее снижение, и, наоборот – при низкой численности сила этих механизмов ослабевает, и создаются условия для более полной реализации биотического потенциала. Факторы такого типа лежат в основе популяционного гомеостаза, обеспечивающего поддержание численности в определенных границах значений.

К числу регулирующих факторов относится, в частности, взаимоотношение организмов типа хищник – жертва. Высокая численность жертвы создает условия (пищевые) для размножения хищника. Последний, в свою очередь, увеличив численность, снижает количество жертвы. Также к регулирующим факторам можно отнести инфекционные заболевания и эпидемии. При большой численности популяции они быстро распространяются и также способствуют снижению численности, оставляя после себя самых приспособленных.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

Инфекционные заболевания — это группа заболеваний, вызываемых проникновением в организм патогенных (болезнетворных) микроорганизмов

Эпидемия — широкое распространение какого-либо инфекционного заболевания . Эпидемический процесс заключается в непрерывной передаче возбудителя инфекции в коллективе. Для возникновения эпидемического процесса необходимы три фактора (или условия):

• источник возбудителя инфекционного процесса
• механизмы его передачи
• восприимчивые к заболеванию люди.

Существует 2 способа изучения эпидемий. Изучение больших групп и изучение малых групп. Теория больших групп занимается общим исследованием характера возникновения эпидемий в целом сообществе или в больших популяциях и рассматривает довольно упрощенные модели распространения эпидемий в весьма упрощенной форме. Основное значение этих исследований состоит в том, что они связаны с работой органов общественного здравоохранения. Теорию малых групп можно разработать более детально. Она позволяет не только составлять общие прогнозы возможного развития той или иной эпидемии среди группы школьников или в семье, но и получать информацию по вопросам, имеющим конкретное клиническое или биологическое значение (например, продолжительность заразного или латентного периода).

2. Дифференциальные уравнения.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

Дифференциальные уравнение для функции x (t) это уравнение содержащее производные x (t) по времени t. Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

Примеры дифференциальных уравнений:

Простейшие модели роста популяции можно выразить с помощью линейных дифференциальных уравнений первого порядка. К примеру, если предположить, что необходимые популяции ресурсы находятся в изобилии, то скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. И это предположение можно выразить уравнением , где a –постоянная.

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным, если уравнения в членах, содержащих функцию х (t) и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например и.т.п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Примеры линейных уравнений:

Примеры нелинейных уравнений:

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Это уравнение называется однородным, если f(t)=0 при всех t. В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент а (t) постоянный, то уравнение (*)называют уравнением с постоянными коэффициентами.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

Одной из самых знаменитых математических моделей, описывающих биологические сообщества является модель Лотки-Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв:

x′ = –ax + cxy,

описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

Модель Лотки-Вольтерры имеет один недостаток. Она не учитывает совокупность всех факторов действующих на популяцию.

Этого недостатка лишена модель Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y ≈ +∞), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y закону Мальтуса , второй –dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

Наконец, третий компонент скорости изменения популяции жертв в модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0).

2.3.Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Дана изолированная популяция. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. Третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции, поделенному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?

Связь интегрального и дифференциального исчисления с биологией

Современная биология — одна из самых широких площадок для применения дифференциальных уравнений. Так как дифференциальные уравнения хорошо показывают протекание эволюционных процессов, естественно, что они широко применяются в науке о функционировании биосистем.
Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические сообщества (если не считать исследований Фибоначчи популяции кроликов, приведших его к знаменитым числам, носящим его имя, а также исследований Мальтуса, приведших впоследствии к известному уравнению x′ = ax (a > 0) мальтузианского роста) была модель Лотки — Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону x′ = –ax (a > 0), а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса.