Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда — скорость размножения бактерий.

По условию задачи — уравнение с разделяющимися переменными.

Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

При t=0, x=x₀ -частное решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .

Прологарифмируем последнее выражение

Окончательно получаем

Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение

,

где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.

k -коэффициент пропорциональности.

Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.

Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные

Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I_{0 ,} при x=0, найдем частное решение

Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.

Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).

Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта

Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.

Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.

, или

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.

Потенцируя последнее выражение, получаем

Находим отсюда

Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.

Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.4. Дифференциальные уравнения и их применения в медицине

1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения.

2. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений.

3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач.

Основные понятия и определения дифференциального уравнения

Опр. Равенство, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у = f(x), а так же её производные y’,y”,….. y n , называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

F(x,y.y’,y”………) = 0, где F – известная функция, заданная в некоторой фиксированной области; х – независимая переменная; у – зависимая переменная; y’,y”,….. y n – её производные.

Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция у = f(x), которая будучи представлена в уравнении F(x,y.y’,y”………) = 0, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Пример 1.1. Дифференциальное уравнение

Представим в виде: ; возьмём интеграл от левой и правой части уравнения: Получим – общее решение дифференциального уравнения, которое включает произвольную постоянную с.

Методы решения некоторых дифференциальных уравнений

Выбор метода решения дифференциального уравнения зависит от его вида.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнения вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:

После резделения переменных, когда каждый член будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

Решением этого уравнения будет:

Пример 2.1. Найти решение уравнения: .

Разделим уравнение на множители, зависящие только от одной переменной:

Проинтегрируем левую и правую части:

Общее решение:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Опр. Уравнения вида: , где – непрерывные функции, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

При уравнение – называется линейным однородным уравнением. Общее решение:

При уравнение – называется линейным неоднородным уравнением. Общее решение:

Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач

Этапы решения задач с помощью дифференциальных уравнений:

1. Оформить условия, в которых протекают изучаемые процессы;

2. Выбрать зависимые и независимые переменные;

3. Определить функциональные зависимости между ними

4. Решение уравнения;

5. Анализ полученных решений.

В уравнениях, описывающих медико-биологические процессы, в качестве независимой переменной чаще всего используется временная компонента.

Размножение бактерий

Если бактерии обитают в благоприятной среде, то скорость размножения бактерий пропорциональна размеру популяции. Такое предположение описывается дифференциальным уравнением: где х – количество бактерий; k – коэффициент пропорциональности. Тогда, разделяя переменные и интегрируя левую и правую части уравнения получим: где N₀ – начальное количество бактерий; N — количество бактерий в момент времени t.

Вычислим определённые интегралы:

Получим экспоненциальную кривую, которая зависит от времени и k. Если то количество бактерий будет возрастать по экспоненциальному закону, при , а при — оставаться на постоянном уровне.

Для определения значения k необходимо иметь дополнительные сведения об изменении численности бактерий за определённый промежуток времени.

Внутривенное введение глюкозы

При внутривенном введении с помощью капельницы скорость поступления глюкозы в кровь постоянна и равна с. В крови глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид: где х – количество глюкозы в крови в текущий момент времени; с – скорость поступления глюкозы в кровь; — положительная постоянная. Запишем это уравнение в виде:

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и его общее решение находиться по формуле:

где k- постоянная интегрирования. Чтобы найти постоянную k, необходимо знать начальное значение глюкозы в крови х (0).

Тогда .

Частное решение уравнения имеет вид:

При увеличении времени уровень глюкозы в крови приближается к .

Интегрированный урок по математике и информатике “Применение дифференциальных уравнений при решении прикладных задач различных предметных областей, их анализ и графическая интерпретация”.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – гимназия №19

Интегрированный урок по математике и информатике

“ Применение дифференциальных уравнений

при решении прикладных задач

различных предметных областей,

их анализ и графическая интерпретация”.

Подготовили и провели:

Тюпин Владимир Владимирович;

учитель информатики и ИКТ

Кривоногов Константин Юрьевич.

2013-2014 учебный год

Тема урока: “Применение дифференциальных уравнений при решении прикладных задач различных предметных областей, их анализ и графическая интерпретация”.

1. Обобщение теоретического материала по теме «Неопределенный интеграл и дифференциальные уравнения».

2. Обобщение теоретического материала по теме «Прикладные среды и системы программирования для решения математических задач».

3. Исследовательская работа в группах.

4. Представление аналитического и графического решений поставленных задач.

5. Анализ результатов и выводы.

Цели и задачи урока.

1. Обобщение теоретического материала по темам: «Неопределенный интеграл и дифференциальные уравнения», «Прикладные среды и системы программирования для решения математических задач».

2. Отработка навыков решения дифференциальных уравнений аналитическим и графическим способами на основе прикладных задач предметов естественнонаучного цикла.

3. На основе полученных результатов сделать вывод о применении различных средств и методов математики и информатики к решению задач физики, химии, экологии.

Перед тем как вы начнете выполнять исследовательскую работу мы с вами должны повторить основные понятия и методы решения задач, непосредственно связанных с темой нашего урока.

1. Давайте вспомним как называется раздел математики, который мы сейчас изучаем.

2. Что называется интегральным исчислением?

Давайте вспомним базовые понятия интегрального исчисления.

3. Дайте определение первообразной функции f ( x ).

4. Что называется интегралом функции f ( x )?

Непосредственная ваша работа на уроке будет связана с решением дифференциальных уравнений. Так давайте же вспомним основные понятия связанные с ними.

5. Какое уравнение называют дифференциальным?

6. Что называется решением дифференциального уравнения?

7. Что значит решить задачу Коши для дифференциального уравнения?

Есть такое понятие связанное с дифференциальным уравнением, как порядок.

8. Что называют порядком дифференциального уравнения?

На доске представлены различные виды дифференциальных уравнений.

9. Назовите их и дайте соответствующие определения.

На доске представлены также различные виды решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

10. От каких условий зависит появление того или иного решения данного дифференциального уравнения?

11. Что позволяет найти характеристическое уравнение?

Итак, повторив основные вопросы математики вам предстоит аналогичная работа и по информатике.

Повторив основные понятия по математике и информатики, относящиеся к теме нашего сегодняшнего урока у вас есть прекрасная возможность применить полученные знания на практике в процессе решения предложенных вам исследовательских задач.

На столе у каждой лаборатории лежат листочки с исследовательскими задачами. Каждой лаборатории предстоит сначала получить функциональную зависимость описывающую тот или иной процесс, составив и решив дифференциальное уравнение, а затем данное решение реализовать графически в среде Excel и Delphi . Это вам поможет сделать справочный материал по данной тематике так же находящийся у вас на столе.

Далее один представитель каждой лаборатории представляет нам математическую часть решения задачи на доске, а два других её графическую интерпретацию на экране.

На данном уроке мы с вами обобщили теоретический материал по темам «Неопределённый интеграл, дифференциальные уравнения» и «Прикладные среды и системы программирования для решения задач».

После чего успешно мы с вами увидели применение данного материала на практике при решении прикладных задач предметов естественнонаучного цикла.

На столах для каждого лежат листочки с домашним заданием, в котором вам предлагается решить прикладную задачу геометрического содержания способами, рассмотренными нами на уроке

Составьте уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точками касания и осью ординат делится пополам в точке пересечения с осью абсцисс. Каковы начальные условия, если кривая проходит через точку А (1;3). Представить графическую интерпретацию решения данной задачи в прикладной среде и среде программирования.

Подводя итоги работы, можно сказать, что все учащиеся с заданием справились успешно и получают следующие отметки: