Применение дифференциальных уравнений в авиации

Использование дифферинциальных уравнений в военной технике

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Мая 2015 в 17:40, курсовая работа

Краткое описание

Целью настоящей работы является рассмотрение возможности применения
дифференциальных уравнений для решения задач, которые необходимы в военном деле, а конкретно в данной курсовой работе формализации проблемной ситуации в разработке автопилота.
Достижение предполагаемой цели связано с решением частных задач :
1. Описать теоретические основы дифференциальных уравнений;
2. Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота (Использование дифференциальных уравнений в авиации)

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………..2
1. Определение дифференциального уравнения (ДУ) …………………………..3
1.1 Существование решения дифференциального уравнения первого порядка ….6
1.2 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными …………………………………………………………………………10
1.3 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка …………………12
1.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка …………………..14
1.5 Уравнение Бернулли ……………………………………………………………..14
2. Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота. ……………….15
Заключение ……………………………………………………………………………20
Список использованной литературы ………………………………………………..21

Прикрепленные файлы: 1 файл

Использование дифферинциальных уравнений в военной технике.docx

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

и затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду z=H(y)+c1, z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c1 и c2 обычно берется одна c=c2-c1, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в видеH(y)=G(x)+c.Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример . Решить дифференциальное уравнение ,

Найти его частное решение при условии .Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

.Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

.Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения

или .Используя начальное условие , определяем значение константы c для искомого частного решения

Искомое частное решение дается уравнением .[4, стр 8-15]

1.3 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .(3)

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если

Например, функция является однородной второй степени. Действительно,

Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем

где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени.

Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

Разделяя переменные приходим к уравнению

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. [3, стр 57-67]

1.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

P(x), Q(x)- функции от переменной х. P(x) и Q(x) не равны 0, иначе получается уравнение с разделяющимися Переменными.

Решение уравнения (2) ищется в виде: y=uv ; u=u(x) v=v(x).Найдём y`:

y`=u`v+uv`.Подставим значения y и y` в уравнение (2) получаем:

dv/dx=P(x)v; dv/v=-Q(x)dx ; lnv=- ∫e-∫P(x)dx u`v=Q(x); (du/dx) *e -∫P(x)dx =Q(x);

du= ∫Q(x) e -∫P(x)dx dx+C

1.5 Уравнение Бернулли

Общий вид уравнения:

n не равно 0 и 1 Разделим (5) на yn ; yn y`+ P(x)y1-n=Q(x). Введём новую переменную Z=y1-nПродифференцируем выражение. В итоге получится: z`=(1-n) y-n y` ;z`/(1-n)+P(x)=Q(x)-полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка. При помощи замены z= y1-n мы находим y. [5, стр 77-89]

2. Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота.

В рамках практически любой исходной проблемной ситуации можно выбрать не один путь решения, приводящий к противоречию, а несколько. Осознание этого факта дает возможность более глубокого управления процессом решения.

А если заходит разговор об управлении процессом, то и соответствующую задачу целесообразно ставить как задачу управления.

Задача управления ставится следующим образом. Задан объект управления (ОУ). Необходимо синтезировать устройство управления, которое вырабатывает воздействия (управления) на объект, приводящие его к необходимой цели.

Выберем два объекта управления: изобретательскую ситуацию и самолет (его динамику — для аналогии).

Первым этапом решения задачи управления является идентификация объекта управления, т.е. получение математической модели ОУ.

Откуда берется математическая модель самолета? Вовсе не из теории управления, а из аэродинамики и подобных смежных наук. Потому, что за многие годы проектирования в авиации сложился определенный формализованный остов, стержень, основа математических моделей самолетов в виде определенной системы дифференциальных уравнений. Эта система показала свою жизнеспособность, и специалисту по теории управления остается только «привязать» конкретный самолет к этой основе, по возможности, с минимальными изменениями. Такой способ существенно отсекает «отсебятину», субъективность проектировщиков.

Применительно к изобретательству формализованным описанием технической системы является формула изобретения. Она составляется по определенным правилам, и показала свою жизнеспособность за время существования патентного права. Поэтому вполне возможно за первоначальную модель изобретательской задачи выбрать формулу изобретения-прототипа, «привязав» к нему исходную изобретательскую ситуацию. Прототип, как известно, выполняет ту же функцию, и отличается от заявляемого решения по минимальному количеству признаков. Назовем такую модель патентной.

Далее, каковы же дальнейшие пути формализации проблемной ситуации?

Обратимся снова к модели самолета. Система дифференциальных уравнений, упомянутая выше, записывается обычно в так называемой нормальной форме Коши:

где x — вектор состояний самолета, вектор управлений, F-некоторая функция, t — время. Координатами вектора состояний выбираются переменные, определяющие положение самолета в текущий момент времени, например, x1 — дальность полета или первая координата вектора x, x2 -горизонтальная скорость полета или вторая координата вектора х, x3- высота полета, x4- вертикальная скорость, x5 — курс, x6- наклон траектории, x7- угол наклона самолета относительно центра его масса и другие переменные. В качестве координат вектора управления обычно выбираются u1 — угол поворота руля направлений, u2- угол поворота руля высоты, u3- угол поворота элеронов, u4- угол тяги и другие средства управления. Система уравнений (1) может быть расписана и в скалярной форме

где n — порядок системы.

Решение каждого уравнения (2.2) дает некоторое элементарное движение. Их совокупность характеризует сложную динамику всего самолета. Число n уравнений может доходить до 200, когда описывается не только движение центра масс самолета, но и движение вокруг центра масс в трехмерном пространстве, не жесткость крыльев самолета, расход топлива, изменение положения центра масс и другие движения.

Если перейти к модели изобретательской задачи, то возникает вопрос, что же может быть такими элементарными движениями, совокупность которых и определяет проблемную ситуацию?

На наш взгляд, такими элементарными движениями могут быть противоречия, а каждое i-ое уравнение системы (2.2) будет описывать развитие i-ого противоречия по координате xi(t), i=1,2. n. Тогда вся система (2.2) должна математически моделировать исходную проблемную ситуацию изобретательской задачи. Остается связать патентную и математическую модели, и возможно это сделать через структурную модель.

Можно предполагать, что математическая модель может оказаться весьма сложной. Например, систему из двух сотен дифференциальных уравнений анализировать очень трудно, а синтезировать к ней автопилот (применительно к самолету) просто невозможно. Поэтому систему уравнений подвергают декомпозиции. Для этого выделяют какую-нибудь траекторию, направление, и рассматривают движение, относящееся только к этому направлению.

Например, руление самолета по осевой линии взлетно-посадочной полосы можно в простейшем случае описать всего двумя уравнениями типа (2): одно для скорости движения, а другое — для скорости изменения скорости, т.е. ускорения.

Полет в трехмерном пространстве чаще всего разбивают на два движения: продольное — в вертикальной плоскости, и поперечное — в горизонтальной. Например, глиссада (траектория посадки) в продольной плоскости может быть описана системой всего из 4-х уравнений и т.п.

Если перейти теперь к изобретательской ситуации, представленной патентной моделью, то в ней тоже необходимо выделить направления движения, по которым можно декомпозировать патентную модель.

Наиболее естественным выбором в качестве направлений декомпозиции являются причинно-следственные цепочки или линии прохождения /преобразования энергии/информации, вытекающие из законов развития (полноты частей системы, информационно-энергетической проводимости и т.п.).

На этих линиях по патентной модели строим структурную модель. Собственно, эта операция не только в ТРИЗ, а и вообще в техническом творчестве, известна давно и достаточно отработана, поскольку патентное описание устройств чаще всего сопровождается структурными иллюстрациями. Например, структурную модель задачи о запайке ампул с лекарством можно представить в виде на рисунке 1. Конечно, у разных исполнителей модель может иметь некоторые вариации, однако имеется и единство, которое определяется общим патентным описанием и линиями прохождения энергии/информации. Как видно из рисунка 1 структурная модель содержит 4 таких линии. По аналогии с моделью самолета линия «давление-газ-горелка-пламя- ампула-лекарство» может быть названа продольной,
а остальные линии, например, конвейер-кассета-ампула — поперечными. [7]

Рисунок 1. Пример структурной схемы

Продольное движение самолета частично влияет на его поперечное движение и наоборот, т.е. существуют перекрестные связи с канала на канал. Однако автопилоты для обоих движений синтезируют раздельно. Если перекрестные движения сильно влияют друг на друга, то синтезируют автопилот с антиперекрестными связями, исключающими взаимовлияние влияние каналов; если перекрестные связи слабые, то сначала синтезируют автопилот для одного канала, включают его в систему управления, и затем синтезируют автопилот для другого канала.[6]

В изобретательской задаче поступаем аналогичным образом. Если противоречия в элементах на пересечениях продольных и поперечных линий сильные (назовем их перекрестными), то разрешаем эти противоречия в направлении устранения влияния одной линии на другую. Затем разрешаем, если необходимо, противоречия уже в развязанных линиях.

Если перекрестные противоречия слабые, тогда разрешение противоречий в продольных и поперечных линиях осуществляем последовательно.

Из чего делаем вывод, что разрешение противоречий зависит от их силы, после оценки силы противоречий выбираем каким путем идти, т.е. какие линии станут разрешающими (первоначальными), а какие будут разрешены последовательно.[8]

В результате проведенной работы была раскрыта тема «Дифференциальные уравнения», поставленная цель достигнута в полном объёме ,выполнены следующие задачи:

1. Изучены ДУ первого порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородное ДУ первого порядка, линейное ДУ, уравнение Бернулли.

2. Изучены линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

. Исследование движения самолета методами качественной теории дифференциальных уравнений

Основным математическим аппаратом, на основе которого обычно производится анализ динамики самолета, являются аппарат теории линейных дифференциальных уравнений, метод преобра­зований Лапласа, частотные методы и т. д. Для исследования динамики летательного аппарата в общей постановке, т. е. когда учитываются большие возмущения и рассматриваются нелинейные уравнения движения, эти методы становятся неприемлемыми. В настоящее время нет аналитических методов, позволяющих находить решения нелинейных уравнений движения летательного аппарата. Для описания основных свойств решений этих уравне­ний и выявления их особенностей в настоящей работе будут привлечены методы качественной теории дифференциальных урав­нений. Необходимо, однако, отметить, что методы качественной теории дифференциальных уравнений используются главным обра­зом для анализа уравнений второго порядка и значительно меньше они разработаны для дифференциальных уравнений более вы­сокого порядка. В настоящей работе делается попытка исполь­зовать некоторые из имеющихся в этом направлении результатов, главным образом, с целью проведения классификации возможных видов пространственных движений самолета. К таким резуль­татам, в первую очередь, можно отнести общие представления о структуре решений нелинейных дифференциальных уравнений, понятия особых точек, сепаратрисных поверхностей и т. д. Все необходимые сведения и формулировки в рамках используемого в работе математического аппарата приводятся в настоящей главе.

Будем считать, что за рассматриваемое время скорость и вы­сота полета самолета практически не изменяются и влиянием действия гравитационных сил на движение самолета относительно центра масс можно пренебречь. Если дополнительно предполо­жить, что на рассматриваемом интервале времени рули находятся в некотором неизменном положении, то правые части уравнений движения самолета будут зависеть только от параметров движе­ния и не будут в явном виде зависеть от времени. Такие системы уравнений относятся к так называемым автономным или дина­мическим системам, анализ свойств решений которых возможен

с использованием методов качественной теории дифференциальных уравнений [2, 4, 10, 19, 20].

Методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют представить возможные виды движения, описываемые нелинейными уравнениями, в частности, выявить все возможные установившиеся движения и зависимость движения от начальных условий по фазовым координатам. Знание свойств возможных видов движений для различных сочетаний отклонений органов управления (на постоянную величину) позволяет представить характер движения самолета при простейших законах управле­ния — путем ступенчатых отклонений органов управления. Зна­ние закономерностей движения самолета при таких управлениях позволяет более правильно построить методику расчетов на ЦВМ произвольного управления самолетом.

СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЁТА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ТЕНЗОРОМ ИНЕРЦИИ И ПОЛОЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС Текст научной статьи по специальности « Механика и машиностроение»

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Верещиков Д. В.

Представлен вывод аналитических выражений, составляющих основу математической модели динамики полёта самолёта, для дифференциальных уравнений, описывающих изменение скоростей крена, рыскания и тангажа, а также составляющих скорости полёта в проекциях на оси связанной системы координат , начало которой в общем случае не совпадает с центром масс самолёта, а направление осей не совпадает с его главными центральными осями инерции. Дифференциальные уравнения для угловых и линейных скоростей доведены до удобной для применения численных методов и ЭВМ формы и позволяют получать достоверные результаты моделирования динамики пространственного движения самолёта с произвольным тензором инерции и положением центра масс .

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Верещиков Д. В.

SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF AIRCRAFT SPATIAL MOTION DYNAMICS WITH ARBITRARY TENSOR OF INERTIA AND CENTER OF GRAVITY POSITION

Derivation of analytic expressions making up the basis of a mathematical model of aircraft flight dynamics for the differential equations describing the change in the rate of roll, yaw and pitch, as well as flight velocity components in projections on the body-fixed coordinate axes is presented. The origin of the coordinate system does not in general coincide with the center of mass of the plane, and the axes are not the same as its main central axes of inertia. The differential equations for angular and linear velocities are reduced to the form convenient for the use of numerical methods and computer systems and make it possible to get consistent results of simulating the dynamics of aircraft spatial motion with an arbitrary tensor of inertia and center of gravity position.

Текст научной работы на тему «СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЁТА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ТЕНЗОРОМ ИНЕРЦИИ И ПОЛОЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС»

УДК 629.7.01+531.553 DOI: 10.18287/2541-7533-2021-20-2-7-18

СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЁТА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ТЕНЗОРОМ ИНЕРЦИИ И ПОЛОЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС

Д. В. Верещиков кандидат технических наук, доцент, начальник кафедры;

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж; vdvikt@vandex.ru.

Представлен вывод аналитических выражений, составляющих основу математической модели динамики полёта самолёта, для дифференциальных уравнений, описывающих изменение скоростей крена, рыскания и тангажа, а также составляющих скорости полёта в проекциях на оси связанной системы координат, начало которой в общем случае не совпадает с центром масс самолёта, а направление осей не совпадает с его главными центральными осями инерции. Дифференциальные уравнения для угловых и линейных скоростей доведены до удобной для применения численных методов и ЭВМ формы и позволяют получать достоверные результаты моделирования динамики пространственного движения самолёта с произвольным тензором инерции и положением центра масс.

Тензор инерции; динамика движения; центр масс; угловая скорость; системы координат

Цитирование: Верещиков Д.В. Система дифференциальных уравнений динамики пространственного движения самолёта с произвольными тензором инерции и положением центра масс // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2021. Т. 20, № 2. С. 7-18. DOI: 10.18287/2541-75332021-20-2-7-18

Динамика пространственного движения самолётов при решении ими различных целевых задач пилотирования описывается системой, включающей большое количество дифференциальных и линейных алгебраических уравнений, связывающих кинематические параметры движения, параметры атмосферы, силовой установки и системы управления. Наличие эффективных численных методов, специального программного обеспечения и современных вычислительных мощностей позволяет создавать и применять на практике в известной степени громоздкие математические модели, освобождающие исследователя от необходимости введения допущений и предположений, упрощающих эти модели и, в ряде случаев, искажающих результаты моделирования. В подавляющем большинстве случаев движение самолёта рассматривается в связанной OXYZ и (или) скоростной системах координат [1], начало которых непо-

движно и размещается в условном центре масс симметричного относительно вертикальной плоскости OXY самолёта. Считается, что главные центральные оси инерции

совпадают с осями связанной системы координат, а следовательно тензор инерции самолёта в отношении центробежных моментов инерции 1ха, I, а, иногда и 1ху, возможно упростить, приравняв их к нулю. Возможное перемещение центра масс самолёта относительно принятого за основу начала системы координат либо вообще не учитывается, либо учитывается дополнительными моментами в правых частях дифференциальных уравнений, описывающих изменение скоростей крена а>х, рыскания а>у и тангажа

а>г. В ряде случаев применяются выражения, учитывающие изменение аэродинамиче-

ских производных, вызванное влиянием центра их приведения на величину аэродинамических моментов, полагая, что центр приведения должен совпадать с центром масс самолёта хотя, вообще говоря, вращательные, например, аэродинамические производные, являются функцией мгновенного центра вращения, а не центра масс самолёта.

Результаты анализа боевого применения самолётов позволяют утверждать, что этапы полёта, сопровождающиеся наличием несимметрично размещённых грузов (авиационных средств поражения, десантируемой техники) встречаются весьма часто. Для самолётов оперативно-тактической авиации причиной этому могут служить возросшая эффективность и стоимость бомб, ракет и контейнеров, штатное применение которых предусматривает несимметричное их размещение при транспортировке на самолёте-носителе. Отказы и неисправности также могут привести к образованию несимметричной конфигураци. Самолёты военно-транспортной авиации выполняют десантирование тяжёлых моногрузов, перемещение которых в пределах грузовой кабины существенно изменяет центровку [2]. Ещё одним важным фактором, требующим как можно более внимательного отношения к описанию динамики движения самолёта с изменяющимися положением центра масс и тензора инерции, являются значительные располагаемые угловые скорости вращения самолётов, особенно в канале крена. Многочисленные исследования показывают, что скорости крена могут достигать 5. 6 радиан в секунду, что даже при сравнительно малых скоростях тангажа и рыскания приводит к существенной инерционной взаимосвязи продольной и боковой форм движения самолёта, способствующей выходу за ограничения по углу атаки и нормальной перегрузке, появлению критического, недопустимого в эксплуатации явления аэроинерционного вращения [3]. В том же случае, если даже удаётся избежать опасных явлений в динамике полёта, то значения кинематических параметров движения, получаемые в результате моделирования с использованием упрощённых математических моделей, могут существенно отличаться от реально существующих. Это не позволяет с необходимым качеством решать задачи научно-методического обоснования новых эффективных алгоритмов в системах управления, проводить полунатурное, с участием лётчиков на пилотажных стендах, моделирование различных целевых задач пилотирования, реали-зовывать на практике эффективные методики оценки боевого применения самолётов.

Перечисленные соображения отражают факт того, что создание и применение при моделировании системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику пространственного движения самолёта без упрощений относительно тензора инерции и положения центра масс представляется весьма актуальным.

Целью настоящей статьи является получение аналитических выражений для дифференциальных уравнений, описывающих изменение скоростей крена, рыскания и тангажа, а также составляющих скорости полёта несимметричного самолёта в проекциях на оси связанной системы координат, начало которой в общем случае не совпадает с центром масс самолёта, а направление осей не совпадает с его главными центральными осями инерции. Расчётная схема несимметричного самолёта представлена на рис. 1.

Выбор связанной системы координат обуславливается следующими обстоятельствами:

— датчики инерционного и гироскопического типов, измеряющие угловые скорости и перегрузки, установлены на самолёте неподвижно;

— значения осевых и центробежных моментов инерции инвариантны к выбираемой системе координат;

— аэродинамические моменты крена, рыскания и тангажа, а также боковая аэродинамическая сила рассчитываются и определяются при продувках в аэродинамических

трубах в связанной системе координат, а для перевода значений подъёмной силы и силы аэродинамического сопротивления в нормальную и продольную силы легко применить известные из курса аэродинамики аналитические выражения.

Согласно теоремам динамики [4], изменение по времени главного вектора количества движения системы Q равно главному вектору внешних сил Р, приложенных к системе, а изменение по времени главного вектора момента количеств движения (кинетического момента) К равно главному вектору момента МР от внешних сил:

Так как выражения (1) справедливы в инерциальной системе отсчёта, то главные векторы количества движения и момента количества движения будем рассматривать в нормальной земной системе координат О0. Выражение для главного вектора количества движения выглядит следующим образом:

где mi — элементарная масса, а — — вектор абсолютной скорости элементарной массы.

Так как предполагается, что самолёт является абсолютно твёрдым телом с постоянной массой, то справедливо следующее выражение:

тЩ- — Я + О + ЯшаССи, (3)

где У — вектор абсолютной скорости центра масс самолёта с грузом, а т — суммарная масса самолёта и груза; Я — результирующая сила, складывающаяся из аэродинамических сил и тяги силовой установки; О — вес самолёта вместе с грузом; Яшасси — результирующая сила, действующая на самолёт от шасси при их контакте с поверхностью

земли (палубы корабля). В последующих рассуждениях будем рассматривать динамику движения самолёта, находящегося в воздухе, а следовательно принимать = 0.

Согласно правилу сложения скоростей абсолютная скорость центра масс самолёта с грузом равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Под переносной скоростью будем понимать скорость перемещения связанной системы координат OXYZ с началом в центре масс самолёта без груза относительно неподвижной земной системы координат O0XgYgZg. При этом очевидно, что начало фактической связанной системы координат ОгXzYzZz размещено на некотором удалении от начала системы OXYZ , характеризуемом вектором Гг. Величина этого вектора определяется выражением

в котором r — вектор, характеризующий положение груза массой тг в системе координат OXYZ ; g — вектор ускорения свободного падения.

Оси рассмотренных связанных систем координат являются параллельными. Под относительной скоростью будем понимать скорость перемещения центра масс самолёта с грузом относительно системы координат OXYZ . В случае, если центр масс самолёта не меняет своего положения на самолёте (Гг = const), то относительная скорость отсутствует. В противном случае, например при перемещении груза по грузовой кабине военно-транспортного самолёта, это допущение недопустимо. Далее будет рассматриваться случай Гг = const, характерный для манёвренных самолётов с несимметричным и

фиксированным размещение грузов на внешних подкрыльевых узлах подвески. Для такого случая можно записать, что

В этом выражении первое слагаемое характеризует скорость начала O подвижной системы координат OXYZ относительно неподвижной O0XgYgZg, а второе — вращение

центра масс самолёта с грузом Oz совместно с подвижной системой координат OXYZ с

угловой скоростью G) .

Продифференцируем обе части выражения (5) и подставим результат в выражение (3):

dv dV — — da — — dr,

— =—лa хVь—хгг + ах —- . (6)

В правой части приведённого выражения первое слагаемое представляет собой производную вектора V в предположении о неизменности направления ортов системы координат OXYZ , второе слагаемое является векторным произведением угловой скорости вращения связанной системы координат OXYZ и скорости V . Третий и четвёртый члены характеризуют соответственно вращательную и осестремительную составляющие ускорения при вращении самолёта.

запишем в окончательном виде следующее векторное уравнение, служащее основой для формирования системы для расчёта производных компонентов скорости самолёта:

йУ — — йС — — ,- -ч —+ С X У л—х г + юх(сох г )

Выражение для главного вектора момента количества движения применительно к самолёту с грузом выглядит следующим образом:

йК — р. _ —л с х К + тг х

= Мк + Гг х О + Мир + Мреакт .

В представленном выражении приведены следующие обозначения: МЯ — результирующий момент, складывающийся из момента от аэродинамических сил и тяги силовой установки; Мир и Мреакт — гироскопический и реактивный моменты, создаваемые роторами двигателей силовой установки. Реактивный момент появляется только при изменении скоростей вращения роторов силовой установки, что маловероятно на установившихся режимах её работы. Случаи отказов двигателей в многомоторных силовых установках, приводящих к изменению суммарного реактивного момента, в статье не рассматриваются. Их учёт требует анализа программ управления двигателями и динамических свойств их роторов, что, очевидно, является самостоятельной и весьма сложной задачей. Гироскопический момент может существенно изменить значения кинематических параметров движения в зависимости от направления вращения самолёта, что легко проследить из выражения

в котором 1дв и Сдв — момент инерции и вектор угловой скорости вращения ротора двигателя. Так как ротор двигателя является телом осесимметричным и, чаще всего, ось его вращения параллельна оси ОХ связанной системы координат, то можно полагать, что

1СС ; М*ир = 1 двССу .

Подставляя в уравнение (9) выражение для скорости (5) и выполняя ряд преобразований, получаем более удобное для практического использования векторное уравнение для главного момента:

— X Гг |-тГг х[ах(ах гг )] = Мк — гг х Я + Мгир.

Используя известное из теоретической механики понятие тензора инерции / , запишем, что К = / -а и тогда уравнение (12) преобразуется к следующему виду:

йа + ах 1/1 -а+ тгг х| ‘йахтг |-ттг хГа х(а хгг)

| = МЯ -гг хЯ + М , (13) йг ^ йг )

которое, совместно с выражением (7), и будет использоваться в дальнейшем для создания системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику пространственного движения самолёта с произвольным тензором инерции и положением центра масс.

Для дальнейших рассуждений представляется целесообразным изложить выражения, связывающие вектор гг с массами и положением на самолёте различных грузов.

Так, в (4) применён вектор г , характеризующий положение одного груза массой тг в системе координат 0ХУ2. В том же случае, если на самолёте имеется несколько грузов, суммарная масса которых определяется как У т<, а их положение - координатами хг, у<, , то тогда следует полагать, что

— — — г У тх г = гг + ]г + кг ; г =

Представим векторные уравнения (7) и (13) в проекциях на оси связанной системы координат 0ХХХ. В методическом плане полезным представляется решать задачу для каждого из слагаемых этих уравнений, что и будет проделано в дальнейшем. Для слагаемых уравнения (7) получаем следующие выражения:

йУ г йУ_ йУу кй¥г ■ + к’

ах V = Г ( — а2Гу ) + ] (агУх — ахУг) + к <ахУу - ауУх);