Применение дифференциальных уравнений в биологии задачи

Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2011 в 15:48, реферат

Краткое описание

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

Содержание

Введение
1. Биологические и медицинские понятия
1.1. Понятие популяции.
1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.
1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.
2. Дифференциальные уравнения.
2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.
2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.
2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.
Задачи
Заключение
Список литературы.

Прикрепленные файлы: 1 файл

реферат по математике дифференциальные уравнения в биологии и медицине.docx

«Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: Динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии».

1. Биологические и медицинские понятия

1.1. Понятие популяции.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Математические методы всегда являлись важным инструментом при исследовании вопросов медицинского и биологического характера. Есть множество математических способов позволяющих описать те или биологические процессы. Один из них решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения используются не только в биологии и медицине, но и многих других науках, таких как физика, экономика, техника. С их помощью описываются практически любые задачи динамики машин и механизмов.

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

1. Биологические и медицинские понятия.

1.1 Понятие популяция.

Популяция это совокупность особей одного вида, занимающих определенный ареал, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющих общее происхождение, генетическую основу и в той или иной степени изолированная от других популяций данного вида.

Динамика численности особей и механизмы ее регулирования являются одними из важнейших свойств популяции. Всякое значительное отклонение численности особей от оптимальной связано с отрицательными последствиями для ее существования. В связи с этим популяции обычно имеют адаптационные механизмы, способствующие как снижению численности, если она значительно превышает оптимальную, так и ее восстановлению, если она уменьшается ниже оптимальных значений.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

В целом можно выделить две динамики популяций: независимую от плотности (численности) ее особей и зависимую от плотности.

Независимый от плотности тип изменения численности обусловливается в основном абиотическими факторами (погодные явления, наличие пищи, различного рода катастрофы и т.п.). Эти факторы могут обеспечивать условия как для неограниченного, хотя и кратковременного, роста популяций, так и для снижения их численности до нуля. Группы этих факторов обычно называют модифицирующими.

Зависимая от плотности динамика популяций зависит от биотических факторов. Их называют регулирующими. Они «работают» по принципу обратной отрицательной связи: чем значительнее численность, тем сильнее срабатывают механизмы, обусловливающие ее снижение, и, наоборот – при низкой численности сила этих механизмов ослабевает, и создаются условия для более полной реализации биотического потенциала. Факторы такого типа лежат в основе популяционного гомеостаза, обеспечивающего поддержание численности в определенных границах значений.

К числу регулирующих факторов относится, в частности, взаимоотношение организмов типа хищник – жертва. Высокая численность жертвы создает условия (пищевые) для размножения хищника. Последний, в свою очередь, увеличив численность, снижает количество жертвы. Также к регулирующим факторам можно отнести инфекционные заболевания и эпидемии. При большой численности популяции они быстро распространяются и также способствуют снижению численности, оставляя после себя самых приспособленных.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

Инфекционные заболевания — это группа заболеваний, вызываемых проникновением в организм патогенных (болезнетворных) микроорганизмов

Эпидемия — широкое распространение какого-либо инфекционного заболевания . Эпидемический процесс заключается в непрерывной передаче возбудителя инфекции в коллективе. Для возникновения эпидемического процесса необходимы три фактора (или условия):

• источник возбудителя инфекционного процесса
• механизмы его передачи
• восприимчивые к заболеванию люди.

Существует 2 способа изучения эпидемий. Изучение больших групп и изучение малых групп. Теория больших групп занимается общим исследованием характера возникновения эпидемий в целом сообществе или в больших популяциях и рассматривает довольно упрощенные модели распространения эпидемий в весьма упрощенной форме. Основное значение этих исследований состоит в том, что они связаны с работой органов общественного здравоохранения. Теорию малых групп можно разработать более детально. Она позволяет не только составлять общие прогнозы возможного развития той или иной эпидемии среди группы школьников или в семье, но и получать информацию по вопросам, имеющим конкретное клиническое или биологическое значение (например, продолжительность заразного или латентного периода).

2. Дифференциальные уравнения.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

Дифференциальные уравнение для функции x (t) это уравнение содержащее производные x (t) по времени t. Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

Примеры дифференциальных уравнений:

Простейшие модели роста популяции можно выразить с помощью линейных дифференциальных уравнений первого порядка. К примеру, если предположить, что необходимые популяции ресурсы находятся в изобилии, то скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. И это предположение можно выразить уравнением , где a –постоянная.

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным, если уравнения в членах, содержащих функцию х (t) и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например и.т.п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Примеры линейных уравнений:

Примеры нелинейных уравнений:

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Это уравнение называется однородным, если f(t)=0 при всех t. В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент а (t) постоянный, то уравнение (*)называют уравнением с постоянными коэффициентами.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

Одной из самых знаменитых математических моделей, описывающих биологические сообщества является модель Лотки-Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв:

x′ = –ax + cxy,

описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

Модель Лотки-Вольтерры имеет один недостаток. Она не учитывает совокупность всех факторов действующих на популяцию.

Этого недостатка лишена модель Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y ≈ +∞), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y закону Мальтуса , второй –dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

Наконец, третий компонент скорости изменения популяции жертв в модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0).

2.3.Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Дана изолированная популяция. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. Третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции, поделенному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда — скорость размножения бактерий.

По условию задачи — уравнение с разделяющимися переменными.

Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

При t=0, x=x₀ -частное решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .

Прологарифмируем последнее выражение

Окончательно получаем

Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение

,

где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.

k -коэффициент пропорциональности.

Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.

Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные

Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I_{0 ,} при x=0, найдем частное решение

Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.

Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).

Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта

Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.

Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.

, или

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.

Потенцируя последнее выражение, получаем

Находим отсюда

Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.

Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемГлеб Стрекопытов

Похожие презентации

Презентация на тему: » Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии.» — Транскрипт:

1 Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии

2 С появлением первых трудов по математике (Евклид — III в. до н. э., Фалес Милетский – VI в.до н.э.), эта наука начала широко применятся в строительстве, в торговле, а в дальнейшем с её развитием, в естественных науках, в экономике, в инженерном деле и даже в самых необычных областях, например, таких как музыка.

3 Математика в биологии Взаимодействие видов. Обычно рассматриваются хищники и жертвы.

4 Математика в биологии Модель Лотка Вольтерры имеет смысл в идеальных условиях, то есть без учета возмущающих факторов.

5 Математика в биологии

6 Система уравнений Холлинга Тэннера описывает взаимодействие двух видов (хищников и жертв). Была получена путем усовершенствования модели Лотка Вольтерры.

7 Математика в биологии Другой пример, размножение бактерий с течением времени.

8 Математика в биологии Пусть x – количество бактерий, тогда dx/dt = kx, где k – коэффициент пропорциональности.

9 Математика в биологии При C = x 0 получим Как видно, бактерии в благоприятных условиях будут размножаться по экспоненциальному закону. Это можно применять в практических целях, например, для выращивания нужных микроорганизмов.

10 Математика в биологии «Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии» Дж. Марри, «Математика в биологии и медицине» Н. Бейли, «Принцип оптимальности в биологии» Розен Р.