Применение дифференциальных уравнений в экономике курсовая

Применение дифференциальных уравнений в экономике курсовая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

По дисциплине: Высшая математика для экономистов

Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

где f — некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y();

2.Если два решения y=(x) и y=(x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

где , M(x), P(x) — некоторые функции переменной х , g(y), N(y) , Q(y) — функции переменной у.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и = . Выполняя интегрирование , приходим к решению уравнения (1.2)

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х ?0), приходим к равенству . Интегрируя, получим

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден , например , заменой =t , , 2ydy=2tdt и .

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки — нули функции f (у ), где производная у’ = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = ?(x ) (или х = ?(у)) :

Решить уравнение: . (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x(y). Полагая, что y?0 из (2.3) и (2.4), получаем и , (2.5)

откуда и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение Пусть п ? 0, n ? 1. Введем новую функцию

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n ), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x) :

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z (x ) связана с искомой функцией у (x ) соотношением (3.4).

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р , т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]] , направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]] , получим

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

Полученное дифференциальное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными . Решая его, приходим к функции y(t)=.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для можно записать в виде

и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или — 1 , то и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x 0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С . Полагая NC = D , получим равенство:

из которого определим функцию x (t ):

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической , а её график — логистической кривой .

Если теперь учесть, что х (0) = х 0 и положить х 0 = N/ ?, где ? > 0, то можно найти значение константы Е . Логистичеcкая функция примет вид:

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях ? . Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y (t ), E(t), S(t), I(t) — соответственно национальный доход[см.словарь[5]] , государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 (t ) автономное (конечное) потребление, k(t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а , b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (в) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис.4. Если в начальный момент времени Y0 то С = Y0 — Yp 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а , b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y0 > Yp , то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Yр. Уравнение (в) является автономным; точка Y = Yp представляет собой точку неустойчивого равновесия.

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ (лат. investice — облачать) — долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому инвестиции носят долгосрочный характер. [2]

2.ДОХОД — денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане — выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т.п.) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ — временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование).[4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1 %.Рассчитывается через коэффициент эластичности.[5]

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД — часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты.[8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

.Красс М.С.,Чупрынов Б.П.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

Теги: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Реферат Математика

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

Автор: Гузалия Юсупова • Июнь 12, 2018 • Курсовая работа • 8,851 Слов (36 Страниц) • 587 Просмотры

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Самарский государственный социально-педагогический университет»

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

1. Дифференциальные уравнения первого порядка……………………………..5

1.1. Общие понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка…………………………………………………………………………….5

1.2. Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными……………………………………………………………………. 7

1.3. Применение дифференциального уравнения естественного роста в экономической динамике………………………………………………………..11

1.4. Применение теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики………………………………………………………………16

1.5. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка………………………………………………………………………. 18

2. Дифференциальные уравнения второго порядка……………………………20

2.1. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………20

2.2. Примеры решения экономических задач с помощью дифференциальных уравнений………………………………………………………………………. 22

Список использованной литературы…………………………………………. 27

Актуальность настоящей работы заключается в том, что дифференциальные уравнения описывают, и тем самым позволяют исследовать, поведение различных систем в самых разных областях науки — в механике, экономике, химии, экологии, социологии и т.д . Математические соотношения, полученные в результате исследования реального явления или процесса, называются математической моделью этого явления. Если эти соотношения описывают связи между некоторой функцией и ее производными или дифференциалами, модель называется динамической. С помощью динамических моделей, как правило, описываются процессы, развивающиеся во времени. В результате построения таких моделей возникают дифференциальные уравнения, если модель непрерывна.

В современной литературе подчеркивается глубокая связь математических методов с экономическими и финансовыми задачами.

Прежде всего, это связано с тем, что в последние годы все большее значение придается переплетению математики с экономикой и другими социальными науками. Причем это проявляется не только при решении практических задач, но и в фундаментальной науке.

Еще в 1969 году первую Нобелевскую премию по экономике получили Рагнар Фриш (Норвегия) и Ян Тинберген (Нидерланды) за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов.

Первый американский Нобелевский лауреат по экономике Пол Сэмуельсон считает язык математики наиболее подходящим для современной экономической теории. В своих работах он предпринял попытку выразить важнейшие экономические категории и зависимости математическим образом. По мнению Самуэльсона, именно математический метод исследования позволяет сделать экономику наукой. Активно использовали в своих работах математический аппарат такие известные экономисты, как В. Леонтьев, К. Эрроу, Дж. Харсаний и Дж. Нэш. Широкое применение получило эконометрическое моделирование, благодаря которому были построены модели не только отраслей или сфер экономики, но и национальных экономик отдельных стран и мировой экономики. Здесь приоритет принадлежит Л. Клейну, хотя моделирование активно применяли и другие ученые: Ж. Дебре, Р. Солоу, Г. Марковиц, М. Миллер, У. Шарп. Нобелевской премии по экономике был удостоен в 1975 году и советский математик Л. Канторович.

Читать контрольная по менеджменту: «Использование дифференциальных уравнений в экономике» Страница 1

Введение Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими моделями являются: модель Эванса — установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».

В модели Эванса рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) — спрос, предложение и цена соответственно этому товару на момент времени t.

Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a,b>0 — спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=α+βp,α,β>0 — предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а> α, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение.

Модель Солоу рассматривает экономику как единое целое (без структурных подразделений).

Эта модель достаточно адекватно отображает самые важные макроэкономические аспекты процесса производства.

Актуальность контрольной работы заключается в том, чтобы рассмотреть использование дифференциальных уравнений в экономике.

Целью данной курсовой работы является обеспечить наибольшую эффективность усвоения методов использования дифференциальных уравнений в экономике, изучить экономические модели (модель Золотаса, модель Реденура, моедль Самуэльсона, модель Солоу).

В соответствие с целью курсовой работы поставлены следующие задачи:

. Найти и изучить литературу по данной теме;

. Накопить и систематизировать полученную информацию по теме;

. Обобщение полученных знаний;

. Использование дифференциальных уравнений в различных экономических моделях.

1. Экономическая мозаика (обзор наиболее известных простых моделей) 1.1 Рост общественного благосостояния (модель Золотаса) Крупнейший греческий экономист К. Золотас высказал гипотезу , согласно которой производство большего количества товаров необязательно ведет к лучшей жизни.Он рассматривает два фактора: один — стимулирующий развитие, другой — сдерживающий. Пустьуровень общественного благосостояния в целом. Есликритическая точка, то сдерживающим фактором будет а стимулирующим При таком подходе динамикаопределяется уравнением

гдедоход на душу населения.

Интегрирование уравнения (1) приводит к решению

Которое является уравнением логической кривой. Золотас выделяет три стадии развития общества: 1˗ «общество нужды»; 2 ˗˗ «общество постоянных улучшений»; 3- «общество снижающихся темпов роста благосостояния», на котором постоянные PиQопределяют некоторые (разделительные уровни доходов).

1.2 Динамика потребителей (Модель Реденура) Для изменения числа потребителей Lв этой модели принято уравнение

гдеверхний предел потребителей. Нетрудно видеть, что его решение определяется формулой

Здесь снова наблюдаю замедление роста (в данном случае числа потребителей некоторой технологии) с течением времени.

2. Теория фирмы (производство, рынок) .1 Интенсивность выпуска продукции Пусть для некоторого предприятия