Применение дифференциальных уравнений в естествознании

Использование дифференциальных уравнений в естествознании
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

В презентации представлены отрасли естествознания, где можно использовать дифуры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Использование дифференциальных уравнений в естествознании. Цель работы : изучить линейные дифференциальные уравнения показательного роста и гармонических колебаний в естествознании. Задачи : — применение уравнений для изучения радиоактивного распада;

Уравнение показательного роста. Уравнение показательного роста имеет следующий смысл: для каждого значения аргумента скорость изменения функции пропорциональна значению этой функции. При решении задач надо сначала составить дифференциальное уравнение, указать (исходя из условий задачи) начальное условие, а затем решить уравнение. При составлении уравнения обычно используют известные из курсов химии и физики законы.

З а д а ч а. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 км/ч. На полном ходу её мотор выключен; через 4 с.её скорость стала 1 м/с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определить, через сколько секунд после выключения мотора скорость уменьшится до 4 см/с. Р е ш е н и е. Будем считать, что лодка движется прямолинейно. Направим ось Ох вдоль движения лодки. Обозначим через скорость движения лодки в момент времени после выключения мотора. В момент выключения мотора скорость, по условию, равна 5 м/с, т.е. Это начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. По условию, на движущуюся лодку действует сила , где (знак минус указывает на то, что сила воды направлена против скорости движения лодки). Подставив значение в уравнение и положив , получим дифференциальное уравнение

Радиоактивный распад . Из физики известно, что количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени, составляет постоянную часть от количества нераспавшихся атомов. Для каждого вида радиоактивного вещества эта постоянная часть своя, она называется постоянной распада и обозначается через λ. Другими словами: скорость распада атомов радиоактивного вещества пропорциональна наличному количеству нераспавшихся атомов. Так с течением времени количество нераспавшихся атомов уменьшается, то и производная отрицательна. Учитывая связь между числом ядер и массой радиоактивного вещества, будем говорить просто о распаде радиоактивного вещества.

Поглощение света. При прохождении света через воду (или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды перпендикулярно к ней падает свет с интенсивностью. Производная –скорость поглощения света на глубине . Из оптики известно, что для таких сред как вода или стекло, скорость поглощения света на глубине пропорциональна интенсивности света на этой глубине. Так как интенсивность света с увеличением глубины уменьшается, то производная отрицательна.

З а д а ч а. Десятиметровый слой воды поглощает 40% падающего на её поверхность света. На какой глубине дневной свет будет по яркости таким же, как лунный свет на поверхности воды, если яркость лунного света составляет яркости дневного света?

Концентрация раствора. Зада ч а. Имеется сосуд ёмкостью л, наполненный водным раствором соли. В сосуд вливается вода со скоростью л в минуту, перемешивается, и получающийся раствор однородной концентрации вытекает из с сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет содержаться в растворе в момент времени , если в начальный момент её было в растворе кг? Вычислить ответ, если 100 л, 3 л в мин , 1 ч.

Охлаждение тела . Нагретое тело, погружённое в среду с более низкой температурой, будет охлаждаться, при этом скорость охлаждения с течением времени уменьшается. Как известно, скорость охлаждения поверхности тела в любой её точке пропорциональна разности температур поверхности тела и окружающей среды. З а д а ч а. Металлическая деталь, нагретая до , охлаждается в воздухе при температуре . Через 10 мин после начала охлаждения температура на поверхности детали понизилась до . Какой будет температура на поверхности детали через 20 мин?

Простейшие электрические цепи. Если в замкнутую электрическую цепь последовательно включены источник тока с электродвижущей силой (э.д.с.) В, активное сопротивление Ом, катушка с индуктивностью Г и конденсатор ёмкости Ф , то, как известно из электротехники, между э.д.с и напряжениями на активном сопротивлении , катушке индуктивности в конденсаторе в любой момент времени с уществует такая зависимость:

Падение тел. При падении тел в пустоте движения происходит прямолинейно под действием силы тяжести. При падении тел в воздухе движение можно также считать прямолинейным, происходящем под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, направленной вверх.

Колебательный контур. Колебательным контуром называют электрическую цепь, которая состоит из конденсатора и катушки, присоединённой к обкладкам конденсатора. Если конденсатор присоединить к батарее, то его пластины получат некоторый заряд и на его обкладках возникает разность потенциалов. После присоединения заряженного таким образом конденсатора к катушке он начнёт разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Однако сила тока благодаря явлению самоиндукции будет увеличиваться постепенно. И достигнет своего наибольшего значения, когда конденсатор полностью разрядится. При этом в силу явления самоиндукции ток исчезнет не сразу. Постепенное уменьшение силы тока вызовет перезарядку обкладок конденсатора. Когда ток исчезнет, обкладки конденсатора окажутся презаряженными, система вернётся в исходное состояние и процесс пойдёт в обратном направлении. Возникнут электрические колебания.

Заключение. В своей работе я исследовала качественно различные физические явления, при исследовании которых приходится решать аналогичные дифференциальные уравнения первого или второго порядка. Это обстоятельство имеет не только философское значение, подтверждая единство природы, и не только естественнонаучное значение, подчёркивая силу математических методов в естествознании. Оно имеет и большое практическое значение. Аналогичность дифференциальных уравнений, относящихся к различным явлениям жизни, привела к важному методу решения практических задач — методу математического моделирования . Дифференциальное уравнение, возникшее при рассмотрении какой-нибудь технической задачи, моделируют , например, электрическим прибором, т.е. конструируют такой электроприбор, работа которого описывается тем же дифференциальным уравнением, что и технический объект.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дифференциальные уравнения

В презентации помещены основные справочные материалы для изучения темы «Дифференциальные уравнения» (на украинском языке).

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши»

Конспект урока по теме » обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши». Предлагается методика введения нового материала, а также метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переме.

разработка факультатива по теме «Дифференциальный уравнения первого порядка»

в данном материале дан развернутый материал, который поможет преподавателю Алгебры и начала анализа.

Презентация «Дифференциальные уравнения»

Презентация «Дифференциальные уравнения».

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений является разделом курса «Математика», предусмотренным государственными образовательными стандартами подготовки специалистов и бакалавров. Важность этого.

Дифференциальные уравнения и их приложения

Программа элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения» образовательной области «Математика» ориентирована на обучающихся старшей школы. Курс может рассматриваться в группах с.

Методическая разработка «Численное решение дифференциальных уравнений методом ломаных Эйлера с использованием редактора электронных таблиц MS Excel»

Большинство физических, химических, экономических и прочих процессов описываются дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений. Возникает необходимость получения результатов и.

Урок-конференция «Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания»

Разделы: Математика

Учебные:

Развивающие:

Воспитательные:

Тип занятия: обобщение и закрепление материала с элементами усвоения новых знаний.

Вид занятия: урок-конференция.

Межпредметные связи: физика, электротехника, биология, экономика.

Обеспечение занятия: компьютер, мультимедийный проектор, программы Mathcad и PowerPoint.

При подготовке к уроку-конференции студентам были определены темы выступлений и рекомендована литература. Выступающие должны были изучить материал и подготовить презентации.

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности

Преподаватель сообщает студентам тему и цели урока.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

Преподаватель повторяет, с использованием мультимедиа-презентации, такие понятия как: естествознание, математическая модель, дифференциальное уравнение и алгоритм решения простейшего дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. .

Под руководством преподавателя студенты начинают заполнение таблицы, в которую они будут заносить наиболее важные сведения из предстоящих выступлений своих товарищей. .

Окончательный вид таблицы представлен в .

3. Ознакомление с новым материалом

Распределение температуры внутри ограждающей поверхности .
• Охлаждение тел .
• Эффективность рекламы .
• Нагрев тел .
• Потеря заряда проводником .
• Радиоактивный распад .
• Рост денежных вкладов .
• Количество населения на определённую дату .
• Истощение ресурсов .

В конце каждого выступления студенты имеют возможность задать вопросы выступающему и заполняют таблицу. Преподаватель акцентирует внимание студентов на наиболее важных выводах и отмечает то, что различные по своей природе процессы описываются похожими дифференциальными уравнениями, что говорит об универсальности математического описания объектов реального мира.

4. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения

По результатам конференции студенты заполняют таблицу .

5. Подведение итогов урока

Пономарёв К.К. Составление дифференциальных уравнений. Минск, Вышейшая школа, 1973.

Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.

Дифференциальные уравнения в естествознании

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Дифференциальные уравнения в естествознании

«Великая книга природы написана на языке математики»

Тема «Дифференциальные уравнения» — составляет один из основных разделов высшей математики, через который она реализует себя в решении практических задачах. Эта тема является очень значимой для получения естественно – научного образования. Для создания представлений о науке математики, как о необходимой для освоения каждым человеком, а также понимания важности этой науки для дальнейшего развития технического и общественного прогресса.

Выдающийся математик современности А.Н. Колмогоров писал «Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой».
Для изучения достаточно многих химических, физических ,биологических технических и экономических явлений учёным удалось составить дифференциальные уравнения того или иного процесса, т.е. перевести реальную задачу на язык математики , не теряя при этом основных свойств оригинала. В дальнейшем, решая эти уравнение, выводится функциональный закон описания изучаемой темы.

Дифференциальные уравнения играют огромную роль и в описании множества природных явлений. Они уникальные по содержанию и универсальные по применению в познания мира, повышая достоверность получаемых результатов.

Решение первых задач, приводящим к дифференциальным уравнениям, встречаются уде в 17 веке. К ним относится исследование Р. Декарта плоской кривой с применением свойств касательной, создание Дж. Неппером логарифмической таблицы.

Математические модели позволяют установить любые характеристики состояния процесса, качественные и количественные .

Например, скорость размножения бактерий, процесс самоиндукции, текущий в катушке после выключения постоянного напряжения, разность давлений при подъеме над уровнем моря.

С помощью дифференциальных уравнений можно вычислить движение планет солнечной системы вокруг Солнца. Решая такие , довольно сложные дифференциальные уравнения ( т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые могут достаточно точно предсказать моменты лунного и солнечного затмений.

И так мы убедились, что различных областях человеческой деятельности есть задачи, решение которых сводится с к дифференциальным уравнениям. Вот как можно описать методику их решения. При изучении какого-нибудь процесса нас всегда интересует изменение характеристик этого явление во времени, то есть некоторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Имея достаточное количество сведений о протекании этого процесса, мы сумеем построить его математическую модель. Получая информацию из экспериментальных данных или научных законов можно получить данные о скорости изменения любой величины у = у(t) в зависимости от времени t, то есть от производной . Далее можно записать полученную информацию в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией у = у(t). Это уравнение и описывает наш изучаемый процесс с точки зрения его характеристики у . Решив его мы находим все возможные варианты изменения величины у .

Как показывает опыт развития различных наук, многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к решению одинаковых дифференциальных уравнений. Допустим, решение какой-то задачи сводится к дифференциальному уравнению, способы решения которого мы знаем, тогда задачу можно считать решённой. Творческий этап решения данной задачи состоит в составление дифференциального уравнения, следующий же этап – решений уравнения – имеет чисто техническую задачу.

Чем выше над уровнем моря, тем становится разряжённее воздух , т.е. атмосферное давление уменьшается с высотой . Определить зависимость давления от высоты h. (p = p(h))

Решение задачи приводит к дифференциальному уравнению

где ρ(h) – плотность воздуха на высоте h; g – ускорение свободного падения.

А вот пример радиоактивного распада : скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление как функция высоты над уровнем моря и масса радиоактивного вещества как функция времени удовлетворяют уравнению

Эти примеры наглядно демонстрируют, что одно и то же дифференциальное уравнение может быть математической моделью совершенно различных природных процессов.

Итак, мы видим, что в изучении теории дифференциальных уравнений математика, конечно прежде всего, связана с другими разделами математики, но также выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание любых закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

1. Половинкина Ю.С . методичка «Приложения дифференциальных уравнений»:Архангельск,2007.

2.Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В кн. – М.: ООО «Издательство Новая волна», 2004.

3.Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2004.

4.Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.