Применение графиков в решении уравнений

Реферат на тему Графическое решение уравнений и неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: « Графическое решение уравнений и неравенств »

1 Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.

Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества

Содержание

1 Сравнение аналитического и графического способа решения уравнений и неравенств

-. Применение графиков в решении квадратного уравнения

— Применение графиков в решении неравенств

2 Системы уравнений и неравенств

3 Тригонометрические уравнения

4 Решение уравнений и неравенств содержащие модули

5 Графический способ решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

7 Список литературы

Одним из эффективных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является графический метод. Однако внимания этому методу в практике обучения уделяется немного. Это связано с тем, что построение графиков функций − трудоемкий процесс, требующий много времени. В учебно-методических комплексах решение уравнений и неравенств с помощью графического представления функций практически не рассматривается, исключение составляют лишь учебно-методические комплексы А.Г.Мордковича

Графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений и неравенств, например, с параметром, решение которых аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям

1 Сравнение аналитического и графического способа решения уравнений и неравенств

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x 2 +px+q=0;

Перепишем его так:x 2 =-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x 2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия.. Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения

Пример 1 Решить квадратное уравнение

— х 2 + 3х:-4 = 0 и соответствующие ему неравенства: — х 2 + 3х — 4 > 0 и

Решение./. Алгебраический метод

— х 2 + Зх — 4 = 0, здесь а = -1, Ь = 3, с = — 4, тогда дискриминант этого уравнения равен: D = Ь 2 — 4 ас = — 7. Так как D

II. Графический метод

Построим график функции у = — х 2 + Зх — 4. Найдем сначала координаты вершины параболы.

а = -1 (а 0, значит, ветви параболы направлены вниз),

Хо=1.5 -,у =- 1.75. Значит, вершиной параболы является точка ( 1.5; —1.75), а

осью параболы – прямая х=1.5

Так же, как и в предыдущих примерах, выполняем построение графика, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (рис. 8).

Как видно из рисунка, парабола не пересекает ось ОХ , значит, данное уравнение -х 2 + 3х — 4 = 0 не имеет корней.

Решаем с помощью графика соответствующие неравенства:

Графически решить уравнение:

графики функций (Рис. 1).

Графиком функции является парабола, проходящая через точки

График функции – прямая, построим её по таблице.

Графики пересекаются в точке Других точек пересечения нет.

Ответ:

2 Графическое решение системы уравнений и неравенств

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны

Пример . Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1

Построим график функции Это ломаная

Повместим оба графика в одну систему координат

Получаем три точки пересечения – т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Ответ:

Пример Найти графически решения системы неравенств:

Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2 y – 2 = 0

y – x – 1 = 0 Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2

3 Графическое решение тригонометрических уравнений и неравенств :

Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:

Ответ х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,гдеkЄZ

Решить неравенство sin x>-1/2.

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2].

Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].

Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает

Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке

[-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6) В силу периодичности функции sin x с периодом 2π.

4 Решение неравенств и уравнений с модулем

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль

Решить неравенство |x-1|+|x+1|

Построим графики функций:y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)

Задачи с параметрами

Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях по математике проверяется умение мыслить сжато, логично и аргументировано

5 Графический способ решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

Пример . При каких a неравенство выполняется для всех ?

Решение: . Рассмотрим две функции

Построим эскизы графиков функций:

Следовательно, при a =4+2 y=1- a x – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы

Ответ

Графический метод позволил значительно сократить время, затраченное учащимися на выполнение задания.

решавшая задания аналитически, в ходе решения тратили гораздо больше времени на описание хода решения, рассмотрение различных случаев .

Графическое решение позволяет гораздо быстрее и изящнее получить решение задачи

При этом формируется геометрическое мышление, то есть развивается умение оперировать различными геометрическими образами .

7 Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 .

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа — Пресс”. Москва 1986 г.

Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся

Разделы: Математика

Графический метод обладает рядом преимуществ:

• он часто проще аналитического;
• обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
• он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.

Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.

Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.

В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:

• решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
• находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х 2 , у=х 3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

— постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х 2 ; у=4; б) у=х 2 ; у=2х.

— изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 — х| = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.

— Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться

а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

— Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х 2 ). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х 3 — х + 1 = 0; х 3 + 2х — 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.

На рисунке изображён график одной их функций . Какой именно?

— Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

— Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х 3 получить графики функций у = — х 3 ; у = (х-3) 3 ; у = х 3 + 4.

б) из графика функции у = получить графики функций у = — ;

— Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| — 3, у = 4 — | х|; у =|х +4|; у = | х — 3|.

При построении параболы вводим первые преобразования:

— построить графики функций у = х 2 +3; у=х 2 -5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2) 2 ; у = (х-1) 2 . Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8-м классе: Урок-практикум.

Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»

Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.

I. Фронтально

1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций

2). Решить уравнения

II. Построить графики функций

III. Решение уравнений

X 2 -3 =

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х 2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х 2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х 2 -2) 2 — (х 2 -1) 2 ;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.

Применение графиков в решении уравнений

Применение графиков в решении уравнений.

I) Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость — линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3 -2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2 4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Решить неравенство|х-а|+|х+а| 0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Очевидно, что при b 2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2 2|a|, то x €(-b/2;b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.

Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2 sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2 sin(7π/6)=-1/2, т. е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x 0.

Решение. Запишем неравенство в виде у> — х. Построим прямую у= — х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства ( на рисунке 11 – заштрихованная область).

Пример 2. Решить графически неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде у 0,

Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости (рисунок 13), которые лежат вне окружности х+у=4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.

Решением системы являются координаты точек, которые лежат в заштрихованной области.

IV) Неравенства с целой частью функции: