Применение неравенств к решению уравнений

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .

• Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a .

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые .

Если знак неравенства строгий ,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий ,
при нанесении на ось x нули числителя жирные .

1. Расставить знаки на интервалах.

1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x .

1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x .

1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x .

1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

Решаем методом интервалов.

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Статья на тему «Решение уравнений и неравенств».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

ИКСАНОВА А. Ш., 2015 (РОССИЯ, ЯНАО, Г. НОВЫЙ УРЕНГОЙ)

SOLUTION OF EQUATIONS AND INEQUALITIES USING PROPERTIES

OF MATHEMATICS in UPPER SECONDARY SCHOOL

IKSANOVA A. H., 2015 (YAMAL-NENETS AUTONOMOUS DISTRICT, RUSSIA, NEW URENGOY)

Содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. На старшей ступени общего образования особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника.

School of mathematics content does not comply with the requirements arising under modern conditions. One of the means of implementation of program requirements and solutions to existing problems is to move the school to the professional training and the introduction of elective courses. Upper secondary general education on «the special role of the profile of learning is the electic courses that relate to the satisfaction of the individual educational interests, needs and preferences of each student.

В настоящее время программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира [6]. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объем знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращается. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [3] особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Мотивами для выбора элективного курса у учеников могут быть следующие:

— подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

— поддержка изучения базового курса математики;

В элективные курсы преподаватель может включить материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Он составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы. Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т.д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств [5]. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

— Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

— Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

— Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений, неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов остается в стороне, но в ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на элективные курсы по выбору.

«Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы» актуальна, так как процесс обучение необходимо продолжить в элективных курсах.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].

Пример 1. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 2. Решить неравенство

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств .

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [4], [7]:

Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x ₀ – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f( x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части — убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x ₀ – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [1], [2], [7]:

1) пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;

2) если множество M совпадает с R , то уравнения и равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

3) уравнение равносильно системе (При условии, что );

4) для любого натурального числа 2 m уравнение равносильно системе .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

Пример 5. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f( x)= ,где f( x) и — элементарные функции, определенные на множествах X ₁ и X ₂ . Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X ₁ ∩ X ₂ . Если множество A пустое ( A= ), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠ .

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y ₁ и Y ₂ . Если x ₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x ₁ )= , где f( x ₁ ) – значение функции f( x) при x= x ₁ , а значение функции при x= x _1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f( x) и имеют общие элементы ( Y ₁ ∩ Y ₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y ₁ и Y ₂ не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y ₁ ∩ Y ₂ ≠ , еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].

Пусть дано неравенство f( x)≤ ,где f( x) и — элементарные функции, определенные на множествах X ₁ и X ₂ , причем X ₁ ∩ X ₂ ≠ . Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y ₁ и Y ₂ . Если промежуток является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f( a)≤ , где f( a) – значение функции f( x) при x= a , а значение функции при x= a _. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f( x) и имеют общие элементы ( Y ₁ ∩ Y ₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y ₁ и Y ₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F ( x )=0, F ( x )>0 ( F ( x ) F ( x ) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

1. Чтобы решить уравнение F ( x )=0, где F ( x ) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x =0, если это значение входит в область определения F ( x ). Для четной функции значение x =0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

2. Чтобы решить неравенство F ( x )>0 ( F ( x ) F ( x ) – четная функция, достаточно найти решения для x ≥0 (или x≤ 0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток ( x ₁ , x ₂ ), где x ₁ , x ₂ – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( x ₂ , x ₁ ).

3. Чтобы решить неравенство F ( x )>0 ( F ( x ) F ( x ) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x >0 (или x F ( x ) для любого x ≥0 ( x≤ 0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F ( x )≥0 ( F ( x )≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F ( x )>0 ( F ( x ) x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F ( x ) для x >0 (или x 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x x> 0).

Если функция F ( x ) – периодическая, то решение уравнения F ( x )=0 или неравенства F ( x )>0 ( F ( x )

Вывод. Анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

В ведение элективных курсов предоставит учащимся возможность, комбинируя их с базовыми и профильными предметами, выстроить индивидуальный маршрут получения полного среднего образования. Это позволит школьникам к окончанию учебного заведения выйти с разным уровнем подготовки как минимальным, так и максимально возможным.

В соответствии с изложенными целями, задачами, типами и требованиями к элективным курсам мною будет разработан элективный курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».

Умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся выбирать наиболее рациональный способ решения.

1. Алгебра и начала анализа 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / С. М. Никольский [и др.]. М.: Просвещение.-2003. – 448с.

2.Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.

3.Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. – № 5.

4.Лященко, Е. И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы [Текст]: книга для учителя / Е. И. Лященко. – Минск.: Народная асвета,1970. – 175 с.

5.Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учебное пособие / А. Я. Блох, В. А. Гусев [и др.]; сост. В. И. Мишин. – М.:Просвещение,1987. – 416 с.

6.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы [Текст] / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. — М.: Дрофа.-2004. – 320 c.

7.Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. – М.: Дрофа, 2004. – 192 с.

8.Шунда, Н. Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств [Текст] / Н. Н. Шунда //Математика в школе. – 1970. №3. – с. 61-64.

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
2. Провести опрос
3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
5. Создать тренажёр
6. Апробировать продукт
7. Провести опрос об эффективности продукта
8. Собрать статистику
9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

• Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

• Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
• Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
• Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
• Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

• Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
• Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

• Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
• Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
• Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

• Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
• Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
• По графику определить решение уравнения/неравенства.
• Доказать справедливость ответа.

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

• Методом подбора определить корень уравнения.
• Найти ОДЗ уравнения.
• Привести многочлен к стандартному виду.
• Определить остальные корни уравнения.

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

• Понятный и удобный интерфейс сайта
• Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
• Наличие мобильной версии
• Возможность использования русского языка
• Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
• Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
• В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям: