Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
- Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
- Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Определение 3
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k = t g α = B C A C = f ( x B ) — f x A x B — x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) — это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A или k = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A · x — x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B · x — x B + f ( x B ) .
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.
Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .
Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) — f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) .
Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у — k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = — 1 , f ( x 0 ) = — 3 .
Необходимо найти производную в точке со значением — 1 . Получаем, что
y ‘ = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ — 6 — 3 3 x ‘ — 17 — 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 — 6 — 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( — 1 ) = e — 1 + 1 + — 1 2 — 6 — 3 3 = 3 3
Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) — 3 y = 3 3 x — 9 — 3 3
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x — 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y ‘ = 3 · x — 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x — 1 ) 1 5 — 1 = 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5
Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 — 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( — 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .
Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 — 4 5 x 2 — 16 5 x — 26 5 + 3 x + 2 , где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно о х ;
- Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ — ∞ ; 2 и [ — 2 ; + ∞ ) . Получаем, что
y = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y ‘ = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ — 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ — ∞ ; — 2 1 5 x 2 — 4 x + 3 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )
Когда х = — 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
lim x → — 2 — 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 — 0 — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = — 1 5 ( — 2 ) 2 + 12 ( — 2 ) + 35 = — 3 lim x → — 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 + 0 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 1 5 — 2 2 — 4 — 2 + 3 = 3
Вычисляем значение функции в точке х = — 2 , где получаем, что
- y ( — 2 ) = 1 15 — 2 + 2 3 — 4 5 ( — 2 ) 2 — 16 5 ( — 2 ) — 26 5 + 3 — 2 + 2 = — 2 , то есть касательная в точке ( — 2 ; — 2 ) не будет существовать.
- Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .
Когда x ∈ — ∞ ; — 2 , тогда — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 .
— 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 — 4 · 35 = 144 — 140 = 4 x 1 = — 12 + 4 2 = — 5 ∈ — ∞ ; — 2 x 2 = — 12 — 4 2 = — 7 ∈ — ∞ ; — 2 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 — 4 · 3 = 4 x 3 = 4 — 4 2 = 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ — 2 ; + ∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y 1 = y — 5 = 1 15 — 5 + 2 3 — 4 5 — 5 2 — 16 5 — 5 — 26 5 + 3 — 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( — 7 ) = 1 15 — 7 + 2 3 — 4 5 ( — 7 ) 2 — 16 5 — 7 — 26 5 + 3 — 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 — 4 5 · 1 2 — 16 5 · 1 — 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 — 4 5 · 3 2 — 16 5 · 3 — 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Отсюда — 5 ; 8 5 , — 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ — ∞ ; — 2 , получаем, что — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 .
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
— 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 — 4 · 43 = — 28 0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 — 4 x — 5 = 0 D = 4 2 — 4 · ( — 5 ) = 36 x 1 = 4 — 36 2 = — 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ — 2 ; + ∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y 1 = y ( — 1 ) = 1 15 — 1 + 2 3 — 4 5 ( — 1 ) 2 — 16 5 ( — 1 ) — 26 5 + 3 — 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 — 4 5 · 5 2 — 16 5 · 5 — 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Точки со значениями — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x — π 4 — 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = — 2 x + 1 2 .
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется — 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = — 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = — 2 , тогда k x = — 1 k ⊥ = — 1 — 2 = 1 2 .
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 ‘ = 3 · — sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 x 0 — π 4 ‘ = = — 3 · sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 = — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 — π 4 = — 1 9
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
3 2 x 0 — π 4 = a r c sin — 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π — a r c sin — 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 — π 4 = — a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z — множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3
y 0 = 3 · 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3
y 0 = 3 · 1 — — 1 9 2 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — — 1 9 2 — 1 3
y 0 = 4 5 — 1 3 или y 0 = — 4 5 + 1 3
Отсюда получаем, что 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 — 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; — 4 5 + 1 3 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y = 1 2 x — 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 — 1 3 , y = 1 2 x — 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk — 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ — 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = — 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x — x c e n t e r 2 + y — y c e n t e r 2 = R 2 .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.
Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r — R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r — R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r — R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r — R .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x — x c e n t e r 2 a 2 + y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y = b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = — b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x — 3 2 4 x = 2 + y — 5 2 25 = 1 1 4 + y — 5 2 25 = 1 ⇒ y — 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; — 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что
x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 y — 5 2 25 = 1 — x — 3 2 4 ( y — 5 ) 2 = 25 · 1 — x — 3 2 4 y — 5 = ± 5 · 1 — x — 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 — x — 3 2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 , а нижний y = 5 — 5 2 4 — x — 3 2 .
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; — 5 3 2 + 5 принимает вид
y ‘ = 5 — 5 2 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = — 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = — 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = — 5 2 3 ( x — 2 ) — 5 3 2 + 5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r — α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r — b , тогда задается при помощи неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = — 1 .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r
В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; — 3 3 — 3 .
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x — 3 2 — 4 и л и y + 3 = — 3 2 · x — 3 2 — 4 ⇒ y = 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3 y = — 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; — 3 3 — 3 .
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = — 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = — 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
y ‘ = — 3 2 · ( x — 3 ) 2 — 4 — 3 ‘ = — 3 2 · x — 3 ( x — 3 ) 2 — 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = — 3 2 · x 0 — 3 x 0 — 3 2 — 4 x 0 = 7 = — 3 2 · 7 — 3 7 — 3 2 — 4 = — 3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y = — 3 · x — 7 — 3 3 — 3 = — 3 · x + 4 3 — 3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .
Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c — x = 0 D = b 2 — 4 a ( c — x ) y = — b + b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a y = — b — b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x — 2 y 2 — 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
— 2 y 2 — 5 y + 3 — x = 0 D = ( — 5 ) 2 — 4 · ( — 2 ) · ( 3 — x ) = 49 — 8 x y = 5 + 49 — 8 x — 4 y = 5 — 49 — 8 x — 4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = — 1 3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y ‘ = 5 + 49 — 8 x — 4 ‘ = 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y ‘ = 5 — 49 — 8 x — 4 ‘ = — 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = — 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 — 49 — 8 · 23 4 — 4 = — 5 + 3 4
Имеем, что точки касания — 23 4 ; — 5 + 3 4 .
Ответ: уравнение касательной принимает вид
Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
Как получить уравнение касательной и уравнение нормали
Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.
Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.
В нём k — угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.
Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:
Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
в точке M (1, 1) .
Решаем задачи вместе
Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.
Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Снова решаем задачи вместе
Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции 
, если абсцисса точки касания 
.
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень (
) сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Применение производной. Уравнение касательной
Разделы: Математика
- закрепить и расширить знания по теме «Применение производной. Уравнение касательной»;
- систематизировать основные типы задач, использующие свойства касательных;
- освоить новое понятие «нормаль», научиться находить нормаль в предложенных задачах;
- формировать умение анализировать условие, выбирать соответствующий способ действия, контролировать и оценивать его выполнение, обобщать;
- развивать грамотную монологическую математическую речь, приобщать к исследовательской культуре (выдвижение гипотезы, умение ставить вопросы, обсуждение полученных результатов и применение их к новым ситуациям);
- вырабатывать умение работать с разными источниками информации;
- формировать наблюдательность, умение слушать и анализировать ответы одноклассников;
- правильно организовывать свою познавательную деятельность;
- приучать к целеполаганию и рефлексии.
УМК: «Алгебра и начала анализа, 11» С.М.Никольский и др.
Тип урока: Урок формирования умений и навыков
Характеристика класса: Класс с углубленным изучением математики или с соответствующим профилем, со сформированным навыком работы в группах, владеющий компьютером и Интернетом.
Этапы урока и их содержание
(мин.)
Взаимные приветствия учителя и учащихся; фиксация отсутствующих; проверка внешнего состояния классного помещения; проверка подготовленности учащихся к уроку; организация внимания и внутренней готовности.
2. Приветствует учащихся.
3. Мотивирует на успешную учебную деятельность.
4. Представляет ассистентов (подготовленная группа ребят 4–5 человек).
2. Записывают: число, тему урока.
Вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изучаемой темы (РОЛЬ И МЕСТО КАСАТЕЛЬНОЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИИ);
совместная постановка цели;
обсуждение хода урока.
- повторить Теорему о существовании касательной в точке.
- научиться решать задачи, встречающиеся в банке данных ЕГЭ
- заложить теоретическую и практическую опору для дальнейшего изучения темы
Стимулирует обучающихся к познавательной активности.
Помогает ученикам выражать свои мысли и мнения.
Возможность учителя за короткий промежуток времени установить уровень качества знаний большинства учащихся по данной теме и в ходе проверки домашнего задания актуализировать, скорректировать опорные понятия и ликвидировать обнаруженные недочёты.
1 слайд «Теорема о существовании касательной»
Повторяют необходимые условия существования касательной к графику в точке.
1.«Алгебра и начала анализа,11» С.М.Никольский
П.5.2 Уравнение касательной;
2.№№ 5.19-5.29 преобразованные в 4 таблицы (Вариант. А, Б, В, Г) с добавлением ряда столбцов-вопросов (ПРИЛОЖЕНИЕ 1), причем «отсутствующие» задания будут решены и проверены в классе;
Тема урок: Уравнение касательной к графику функции. Тарасов В.А
4 слайд «Угловой коэффициент»
Сверяют найденные угловые коэффициенты в заданиях домашней работы
(4 варианта, соответственно , 4 ассистента работают с группами, обсуждают работу и сверяют ответы, отвечают на вопросы)
Приложение 2
- активизировать их знания о взаимном расположении прямых на плоскости;
- мотивировать познавательную самостоятельную работу;
- формировать коммуникативно-речевые действия по передачи информации.
«уравнение прямой параллельной касательной, проходящей через точку (0,0)»
«уравнение прямой перпендикулярной касательной и содержащей точку касания (1-2 уравнения на выбор)»
актуализация знаний и практических и умственных умений;
• повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой;
• проведение проверочных упражнений;
Стр.115-117 Пример 2 и Пример 3
и ставит учебную задачу: определить основные типы задач «на касательную»
Учитель приглашает к доске 3 ученика
(М.К.Потапов, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализ» Дидактический материалы 11 класс.
Обязательно указать на необходимый шаг проверки принадлежности точки графику заданной функции!
Обучающиеся самостоятельно делают вывод о трех типах задач.
Комментируют слайд 5
Вырабатывают алгоритм решения традиционных задач.
Работают параллельно с 3-й доской.
Приобретают навык оформления решения.
Приложение 3
- знакомство с новыми умениями;
- упражнения на их освоение;
- упражнения на их закрепление;
- тренировочные упражнения по образцу, алгоритму, инструкции;
- упражнения на перенос в сходную ситуацию;
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
(или оn-лайн работа СD-приложения)
Предложенное задание из сборника «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011» Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Приложение 4
Как решить?
Что можно применить?
СОБИРАТЕЛИ ИДЕЙ работают на доске
- упражнения творческого характера;
Слайд10
Слайд 11
Проверка учителем глубины понимания учащимися учебного материала, внутренних закономерностей и связей сущности понятий.
Приложение 5
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению; предупреждение о возможных затруднениях и способах их ликвидации.
Проверка учителя понимания учащимися содержания работы и способов ее выполнения.
Тест для курсантов
| Логин kursant kursant19 kursant49 kursant30 kursant56 | Пароль 8877012 5272014 92371993 2733728 3548756 |
Приложение 6
Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.
Стимуляция высказывания личного мнения об уроке и способах работы на нем
Осознание учениками значимости полученных результатов и готовность использовать их для достижения учебных целей
Использование алгоритма оценки работы класса, учителя и отдельных учеников.
Аргументирует выставленные отметки, замечания по уроку, предложения о возможных изменениях на последующих уроках.
(Учащимся предлагается дописать предложения)
http://function-x.ru/derivative_and_tangent.html
http://urok.1sept.ru/articles/613338