Реферат: Ряды Фурье и их приложения
| Название: Ряды Фурье и их приложения Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 15:46:46 03 августа 2005 Похожие работы Просмотров: 14201 Комментариев: 22 Оценило: 12 человек Средний балл: 4.8 Оценка: 5 Скачать |
( 1 )
(n=1,2. ), он окажется сходящимся и во всех точках вида 
(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем
, т. е. S(x0 +T)=S(x0 ). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.
(3)
.
,
,
.
, откуда
. (4)
(6)
(8)
(9)
и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим
 |
При любом натуральном n
и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем
т. е. последовательность функций
Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1 , ƒ2 , ƒ3 ,… (принадлежащих 
) построим ряд
Сумма первых его n членов
есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что
то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут
Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1 (x) + iƒ2 (x), где ƒ1 (x) и ƒ2 (x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1 (x) + iƒ2 (x) и φ(х) = φ1 (х) +i φ2 (х) определяется следующим образом:
а норма ƒ определяется как величина
2.1. Интегралы от периодических функций.
Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0 , х0 +Т]. Тогда величина интеграла 
остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0 , х0 ‘
.
2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических 
функций.
Укажем значения некоторых интегралов:
(k = 1,2,…), (13)
(k =1,2. ; m =1,2,…), (14)
(15)
(k =1,2,…) (16)
Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:
(17)
(18)
Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).
В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.
Обратим внимание, что постоянная 
в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18).
Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:
ƒ(x)
, (19)
про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.
Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье.
3. Признаки сходимости рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)
Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?
Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)
Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1 , х2 , …,хn-1 на интервалы (а, х1 ), (х1 , х2 ),…, (хn-1 , b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.
Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x)справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то
.
Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.
Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181)
При выводе формул (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции.
Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?
Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.
Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
Основное определение. Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [ a, b], если:
1)функция непрерывна на сегменте [ a, b] или же имеет
на нем конечное число точек разрыва 1 рода;
2) функция кусочно-монотонна на сегменте [ a, b].
3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Пример 1. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим образом: ƒ(x) = х , -π ′ . На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т.
(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)
Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ ′ , будет равна T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:
T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂ 2 u / ∂t 2 . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
Сокращая на ∆х и обозначая a 2 = T/ ρ, получаем уравнение движения
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям , указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям , описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть
u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x). (37)
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х):
Условия (101 , ) и (101 , , ) являются начальными условиями.
Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0 или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и φ(x) ≡ 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ≡ 0.
Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ∆х, можем написать, что падение напряжения на элементе ∆х равно
Это падение напряжения складывается из омического, равного ίR∆x, и индуктивного , равного (∂ ί /∂ t )L∆x. Итак,
где R и L — сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию υ. Сокращая на ∆х, получаем уравнение
Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него время ∆t, будет
Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆x (∂υ/∂t) ∆t, и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную Аυ∆х∆t (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆x∆t, получим уравнение:
Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями.
Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения (104) по х; члены уравнения (103) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:
Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ /∂х) из уравнения (103), получим:
Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t):
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (R = 0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения:
где обозначено: a 2 = 1/CL. Исходя из физических условий, формулируются граничные и начальные условия задачи.
Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье).
Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее краевым условиям:
Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109), в виде произведения двух функций X(x) и T(t), из которых первая зависит только от х, вторая только от t:
u (x, t) = X (x) T (t). (112)
Подставляя в уравнение (107), получаем:
X (x) T′′(t) = a 2 X′′(x) T(t).
Разделив члены равенства на a 2 XT
В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, слева – функция, не зависящая от t. Равенство (113) возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ 2 λT = 0. (115)
Общие решения этих уравнений будут:
где A, B, C, D – произвольные постоянные.
Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (112), получим:
Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (108) и (109). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ≡ 0, что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна удовлетворять условиям (108)
и (109), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (ℓ) = 0. Подставляя значения х=0 и х = ℓ в равенство (116), на основании (108) и (109) получаем:
Из первого уравнения находим А = 0. Из второго следует:
В ≠ 0, так как в противном случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть
(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак, мы получили:
Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными функциями.
Замечание. Если бы мы знали вместо – λ выражение + λ = k 2 , то уравнение (114) приняло бы вид
Общее решение этого уравнения:
Х = Аe kx + Be -kx .
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (108) и (109).
Зная λ 1/2 , мы пользуясь равенством (117) , можем написать:
Для каждого значения n, следовательно, для каждого λ, выражения (119) и (120) подставляем в равенство (112)и получаем решение уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109). Это решение обозначим un (x, t):
Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому пишем Cn и Dn (постоянная В включена в Cn и Dn ). Так как уравнение (107) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом
также будет решением дифференциального уравнения (107), которое будет удовлетворять граничным условиям (108) и (109). Очевидно, ряд (122) будет решением уравнения (107) только в том случае, если коэффициенты Cn и Dn таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по t.
Решение (122) должно еще удовлетворять начальным условиям (110) и (111). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных Cn и Dn . Подставляя в равенство (122)t = 0, получим :
Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно разложить в ряд Фурье, то условие (123) будет выполняться, если положить
Далее, дифференцируем члены равенства (122) по t и подставляем t = 0. Из условия (111) получается равенство
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
Итак, мы доказали, что ряд (122), где коэффициенты Cn и Dn определены по формулам (124) и (125), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (107) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (108) – (111).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (122) представляет собой решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x) – один раз дифференцируемой.
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи.
Рассмотрим однородный стержень длины ℓ. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = , а другой – с точкой х = ℓ.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой
где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = ∆х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время ∆t, будет равно
то же самое с абсциссой х2 :
Приток ∆Q1 — ∆Q2 в элемент стержня за время ∆t будет равняться:
Этот приток тепла за время ∆t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину ∆u:
где с – теплоемкость вещества стержня, ρ – плотность вещества стержня (ρ∆xS – масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (129) и (130) одного и того же количества тепла ∆Q1 — ∆Q2 , получим:
Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.
Чтобы решение уравнения (131) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (131) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для 0 ≤ t ≤ T, следующие:
Физическое условие (132) (начальное условие) соответствует тому, что при t = 0 в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (133) и (134) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = ℓ поддерживается температура, равная ψ1 (t) и ψ2 (t) соответственно.
Доказывается, что уравнение (131) имеет единственное решение в области 0 ≤ х ≤ ℓ, 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющее условиям (132) – (134).
Распространение тепла в пространстве.
Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u(x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку ∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле (126))
где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке ∆s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора n, или
Подставляя выражение 
в формулу (135), получаем:
∆Q = -k n grad u ∆s.
Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:
∆Q∆t = -k n grad u ∆t ∆s.
Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:
где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (136) дает количество тепла, поступающего в объем V(или уходящего из объема V) за время ∆t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.
Рассмотрим элементарный объем ∆υ. Пусть за время ∆t его температура поднялась на ∆u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента ∆υ, будет равно
где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время ∆t, будет
Но это есть тепло, поступающее в объем V за время ∆t; оно определено формулой (136) . Таким образом, имеет место равенство
Сокращая на ∆t, получаем:
Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, σ – замкнутая поверхность)
полагая F = k grad u:
Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (137), тройным интегралом, получим:
Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :
где P(x, y, z) – некоторая точка объема V.
Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (138) непрерывна, то равенство (139) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,
Подставляя в уравнение (140), получаем:
Если k – постоянное, то
и уравнение (140) в этом случае дает:
или, положив 
Коротко уравнение (142) записывается так:
где ∆u – оператор Лапласа. Уравнение (142) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.
Пусть имеем тело Ω, поверхность которого σ. В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное условие:
u(x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (143)
Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности σ тела в любой момент времени t – граничное условие:
u (М, t) = ψ (М, t). (144)
(Возможны и другие граничные условия.)
Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:
— уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (143) и (144), формулируются так:
где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С.
Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение
— уравнение распространения тепла в стержне.
Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- Лев Пантелеев 5 лет назад Просмотров:
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАМИ Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения Одобрено методической комиссией по математическим и естественно-научным дисциплинам Москва
2 Разработано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом ВПО г. для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения на основе рабочей программы дисциплины «Математика». Рецензенты: проф., д.т.н. Ю.Г.Балакирев, кафедра «Прикладная и вычислительная математика» им. Э.И.Григолюка университета машиностроения; проф., д.ф.- м.н. В.И.Мышенков, кафедра «Математическое моделирование» Московского государственного университета леса. Работа подготовлена на кафедре «Прикладная и вычислительная математика» им. Э.И.Григолюка Ряды Фурье и дифференциальные уравнения математической физики. Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения. ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет МАМИ».. 37 с. Пособие предназначено для изучения разделов дисциплины «Математика», посвящённых рядам Фурье и уравнениям математической физики. Оно содержит теоретические сведения в объёме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. Библ., илл.8. Коган Е.А., Лопаницын Е.А. Университет машиностроения,
3 3 СОДЕРЖАНИЕ Часть. Ряды Фурье.. 5 Введение. 5. Постановка основной задачи гармонического анализа и её решение.. 7. Различные формы разложения функций в ряд Фурье Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T Разложение в ряд Фурье непериодических функций 7.. Разложение в ряд Фурье функции f, определённой на отрезке [, ] Комплексная форма ряда Фурье. 6. Обобщённый ряд Фурье. Ортонормированные системы функций Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений. 7 Часть. Дифференциальные уравнения математической физики Классификация уравнений и постановка задач математической физики Уравнения гиперболического типа Задача о собственных колебаниях струны Вывод волнового уравнения Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения Решение однородного волнового уравнения методом разделения переменных методом Фурье. Продольные колебания стержня Решение неоднородного волнового уравнения методом разложения по собственным функциям Задача о вынужденных колебаниях струны при отсутствии начальных возмущений Решение задачи о вынужденных колебаниях струны с учётом начальных возмущений Редукция общей неоднородной начально-краевой задачи для волнового уравнения.. 58
4 . Решение волнового уравнения в круговой области Уравнение и функции Бесселя Осесимметричные колебания круговой мембраны Уравнения параболического типа Вывод уравнения теплопроводности стержня Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности стержня Решение однородного уравнения теплопроводности методом разделения переменных Решение уравнения теплопроводности для случая стационарной неоднородности Решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности со смешанными однородными граничными условиями Решение уравнения теплопроводности в полярных координатах Уравнения эллиптического типа. 8.. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа Фундаментальные решения уравнения Лапласа 8.3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области Решение уравнения Пуассона Решение краевой задачи для уравнения Пуассона в виде двойного тригонометрического ряда Фурье Уравнение Гельмгольца Решение уравнения Гельмгольца в прямоугольной области Решение уравнения Гельмгольца в круговой области Бигармоническое уравнение. Решение Навье Варианты расчётно-графической работы 6 Литература.. 36
5 5 Часть. РЯДЫ ФУРЬЕ Введение Тригонометрические ряды Фурье представляют собой эффективный математический аппарат, который широко применяется в математике для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, в задачах интерполяции, аппроксимации, обработки сигналов и экспериментальных данных и др. Особенно широко применяются ряды Фурье при изучении колебательных и периодических процессов и явлений. Поэтому рассмотрим, прежде всего, определение и свойства периодических функций, которые нам понадобятся в дальнейшем. Как известно, функция f, определённая на всей числовой оси, называется периодической, если существует постоянное число T> такое, что для любого, взятого из области её определения, справедливо равенство f T f. Геометрически периодическая функция характеризуется тем, что ординаты любых двух точек, абсциссы которых отличаются на величину, кратную периоду, равны между собой. Можно указать следующие основные свойства периодических функций.. Если Т период функции f, то и T тоже её период, где любое целое число. Это следует сразу из последовательного рассмотрения равенств f f T f T f T. Следовательно, если функция f периодическая, то она имеет множество периодов. Поэтому обычно под периодом функции подразумевают наименьший из всех положительных периодов.. Если функция f имеет период Т, то функция ϕ f имеет период T/. Действительно, ϕ T f [ T ] f T f ϕ. 3. Если функция f имеет период Т, то интеграл от этой функции, Ф у р ь е Жан Батист Жозеф марта мая 83 французский математик.
6 6 взятый в пределах, отличающихся на период, не зависит от положения интервала интегрирования на числовой оси, то есть при любом T f d T f d Действительно, как известно, определённый интеграл численно равен площади под кривой f на интервале интегрирования. Но, как видно из рис., заштрихованные площади для обоих интегралов от периодической функции f равны при любом. Рис..
7 7. Постановка основной задачи гармониче ского анализа и её решение Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются так называемые гармоники. Это функции вида y Asi ω t ϕ, описывающие незатухающие гармонические колебания с амплитудой A, частотой ω и начальной фазой ϕ. Они могут быть также записаны в виде y siωt bcosωt. Очевидно, период этих функций по свойству равен /ω. Легко убедиться в том, что при сложении гармоник разной частоты график результирующей функции будет заметно отличаться по виду от графика каждой из составляющих. Например, суммой синусоидальных функций разных аргументов f si t,5si t,3si 3t,si t будет периодическая функция с периодом, равным периоду основного члена этой суммы si t, график которой, как видно, существенно отличается от синусоиды см. рис.. Рис..
8 8 На практике большое значение имеет обратная задача: можно ли и при каких условиях разложить произвольную периодическую функцию f с периодом T на сумму простых гармоник разной частоты, то есть представить её в виде суммы гармонических колебаний. Эта задача и составляет предмет гармонического анализа или теории рядов Фурье. Отметим, в дополнение к сказанному во введении, что метод разложения произвольной периодической функции на сумму простейших периодических функций оказался исключительно эффективным для решения задач, возникающих в самых разных областях естествознания и техники: в механике абсолютно твердого и деформируемого тела, в гидро- и аэромеханике, в теории колебаний, в электротехнике и радиотехнике, в акустике, при расчёте различных конструкций и инженерных сооружений и т.п. Многочисленные примеры применения гармонического анализа для решения различных прикладных задач широко освещены в учебной и научной литературе. Для решения поставленной основной задачи гармонического анализа предварительно введём понятие основной тригонометрической системы функций. Это система функций вида:, cos, si, cos, si. cos, si. Все функции, её образующие, имеют общий период хотя в соответствии со свойством периодических функций cos и si имеют и меньший период /. Единица может рассматриваться, как постоянная величина, имеющая любой период, в частности,. Рассмотрим интегралы от произведения функций, образующих основную тригонометрическую систему. Все интегралы будем вычислять на отрезке [, ] длиной, равной периоду. Будем различать 3 случая. Для любых целых интегралы от произведения единицы на произвольные cos и si si cos d, cos cos cos si d. Воспользуемся далее известными формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
9 9 cosα cos β [cos α β cos α β ], siα si β [cos α β cos α β ], siα cos β [si α β si α β ]. Для любых целых и m m cos cosmd [cos m cos m ] d si m m si m m si si md [cos cos ] m m d, si cosmd 3 При m [si m si m ] d cos m m si cosmd si d, cos m m,. cos si cos d d, cos si d d. Как видно, все интегралы от произведения функций, стоящих на разных местах в основной тригонометрической системе, равны нулю. Говорят, что функции ϕ и ϕ m,m. ортогональны на отрезке [, b], если при m
10 При этом предполагается, что b b ϕ ϕm d. ϕ d. Поэтому можно сказать, что функции, образующие основную тригонометрическую систему, попарно ортогональны на отрезке [, ]. А по свойству 3 периодических функций можно заключить, что функции, образующие основную тригонометрическую систему, попарно ортогональны на любом отрезке [, ]. Вернёмся теперь к решению основной задачи гармонического анализа. Предположим, что произвольную периодическую функцию с периодом T можно представить в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда f cos b si cos b si cos b si. то есть представить в виде суммы гармоник разной частоты. Напомним, что бесконечный функциональный ряд f f f f. f. называется сходящимся для данного значения, если существует конечный предел s im s его частичных сумм s m f m. Величина s называется суммой ряда, и для ряда, сходящегося для всех из отрезка [, b], сумма ряда определена на [, b]. При этом функциональный ряд сходится равномерно на [, b], если для любого заданного ε > существует такой, не зависящий от, номер N, что для всех > N неравенство s s ε выполняется одновременно для всех [, b].
11 Свойство равномерной сходимости означает, что при достаточно больших графики суммы ряда s и соответствующих частичных сумм s отличаются друг от друга менее чем на заданную малую величину ε. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, то есть для них допустима перестановка порядка суммирования и интегрирования [8] b b f d f d, f f. Воспользуемся этим свойством равномерно сходящихся рядов и свойством ортогональности тригонометрических синусов и косинусов для нахождения неизвестных коэффициентов ряда.. Сначала проинтегрируем равенство. почленно на отрезке ортогональности тригонометрических синусов и косинусов [, ]: f d d cos d b si d. В силу ортогональности тригонометрических синусов и косинусов все интегралы в правой части под знаком суммы равны нулю. Следовательно, получаем f d.. Умножим теперь почленно равенство. на cosm и проинтегрируем на промежутке [, ]. Тогда f cos md cos md cos cos md b si cosmd. В правой части, из-за ортогональности тригонометрических функций, будут равны нулю первое слагаемое и все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла от произведения косинусов при m. Поэтому из всей суммы остаётся одно слагаемое: f cosd cos d.
12 Следовательно, f cos d..3 Аналогично, умножая равенство. почленно на sim и интегрируя в пределах от до, получим b f si d.. Такой подход к определению коэффициентов был применён Л.Эйлером во второй половине XVIII века, а позднее и независимо от него Ж.Фурье. Равномерно сходящийся тригонометрический ряд., коэффициенты которого определяются по формулам. называется рядом Фурье для функции f. Условия, при которых справедливо разложение., устанавливаются так называемыми условиями Дирихле 3. Говорят, что функция f на отрезке [, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если она на этом интервале кусочно-монотонна и ограничена см. рис.3. Рис.3. Функция f кусочно-монотонна на отрезке [, b], если его можно разбить конечным числом точек. на интервалы. b так, что на каждом из них функция монотонна, то Э й л е р Леонард 5 марта 77 8 сентября 783 швейцарский механик, физик и математик, с 77 г. по 7г. и с 766 г. до конца жизни жил и работал в России. 3 Д и р и х л е Петер Густав Лежëн 3 февраля 85 5 мая 859 французский математик.
13 3 есть либо невозрастающая, либо неубывающая. Функция f кусочно-монотонная и ограниченная на [, b], может иметь на этом отрезке только точки разрыва -го рода, то есть такие точки разрыва, для которых существуют конечные предельные значения функции при приближении её к точке разрыва c слева и справа рис.3: im f f c, im f f c. c c Можно показать, что справедлива следующая теорема о разложимости функции в ряд Фурье: если периодическая функция f с периодом удовлетворяет условиям Дирихле, то она может быть представлена в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда Фурье f cos b si, причём сумма членов полученного ряда S равна значению функции f в тех внутренних точках интервала,, в которых функция f непрерывна. В точках разрыва функции f сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому предельных значений функции слева и справа от точки разрыва c, то есть f c f c S c,.5 а на концах интервала сумма равна f f S ±. Замечание. Условиям теоремы разложимости удовлетворяет весьма широкий класс функций. Так, для разложения функции в ряд Тейлора f f f f f. требуется, чтобы функция была не только непрерывной, но и бесчисленное число раз дифференцируемой так как коэффициенты ряда Тейлора выражаются через начальные значения функции и её производных, а в ряд Фурье можно разложить функцию не только непрерывную, но и имеющую точки разрыва -го рода. Т е й л о р Брук 8 августа декабря 73 английский математик.
14 Кроме того, в степенные ряды нельзя разлагать функции, выражающиеся на разных отрезках различными формулами. Тригонометрические ряды Фурье позволяют осуществлять разложение функций, заданных разными выражениями на разных отрезках. Поэтому ряды Фурье применяются очень широко.
15 5. Р азличные формы разложения функций в ряд Фурье.. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T Если функция f является чётной, то есть f f, то её график симметричен относительно оси ординат и f d f d. Тогда формулы.. упрощаются. Действительно, подынтегральная функция fsi является нечётной, и b как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, а коэффициент будет равен f cosd f cosd. так как подынтегральная функция fcos является чётной. Таким образом, ряд Фурье для чётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, не содержит синусов и имеет вид причём f cos,. f cosd. Если функция f является нечётной, то есть f f, то её график симметричен относительно начала координат. Тогда, и так как функция fcos является нечётной, то как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах. Функция fsi будет чëтной, и коэффициент b будет равен b f si d f si d. Поэтому ряд Фурье для нечётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, содержит только синусы и имеет вид f b si,.3
16 6 причём b f si d,,3, Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T Если f периодическая функция с периодом T где > полупериод функции есть произвольное число, удовлетворяющая условиям Дирихле, то выполняя замену переменной по формуле t/, получим функцию f t ϕ переменной t с периодом. Её можно обычным образом разложить в ряд Фурье на отрезке [, ]: f f t ϕ cost b si, где ϕ costdt f t costdt. b ϕ si tdt f t si tdt,,3. Возвращаясь далее к старой переменной, то есть полагая t / и учитывая, что dt d/, получим в точках дифференцируемости f cos b si,.5 где f d, f cos d,.6 b f si d. Ряд.5, коэффициенты которого определяются по формулам.6, также называется рядом Фурье для функции f с периодом T. В точках разрыва функции f сумма ряда Фурье.5 будет определяться по формуле.5. Аналогично.. и соответственно.3. получим ряд Фу-
17 7 рье для чётной функции с периодом T : f cos,.7 f cos d. 8 и ряд Фурье для нечётной функции с периодом T : f b si,.9 b f si d,,3, Разложение в ряд Фурье непериодических функций Пусть f непериодическая, кусочно-монотонная и ограниченная функция, заданная на конечном отрезке [, ]. Присоединим к графику заданной функции все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные на рис. они показаны пунктиром. Рис.. Тогда получим так называемое периодическое продолжение заданной функции на всю числовую ось. Получившаяся периодическая вспомогательная функция f *, определённая на всей числовой оси, в соответствии с теоремой о разложимости может быть представлена в виде ряда Фурье.5,.6. Но для всех,, кроме точек разрыва ±, значения * вспомогательной функции совпадают с заданной: f f. Следовательно, сумма членов ряда Фурье для вспомогательной функции во всех точках,, кроме точек разрыва, даст значения заданной функции. Поэтому разложение непериодической функции в
18 8 ряд Фурье в действительности осуществляется без привлечения вспомогательной функции непосредственно по формулам.5 и.6. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f, заданную на отрезке [-,]. при 19 9 cos si. Коэффициенты b определяются аналогично: b si d si d si d cos cos. Таким образом, ряд Фурье для заданной функции примет вид cos f si cos cos cos si или f cos si cos si Во всех точках непрерывности функции f сумма ряда S совпадает с её значениями, а в точках разрыва она будет равна: S S S,5. Разложение в ряд Фурье функции f, определённой на отрезке [,] Функцию f, определённую на отрезке [, ] и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье многими способами. Для этого сначала надо представить продолжение функции на интервал [, ]. Это можно сделать многими способами, но основными являются следующие два. Если продолжение f на интервал [, ] чётное симметричное относительно оси ординат, то ряд Фурье можно записать по формулам.7 и.8, то есть по косинусам. Если продолжить функцию f на [, ] нечётным образом, то разложение в ряд Фурье будет представлено формулами.9 и., то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале, одну и ту же сумму. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f, заданную на
20 промежутке [, ]. Первое решение разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний полуинтервал [, ]. График функции f вместе с её чётным продолжением на [, ] и периодическим продолжением с T на всю ось показан на рис.6. Рис.6. Так как, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложении будет иметь вид f cos,.3 при этом f d d, f cos d cosd. В результате получим при cos. cos cos3 cos На всей оси ряд сходится к функции, изображённой на рис.6. Второе решение разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний полуинтервал [,]. График функции f вместе с её нечётным продолжением на [,] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось показан на рис.7. При нечётном разложении f b si,.5
21 где b si d. Рис.7. Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при 22 . является её рядом Фурье. Воспользуемся формулами Эйлера, связывающими показательную функцию комплексного аргумента z с тригонометрическими синусом и косинусом e iz cos z isi z, e iz cos z isi z и следствием из них iz iz iz iz e e e e cos z, si z, i и преобразуем общий член тригонометрического ряда Фурье к виду i i i i e e e e cos b si b i i i i i e e e e ib i ib i ib e e i i ce ce, где ib ib c, c,,3. Положим далее c, тогда частичные суммы ряда Фурье можно представить в виде N N N i i i cos b si c c e c e c e. N Учитывая формулы.3,. и формулу Эйлера, получим выражение для комплексных коэффициентов Фурье: ib c f cosd i f si d i cos si, > f i d f e d. Эта формула справедлива и для, так как тогда c f d, и при 23 c ib c f cos i si d 3 f e где c означает комплексное число, сопряжённое c. В пределе при N найдём N N i i f im ] cos b si im ce ce. N N N Полученный ряд f i c e, коэффициенты которого определяются по формуле i c f e d, ±, ±. i d, и называется рядом Фурье для функции с периодом в комплексной форме. Для функции f с произвольным периодом T ряд Фурье в комплексной форме имеет вид где f i c e i c f e d, ±, ±, Обобщённый ряд Фурье. Ортонормированные системы функций Пусть функция f, определённая на отрезке [, b], может быть разложена в ряд по системе ортогональных на [, b] функций ϕ : f ϕ ϕ ϕ ϕ. ϕ. 7 где коэффициенты i i. являются постоянными числами. Для определения коэффициентов разложения i умножим равенство.7 на ϕ m и проинтегрируем почленно на отрезке [, b]. Получим равенство
24 b f ϕ m d ϕ ϕm d ϕ ϕm d. b b b ϕ ϕm d. В силу ортогональности функций ϕ все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного, когда m. Отсюда следует, что b b f ϕ d..8 ϕ d Ряд.7, коэффициенты которого определяются по формуле.8, называется рядом Фурье по данной ортогональной системе функций или обобщённым рядом Фурье для функции f [8]. Для упрощения формул для коэффициентов применяют так называемое нормирование функций. Система функций ϕ, ϕ,, ϕ, называется нормированной на отрезке [, b], если b ϕ d..9 Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать брать постоянные числа µ, µ,, µ, так, чтобы система функций µ ϕ, µ ϕ,, µ ϕ, была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия следует, что Число b µ ϕ µ ϕ d b d µ.. b ϕ d
25 5 b ϕ ϕ называется нормой функции ϕ. Если система функций нормирована, то, очевидно, ϕ. Последовательность функций ϕ, ϕ,, ϕ,, определённых на [, b], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [, b]. Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны b f ϕ d.. Пример. Разложить функцию y 3 на отрезке 3/ в обобщённый ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения ϕ λ ϕ,, λ, ϕ, ϕ 3/, предварительно проверив их на ортогональность. Решение. На первом этапе решаем задачу на собственные значения. Так как общее решение уравнения ϕ λ ϕ будет ϕ C cosλ C si λ, то ϕ C λ si λ Cλ cosλ и из граничных условий следует 3λ C, Cλ cos. При λ общее решение уравнения будет ϕ C C, и из граничных условий получим C C, следовательно, приходим к тривиальному решению. Поэтому для существования нетривиального решения ϕ необходимо принять 3λ cos. Из этого тригонометрического уравнения находим d
26 6 3λ. Поэтому собственные значения параметра λ равны λ, 3 а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя С будут ϕ si.. 3 На втором этапе проверяем ортогональность собственных функций на отрезке [, 3/]: 3/ m si si d 3 3 3/ m m cos cos d m 3 m si si 3 3 m m так как si m si m. При этом 3/ 3 3/ 3 si d cos d 3. 3/, Следовательно, собственные функции ϕ si 3 на отрезке [, 3/] ортогональны. На последнем этапе раскладываем заданную функцию в ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций.: y 3 si.3 3 и находим
27 7 3 3 si 3 si 3 3/ 3/ d d.. Подставляя. в.3, окончательно получим 3 si 3 3 m.
28 8 3. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений Рассмотрим применение рядов Фурье к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений на примерах различных краевых задач. Одним из ярких примеров таких задач является задача об изгибе балки постоянного поперечного решения, различным образом закреплённой на концах. Дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде IV EI w q 3. z где w прогиб балки в произвольном поперечном сечении с абсциссой, EI z cost изгибная жёсткость балки E модуль упругости материала, I z момент инерции поперечного сечения. Пусть поперечная нагрузка на разных участках балки задана в виде см. рис.8 а б 8q q q Рис.8. при при при 29 9 левом конце и жёстко защемлённой на правом см. рис.8а. Раскладываем функцию q в ряд Фурье по синусам на отрезке [, ] q b si, 3.3 где b q si d / / 8q si d si d q si d / / q 8 cos cos cos si 3. Подставляем 3.3 в уравнение 3.: IV EI w b si. 3.5 z Уравнение 3.5 допускает непосредственное интегрирование. Интегрируя его первый раз EI получим уравнение 3-го порядка: Аналогично находим EI EI z EI w IV d b si d, w b z cos C w z b si C 3 w z b cos C C Интегрируя последнее уравнение, получим общее решение дифференциального уравнения 3. в виде: EI 3 z w b si C C C3 6 C, C 3. C. 3.6
30 3 Для определения произвольных постоянных С, С, С 3 и С подставляем решение 3.6 в граничные условия 3.. Из первых двух условий при следует C C. 3.7 При из третьего и четвертого граничных условий получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С и С 3 :. cos, b C C C C 3.8 Разрешая систему.37 и учитывая, что cos, находим 3 3 b C, b C. 3.9 Подставляя 3.7, 3.9 в 3.6, получим решение краевой задачи в виде b b b w EI т z si или после подстановки b и элементарных преобразований si 8 cos cos z EI q w si. При / прогиб балки будет si 8 cos cos z EI q w 6 3 si. При вычислении прогиба балки в середине пролета можно ограничиться первыми тремя членами ряда, поскольку, из-за наличия в
31 3 коэффициентах ряда множителя / четвёртое слагаемое даст поправку не более,%. В результате найдём значение прогиба балки в середине пролета: q w /,33. EI z Второй вариант закрепления балки. Пусть балка свободно опёрта на обоих концах рис.8б. Тогда граничные условия запишутся в виде: при w w, при w w 3. Для данного варианта граничных условий искомая функция w может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке [, ], равном длине балки: w W si, 3. так как каждый член ряда 3. удовлетворяет всем граничным условиям 3.. Подставляя 3. в уравнение 3., получим EI z W si q 3. Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на отрезке [, ] правую часть уравнения 3., то есть принимаем q b si. При этом коэффициент b для заданной нагрузки см. рис.8 будет определяться по формуле 3.. Подставляя такое представление q в 3., получим равенство EI из которого следует z W si EI zw b b si, 3.3 Из 3.3 с учётом 3. неизвестный коэффициент разложения прогиба W выразится через известный коэффициент разложения нагрузки по формуле
32 W b EI z q 5 EI z 3 cos cos Поэтому решение краевой задачи 3. и 3. примет вид q w 5 EI z 5 cos cos 8 si. 8 si si. Так как ряд сходится очень быстро, то, ограничиваясь его первым членом, при / получим q w /,9. EI z Пример. В виде ряда Фурье найти решение краевой задачи y y q, 3, y, y 3, 9 где q ограниченная, кусочно-непрерывная на отрезке [, 3] функция 3 при 33 3 3 3 si d cos 6 3 d. Подставляя ряд 3. в уравнение, приходим к равенству 33 Y si q Далее раскладываем в обобщённый ряд Фурье по той же ортогональной системе функций правую часть уравнения 3.5 q Q si Коэффициенты ряда 3.6 находим по формуле.8: Q 3 q si d 6 3 si d 6 3/ 3 si d si d / si Подставляя 3.6 в 3.5, приходим к равенству. 3.7 Y si Q si, из которого следует Y Q. 36 Из последнего равенства c учётом 3.7 находим Y и, подставляя его в 3., получим решение краевой задачи в виде 5 y [ si ] si. 6
34 3 Часть. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Классификация уравнений и постановка задач математической физики Большинство физических процессов различной природы моделируется дифференциальными уравнениями в частных производных. Наиболее часто при этом встречаются линейные уравнения второго порядка. Их изучение и составляет предмет математической физики. Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между искомой функцией нескольких переменных, её частными производными и независимыми переменными. Для двух независимых переменных и y дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем случае имеет вид u u u u u F u,, y. y y y Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения. Если уравнение содержит производные высших порядков только в первой степени, то оно называется квазилинейным. В случае уравнения -го порядка оно имеет вид; u u u u u Ф u,, y,, f, y. y y y Уравнение называется линейным, если оно содержит искомую функцию и все её производные в первой степени. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид u u u u u b b cu f, y.. y y y Коэффициенты линейного уравнения могут зависеть от переменных и y. Тогда говорят, что уравнение. является уравнением с переменными коэффициентами. Если f,y, то уравнение. называется линейным однородным. В противном случае оно будет линейным неоднородным. Всё многообразие уравнений математической физики может быть
35 35 разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами решений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, называемое каноническим. Принадлежность уравнения к тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных. Если в некоторой области плоскости y дискриминант уравнения. >, то говорят, что уравнение. будет в этой области уравнением гиперболического типа. Если в некоторой области плоскости y дискриминант, то в этой области уравнение относится к параболическому типу. Наконец, если в некоторой области или параболы при, или эллипса при 36 36 дах, процессы диффузионного типа и др. Уравнение Лапласа 5 u u. y Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени и y пространственные координаты и описывает стационарные процессы в электрических и магнитных полях, задачи стационарной теплопроводности, установившиеся диффузионные процессы, многие стационарные задачи гидродинамики, прочности, задачи о потенциале поля тяготения и др. Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые позволяют однозначно описать конкретный физический процесс. Количество и вид этих условий зависят от характера и порядка производных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела или процесса в выделенном теле с окружающей средой. В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия. Начальные условия описывают состояние объекта в начальный момент времени. Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины отклонений и скоростей точек объекта струны, стержня и др. в начальный момент времени. Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку производной по времени если искомая функция в уравнении теплопроводности u, температура в произвольном сечении стержня в любой момент времени t, то начальным условием задаётся распределение температуры по длине стержня в начальный момент времени t. Граничные условия для волнового уравнения если оно описывает, например, поперечные колебания струны конечных размеров характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и зависят от характера их закрепления. Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия 5 Л а п л а с Пьер Симон 3 марта 79 5 марта 87 французский астроном и математик.
37 37 имеют существенно различный вид в зависимости от характера теплообмена концов стержня с окружающей средой. Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения параболического типа, также различают разные краевые задачи в зависимости от условий на контуре рассматриваемой области. Итак, постановка задачи математической физики включает задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение. Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных. Требование непрерывной зависимости решения от исходных данных обусловлено тем, что физические данные, характеризующие начальное состояние системы, определяются, как правило, экспериментально, и всегда с некоторой погрешностью. Поэтому необходима уверенность в том, что малая погрешность в исходных данных будет приводить лишь к малой погрешности в решении, то есть решение задачи не должно существенно зависеть от погрешностей измерений. Понятие корректной постановки задачи, введенное Ж.Адамаром 6, является очень важным в математической физике. Вместе с тем следует заметить, что объективно существуют и являются практически важными и так называемые некорректно поставленные задачи. К ним, например, относятся часто встречающиеся в приложениях обратные задачи задачи идентификации объекта по результатам измерений некоторых его характеристик. Методы решения таких задач отражены в специальной литературе. Ниже рассмотрены решения основных дифференциальных уравнений математической физики различного типа, базирующиеся на одном из наиболее общих методов математической физики методе Фурье разделения переменных. В основе этого метода лежит возможность применения к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных принципа суперпозиции наложения частных решений, в соответствии с которым любая линейная комбинация частных решений однородного линейного уравнения также является решением этого уравнения. При этом частные решения отыскиваются в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от 6 А д а м а р Жак Саломон 8 декабря октября 963 французский математик.
38 38 одной переменной. Для канонических уравнений математической физики, рассматриваемых ниже в прямоугольной и круговой областях, применение метода Фурье позволяет разделить переменные, то есть свести задачу отыскания функции двух и более переменных, являющейся решением дифференциального уравнения в частных производных, к принципиально более простой задаче отыскания решений независимых друг от друга обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение неоднородных уравнений строится при этом с помощью разложения искомых функций в ряды по собственным функциям соответствующей однородной задачи.
39 39. Уравнения гиперболического типа.. Задача о свободных колебаниях струны. Вывод волнового уравнения Струной называется гибкая упругая натянутая нить, не оказывающая сопротивления изгибу. Рассмотрим натянутую струну, которая в начальный момент времени совмещена с отрезком [, ] оси. Пусть концы струны закреплены неподвижно. Если струну тем или иным способом отклонить от первоначального положения, и затем предоставить самой себе, то она начнёт совершать колебания относительно положения равновесия, называемые свободными колебаниями см. рис.9. Требуется найти закон этих колебаний, то есть зависимость перемещения точек струны от времени. Будем предполагать, что струна однородна, то есть имеет постоянную линейную плотность ρ [кг сек /м ] ρ γ g ; γ удельная плотность материала [кг/м 3 ], g 9,8 м/сек ускорение силы тяжести. Примем также, что колебания струны происходят в одной плоскости, и отклонения точек струны от положения равновесия малы настолько, что увеличением длины струны в процессе колебаний можно пренебречь, то есть можно считать, что длина ds элемента M M струны d ds u d d. Допущение о малости колебаний, означает, таким образом, что пренебрегается квадратом угла поворота u по сравнению с единицей, и движение каждой точки струны происходит перпендикулярно оси см. рис.9. Такие колебания будут описываться функцией двух переменных u,. Рис.9.
40 Рассмотрим произвольно выделенный малый элемент струны M M и заменим действие отброшенных участков внешними силами натяжения. Так как струна не обладает изгибной жесткостью, то сила натяжения струны в произвольной точке всегда направлена по касательной к «мгновенному» профилю струны. Тогда условие равновесия сил, действующих на элемент струны, в проекции на ось запишется в виде T cos ϕ T dt cos ϕ dϕ. В силу принятого допущения о малости отклонений точек струны от положения равновесия в процессе колебаний можно принять, что cosϕ cos ϕ d ϕ. Поэтому из уравнения равновесия следует, что dt и T cost, то есть усилие натяжения во всех точках струны будет одинаковым. Вертикальная составляющая сил натяжения уравновешивается поперечными силами инерции. Составляя на основании принципа Даламбера 7 уравнение равновесия сил, действующих на элемент струны, в проекции на ось y, приходим к равенству u Т si ϕ dϕ Tsiϕ ρd,. где ρ d масса, а u ускорение точек элемента струны. Так как ds d и углы ϕ и ϕ dϕ малы, то можно считать, что u, u d, siϕ tgϕ, si ϕ dϕ tg ϕ dϕ. Поэтому T si ϕ dϕ T siϕ T[ tg ϕ dϕ tgϕ]. u d, u, u, T T d. Здесь на основании теоремы Лагранжа 8 о конечных приращениях [8] частное приращение производной u / при переходе от аргу- 7 Д а л а м б е р Жан Лоран 6 ноября 77 9 октября 783 французский механик, физик и математик. 8 Л а г р а н ж Жозеф Луи 5 января 736 апреля 83 французский механик и математик.
41 ментов, к аргументам d, заменено её частным дифференциалом, то есть величиной u,. Подставляя. в. и обозначая T ρ, приводим уравнение. к виду u u. Это уравнение и описывает процесс малых свободных поперечных колебаний струны и называется одномерным волновым уравнением. Это уравнение и его решение впервые были получены Ж.Даламбером в 73 году. Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения Рассмотрим постановку начально-краевой задачи для волнового уравнения на примере задачи о малых свободных поперечных колебаниях струны конечной длины с закреплёнными концами. Требуется решить однородное волновое уравнение u u, [, ], t.3 при однородных граничных условиях u,, u,. и начальных условиях u, u, U, V,.5 где U, V заданные функции, описывающие соответственно отклонения и скорости точек струны в начальный момент времени. 3. Решение однородного волнового уравнения методом разделения переменных методом Фурье В соответствии с методом разделения переменных сначала ищется частное ненулевое решение однородного уравнения.3, удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям., в виде произ-
42 ведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: u, X T..6 Подставляя.6 в.3, получим X T X T. Разделив обе части уравнения на X T, приходим к равенству X T..7 X T В этом равенстве при изменении t левая часть, не зависящая от t, остаётся постоянной, поэтому будет постоянной и равная ей правая часть, то есть обе части равенства.7 не зависят от t. С другой стороны, при изменении правая часть равенства, не зависящая от, будет оставаться постоянной, значит, будет постоянной и не зависеть от и равная ей левая часть. Таким образом, обе части равенства.7 не зависят ни от, ни от t. Следовательно, они являются постоянными. Обозначая эту постоянную через μ, её называют постоянной разделения, то есть принимая X T µ, X T получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения -го порядка T µ T,.8 X µ X..9 Подставляя далее.6 в граничные условия., получим X X.. В результате для определения функции X приходим к задаче на собственные значения.9,. задаче Штурма 9 Лиувилля. Эта задача имеет нулевое тривиальное решение X, не представ- 9 Ш т у р м Жак Шарль Франсуа 9 сентября 83 8 декабря 855 французский математик. Л и у в и л л ь Жозеф марта 89 8 сентября 88 французский математик.
43 3 ляющее физического интереса, так как тогда u,. Однако при некоторых значениях параметра μ, называемых собственными значениями, задача.9,. имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти решения называются собственными функциями. Покажем, прежде всего, что ненулевые решения задачи.9,. существуют при μ μ λ, λ >. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению.9 X λ X, имеет вид k λ. Его корни действительны и различны: k, ± λ. Поэтому общее решение уравнения.9 запишется в виде X. λ λ Ce Ce Подставляя его в граничные условия., получим систему однородных линейных алгебраических уравнений C C, λ λ e C e C, которая имеет единственное нулевое решение C C. Соответственно задача.9,. будет иметь только нулевое решение X. Пусть μ . Тогда корни характеристического уравнения X λ X. будут мнимыми: k, ± λ ± λi. Поэтому частные линейно независимые решения будут X cosλ, X si λ, и общее решение уравнения. запишется в виде X C cosλ C si λ..
44 Из первого граничного условия. получаем C, а из второго граничного условия следует C si λ..3 Если C, то опять получим нулевое решения X. Поэтому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи, необходимо принять si λ.. Из уравнения. следует λ, где ±, ±. так как λ. Поэтому собственные значения параметра для задачи.9,. будут λ.5 так как собственные значения будут различными для разных, то им приписывается соответствующий индекс. Соответствующие им собственные функции с точностью до постоянного множителя C определяются по формуле X si..6 Здесь уместно объяснить причину, по которой выше было принято рассматривать только положительные значения параметра λ. Это было сделано потому, что при отрицательных значениях λ или номера будут получаться собственные функции, отличающиеся лишь постоянным множителем. Заметим, что собственные функции.6 ортогональны на отрезке [, ]. С учетом.5 уравнение.8 запишется в виде T T.7 Его общее решение: t t T A cos B si..8 Подставляя.6 и.8 в.6 и суммируя частные решения линейного однородного уравнения.3, получим t t u, A cos B si si.9
45 5 Произвольные постоянные A и B находим далее из начальных условий. Подстановка.9 в.5 приводит к равенствам u, U A si,. u, V B si.. Если функции U и V удовлетворяют условиям Дирихле, то произвольные постоянные A и B могут быть определены как коэффициенты Фурье для соответствующих функций при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [, ], равном длине струны. Тогда A U si d,. B V si d..3 Выражение.9 с учетом. и.3 и даёт окончательное решение задачи о малых собственных поперечных колебаниях струны. В полученном решении разные значения соответствуют различным собственным формам колебаний струны. Функцию u, A t cos B t si si введением вспомогательного угла ϕ rctg A B легко преобразовать к виду u, t F si si t ϕ,. где F A B. Из. следует, что все точки струны совершают гармонические колебания относительно положения равновесия с одинаковыми частотами ω и амплитудой F si, зависящей от продольной координаты точки струны. Такие колебания называются стоячими волнами. При этом максимальное отклонение от положения
46 6 равновесия будет достигаться при si ±, то есть в точках с абсциссами k, k. на отрезке [, ]. Точки, в которых отклонения достигают максимума, называются пучностями. Но при колебаниях струны имеются и неподвижные точки, которые называются узлами стоячей волны. Они определяются из условия si. Таких точек на отрезке [, ] будет с абсциссами k, k. Первые три формы колеблющейся струны в разные моменты времени показаны на рис.. Рис.. Результирующее отклонение u, произвольной точки струны, как следует из.9, равно сумме отклонений, соответствующих разным формам колебаний. Частоты колебаний ω называются собственными частотами. Наименьшая собственная частота колебаний соответствует и равна T ω. ρ Она соответствует основному тону колебаний струны. Как видно, частота основного тона колебаний тем выше, чем сильнее натянута струна и чем она короче и легче. Высшие тона колебаний называются обертонами. Пример. Найти закон колебания струны длиной, если в начальный момент струне придана форма кривой u, 8 а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют. Решение. Задача сводится к решению однородного волнового уравнения. при однородных граничных условиях.5 и начальных условиях
47 7 u, u. 5 8 Для рассматриваемого случая, очевидно, B, так как согласно.5 V. Подставляя в. U, 8 после двукратного интегрирования по частям находим A..6 3 Подстановка.6 в.9 с учетом B приводит к решению задачи в виде t u, cos si Продольные колебания стержня Стержнем называют тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с его длиной. Как известно, стержень является основным расчётным объектом в сопротивлении материалов. Будем рассматривать призматический стержень постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью. Если стержень предварительно растянут или сжат осевыми силами, и в момент времени t действие сил мгновенно прекращается, то он будет совершать свободные собственные продольные колебания. Будем предполагать, что при этом сечения, перпендикулярные к продольной оси стержня, оставаясь плоскими, будут смещаться только вдоль оси абсцисс, совпадающей с продольной осью стержня см. рис.. Предполагаем также, что стержень однородный, то есть выполнен из материала с постоянной линейной плотностью ρ. Рис.. Пусть u, [м] продольное перемещение поперечного сечения
48 8 стержня с абсциссой в момент времени t, E модуль упругости материала стержня [Па], F площадь поперечного сечения стержня [м ], его длина [м]. Относительное удлинение деформация стержня в сечении с абсциссой в момент времени t равно u, u, u ε im. Внутренние нормальные силы определяются по закону Гука и равны: u в сечении : N σ F EεF EF ; в сечении d : u u u dn EF u d EF d. N Следовательно, равнодействующая внутренних нормальных сил упругости, приложенных к элементу стержня, равна u u u u N dn N EF d EF EF d. Эта сила уравновешивается возникающими при продольных колебаниях силами инерции ρ Fd u. Приравнивая в соответствии с принципом Даламбера сумму сил, действующих на выделенный элемент стержня, нулю: u u EF d ρ Fd,.8 получим уравнение продольных колебаний стержня u u,.9 где теперь E ρ скорость распространения упругих волн в материале стержня, скорость звука в материале [м/сек]. Как видно, уравнение малых свободных продольных колебаний стержня совпадает по форме записи с уравнением малых поперечных Г у к Роберт 8 июля марта 73 английский физик.
49 9 колебаний струны.. Различие между этими задачами будет проявляться в постановке граничных условий. Ограничимся случаем консольного защемлённого стержня рис.. Рис.. Очевидно, на левом конце стержня u..3 Так как на свободном конце стержня внешних сил нет, то равнодействующая внутренних нормальных сил упругости N EF[ u, ] должна быть равна нулю, откуда следует u. 3 Как видно, в отличие от задачи о свободных поперечных колебаниях закреплённой по концам струны.3.5, граничные условия теперь являются «смешанными», то есть ставятся на функцию и её производную. Начальными условиями определяются продольные перемещения и скорости поперечных сечений стержня в момент времени t : u, u, f, ϕ,.3 где f и ϕ заданные функции. Найдём решение начально-краевой задачи.9.3 методом разделения переменных. Как и выше, представляя ненулевое частное решение уравнения.9 в виде.6, после обычных преобразований, характерных для метода разделения переменных, получим уравнения.8 и.9. Подставляя.6 в граничные условия.3,.3, находим X X..33 Таким образом, для определения функции X теперь приходим к задаче на собственные значения. 33. Общее решение уравнения. имеет вид X C si λ C cosλ.
Лекция 3. Метод Фурье
Метод Фурье — один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.
Общая схема метода Фурье.
Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.
Основная лемма метода Фурье.
Если в прямоугольнике R плоскости XOY:
для некоторых функций выполняется тождество
то в этом случае
Доказательство. Предположим противное, т.е. что
Тогда существуют значения 
такие, что
Рассмотрим точки (x1,y) и (x2,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому
Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.
Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.
Рассмотрим волновое уравнение
Граничные условия первого рода
И начальные условия
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1. Представим функцию U(x,t) в виде
Найдем частные производные Uxx и Utt и подставим в уравнение (9):
В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая- только от t. Используя основную лемму, заключаем:
Из граничных условий (10) получим
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Она имеет собственные значения и собственные функции
Шаг 3. Подставим найденные значения λn в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (9):
Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В лекции 6 мы изучим их подробнее. В силу линейности и однородности уравнения (9) линейная комбинация этих решений
Замечание 1. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0 0. Об условиях, при которых это можно сделать, будет рассказано в лекции 5.
Шаг 5. Определим коэффициенты Anи Bn в формуле (12), используя начальные условия (11). Из первого начального условия получим
Равенство (13) означает, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля.
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
Из второго начального условия находятся коэффициенты Bn.
Вычислив коэффициенты An и Bn для конкретных начальных функций и подставив их значения в (12), мы получим решение первой начально-краевой задачи.
Замечание 2. Используя формулу (12), можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной τ=at и получим
При этом начальное условие не изменится, а условие преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x,τ) будет иметь вид
Возвращаясь к переменным (x,t), получим
http://docplayer.com/26692557-Kogan-e-a-lopanicyn-e-a-ryady-fure-i-differencialnye-uravneniya-matematicheskoy-fiziki.html
http://vicaref.narod.ru/PDE/index3.htm