Применение систем уравнений к решению задач

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Применение систем линейных уравнений к решению задач с практическим содержанием
методическая разработка на тему

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.

Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью «Технология молока и молочных продуктов».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла

Учебно-методическое пособие Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла разработано для организации самостоятельн.

Методическая разработка бинарного урока «Решение систем линейных уравнений Методом Крамера при изучении второго закона Кирхгофа»

Математика в профессии.

Презентация к уроку «Решение систем линейных уравнений»

Презентация к уроку по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики по теме «Решение систем линейных уравнений». Тема расчитана на 4 учебных часа.

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Презентация на тему «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

ГПОУ «Донецкий политехнический колледж» Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач. Прелодаватель математики Низамова И . В. Донецк 2018

Математика – царица наук Карл Фридрих Гаусс

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, электротехники, программирования и других наук.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных. Система линейных уравнений с n переменными:

Числа aij (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) называются коэффициентами при переменных, а bi (i=1,2,…,m) – свободными членами. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, . kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2. xn дает верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Методы решения: По формулам Крамера; Исключение неизвестных ( метод Гаусса); С помощью обратной матрицы.

Метод Крамера Если главный определитель системы то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: где –определитель, полученный из главного заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Расширенная матрица содержит вместе с коэффициентами при неизвестных свободные члены системы уравнений.

Матричный метод Cистему линейных уравнений записывают в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы; B — столбец свободных членов; X — столбцы решений системы; Матричное уравнение умножают слева на A–1 (матрицу, обратную к матрице A). Так как A− 1A = E, то X = A -1B. Метод применим, если определитель системы не равен 0.

Проверка домашнего задания Решить систему линейных уравнений всеми известными методами

Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач. Цель занятия: формировать умение составлять системы линейных уравнений по текстовому условию задачи; закрепить применение методов Крамера и Гаусса решения систем линейных уравнений.

Доклад №1. Задача по электротехнике Два источника постоянного тока соединены параллельно, имеют E1=11,5 B, r1=2,5 Oм, E1=16,5 B, r1=6 Oм, и нагрузочный резистор сопротивлением Rн=30 Oм. Определить значения и направление токов через источники и нагрузку.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа Для контура, включающего в себя два источника и имеем: Для контура с источником и сопротивлением нагрузки при обходе по часовой стрелке имеем: Подставив числовые данные, получим:

Первое уравнение умножим на 6 и сложим со вторым и третьим. Получим: второе уравнение умножим на (-6) и сложим с третьим. Получим: Отсюда

Доклад №2. Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице. Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования. Тип оборудования Количество оборудования Т1 Т2 Т3 I 3 2 1 II 4 1 2 III 3 5 4

Пусть x ‒ количество единиц I-ого вида транспорта, y ‒ количество единиц II-ого вида транспорта, z ‒ количество единиц III-его вида транспорта. Тогда Решим систему уравнений методом Крамера: Δ = =12+12+20-3-30-32=-21 ; Δх = =380+740+500-185-950-800=-315; х = = 15;

Δу = =1200+570+740-300-1110-1520=-420; у = = 20; Δz = =555+600+1900-285-1500-1480=-210; Z = = 10. Ответ: Транспорта I-ого вида использовано 15 единиц, II-ого вида 20 единиц, а III-го вида 10 единиц.

Доклад №3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тип заготовки Способ раскроя 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5

Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. По условию задачи составим систему уравнений:

Ответ: первым способом раскраивается 90 листов, вторым – 15, третьим – 60.

Доклад №4. Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13. Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед. Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед. Cколько акций каждой группы было куплено?

Пусть акции I-ой группы было куплено х штук, акций II-ой группы y штук, акций III-ей группы z штук. Согласно условию задачи имеем: Решим систему уравнений методом Крамера: Δ = = = 1400+3040+1716-1456-2090-2400=210;

= = 135800+250800+157300-120120-202730-220000=1050; = = 55000+73720+51480-57200-62700-58200=2100; = = 46200+88000+64020-54320-60500-79200=4200; x = = 5; y = = 10; z = = 20; Ответ: Акций I-й группы было куплено 5 штук, акций II-ой группы было куплено 10 штук, акций III-ей группы было куплено 20 штук.

Карл Фридрих Гаусс Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 г. Гаусс с детства проявлял все признаки гениальности. Главный труд всей своей жизни, «Арифметические исследования», юноша закончил ещё в 1798 г. В 1799 г. Гаусс заочно защищает диссертацию. Самым знаменитым трудом, проделанным Карлом Фридрихом Гауссом, была работа под названием «Теория движения небесных тел». Именно в ней ученый предложил теорию возмущения орбит. Знаменитая теорема алгебры, термин «гауссова кривизна», основы дифференциальной геометрии вошли в основу фундаментальных математических законов.

Габриэль Крамер Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике. Крамер является одним из создателей линейной алгебры. В работе «Введение в анализ алгебраических кривых» Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Закрепление нового материала. Задача №1. Рассчитать сложную электрическую цепь, если E1=246 B, R1=0,3 Ом, E2=230 B, R2=1 Ом, R3=24 Ом, RВТ1= RВТ2=0.

Задача №2. Предприятием по производству бытовой техники в 1 квартале выпущено 4000 вентиляторов, 2000 миксеров и 6000 электрочайников на общую сумму 23 млн рублей. Во 2 квартале выпущено 3000 вентиляторов, 1000 миксеров и 4000 электрочайников на общую сумму 15,6 млн рублей. В 3 квартале выпущено 1000 вентиляторов, 3000 миксеров и 1000 электрочайников на общую сумму 7,8 млн рублей. Найти стоимость одного вентилятора, одного миксера и одного электрочайника.

Рефлексия Выберите смайлик, характеризующий ваше состояние на занятии.

Домашнее задание. Если ширину производственной прямоугольной площадки увеличить на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 32 ; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 39 . Найдите длину и ширину площадки.