Применение системы линейных уравнений к решению задач

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Применение систем линейных уравнений к решению задач с практическим содержанием
методическая разработка на тему

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.

Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью «Технология молока и молочных продуктов».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла

Учебно-методическое пособие Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла разработано для организации самостоятельн.

Методическая разработка бинарного урока «Решение систем линейных уравнений Методом Крамера при изучении второго закона Кирхгофа»

Математика в профессии.

Презентация к уроку «Решение систем линейных уравнений»

Презентация к уроку по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики по теме «Решение систем линейных уравнений». Тема расчитана на 4 учебных часа.

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Методическая разработка открытого занятия по теме «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики

Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Донецкий политехнический колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия по теме:

« Применение систем линейных уравнений

для решения прикладных задач »

дисциплина: ЕН.01 Математика

специальность: 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине ЕН.01 Математика на тему «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач».

Подготовила Низамова И.В . – преподаватель Государственного профессионального образовательного учреждения «Донецкий политехнический колледж», 2017.

Изложена методика проведения практического занятия, направленного на изучение студентами темы «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач», с использованием интерактивных форм обучения и мультимедийных средств обучения.

Для преподавателей математики Государственных профессиональных образовательных учреждений.

1.Орлова И. С., председатель предметной цикловой комиссии математических дисциплин, специалист высшей квалификационной категории, Государственное профессиональное образовательное учреждение « Донецкий политехнический колледж » ;

2. Рыженко О. В., заместитель директора по учебной работе, преподаватель математики, специалист высшей квалификационной категории, преподаватель-методист, Государственное профессиональное образовательное учреждение « Донецкий колледж технологий и дизайна» Государственной организации высшего профессионального образования « Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского».

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии математических дисциплин (протокол № 3 от 09 октября 2017 г.)

Председатель комиссии И. С. Орлова

Мотивация учебной деятельности ………………………………………….

Актуализация опорных знаний студентов…………………………………..

Проверка домашнего задания………………………………………………..

Формулирование темы, цели и задач занятия………………………………

Восприятие и осмысление нового материала……………………………….

Закрепление нового материала………………………………………………

Во все времена математика была основой научно-технического и экономического развития народов, решала различные практические задачи. Во многих из них бывает нужно найти несколько неизвестных величин, зная, каким образом они связаны между собой . Такие задачи и приводят нас к составлению и решению систем уравнений. Задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими неизвестными встречаются еще в вавилонских и египетских рукописях II века до н.э., а также в трудах древнегреческих, индийских и китайских мудрецов. В настоящее время к системам уравнений сводятся многие задачи экономического, управленческого, технологического характера. Методы решения системы уравнений зависят от типа системы. Например, решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо известны ( метод Крамера , метод Гаусса , матричный метод , метод итераций и т.д.). Для нелинейных же систем общего аналитического решения не найдено, они решаются разного рода численными методами.

Цель нашего занятия – формировать умение составлять математические модели, формализовать текстовые условия задач с несколькими неизвестными, а затем находить их решения с помощью различных изученных методов линейной алгебры. Известно, что самым надежным свидетельством освоения изучаемого материала является способность обучающихся вести беседу по конкретной теме. В данном случае целесообразно провести занятие-конференцию. Такая форма занятия является инновационной и требует тщательной подготовки. Обучающиеся заранее получают задание самостоятельно подобрать условия задач профессионального, экономического, общеобразовательного содержания, решить их, подготовить презентацию и представить свою работу для обсуждения и оценки. Они самостоятельно работают над заданием, пользуясь рекомендованной литературой и интернет – ресурсами. Подготовка и проведение занятия подобного типа стимулирует обучающихся к дальнейшему углублению знаний, а также расширяет кругозор, воспитывает логическое и творческое мышление, внимание, трудолюбие, настойчивость.

Группа АП — 16-1 «8» ноября 2017 г.

Тема занятия: Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач.

Цель занятия:

Методическая:

продемонстрировать методику проведения практического занятия с использованием интерактивных форм обучения и мультимедийных средств обучения.

формировать умение составлять системы линейных уравнений по текстовому условию задачи;

закрепить применение методов Крамера и Гаусса решения систем линейных уравнений ;

формировать навыки самостоятельной работы студентов при выполнении поставленной задачи.

Воспитательная:

способствовать формированию познавательного интереса, развития общих и профессиональных компетенций в процессе обучения;

воспитывать внимание, трудолюбие, настойчивость ;

развивать логическое и творческое мышление , умение анализировать и делать выводы.

Тип занятия: практическое

Форма проведения занятия: занятие-конференция

повторение и обобщение темы с использованием презентации;

Обеспечивающие: элементарная математика.

Обеспечиваемые: электротехника, экономика организации, менеджмент, программирование.

учебная программа, методическая разработка занятия, доклады, раздаточный материал, презентация.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. — М.: Дрофа – 2010.- 400 с.

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. — 2-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 384 с.

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум, – Москва.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479стр.

2. Высшая математика: задачник : учеб. пособие / Е. А. Ровба [и др.]. – Минск : Выш. шк., 2012. – 319 с.

3. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА, 2009. — 373 с.

2. http://window.edu.ru – Единое окно доступа к образовательным ресурсам.

4. https://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.htm Применение линейной алгебры в экономике

Технические средства обучения: мультимедийный комплекс.

Студент должен знать:

значение математики при освоении профессиональной образовательной программы;

основные методы решения систем линейных уравнений .

Студент должен уметь:

формализовать данные и составлять математические модели;

применять математические методы для решения профессиональных задач.

Восприятие и осмысление нового материала