Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств

«Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств»

Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:

– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?

– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?

– Каков алгоритм решения?

– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.

В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.

Скачать:

Вложение	Размер
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx	1.87 МБ
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx	1.87 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики

Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ

Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2

Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = — монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2

Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 — x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 — x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.

а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:

Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).

Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n — натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.

Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим

Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:

Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .

Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z

В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:

Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность

Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .

Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности

|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .

Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к

Подписи к слайдам:

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Так как , то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f ( t ) достаточно проверить левый край данного отрезка. З . А истинным является Значит , , что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = ( ) ( ) 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство ( , из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U <2>U [ 4; +∞ ). Ответ: (—∞; — 1] U <2>U [4; +∞).

Пример 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений Решение. Поскольку и sin x 1, из первого уравнения следует, что a 6. Поскольку из второго уравнения системы следует, что a 0. Таким образом, 0 .Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: . Поскольку , из последнего уравнения следует, что , откуда a . Учитывая все 3 неравенства 0 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 . Пусть a 0 . Тогда из второго уравнения данной системы получим y .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x , откуда x , n Z .При a , x , n Z , y третье уравнение системы, очевидно, выполнено. Пусть a . Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y Тогда второе уравнение данной системы принимает вид , и, значит, z При a x , последнее уравнение данной системы принимает вид . Из двух значений z только z принимает вид . Ответ: ( , k , при a=6 Свойство ограниченности

Решение. Необходимо выполнение условия ,откуда . При x = уравнение примет вид . Получим уравнение откуда или . Корнями двух последних уравнений являются При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При уравнение примет вид . Корнями того уравнения являются числа Значит, при 5 уравнение имеет больше одного корня. При и уравнение принимает вид . Теперь раскрываем модуль При уравнение сводится к уравнению , откуда Последнее уравнение, квадратное относительно , не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При уравнение принимает вид и имеет единственный корень При получаем уравнение , откуда . И оно тоже не имеет корней как и при . Следовательно, при данное уравнение имеет единственный корень. Ответ: <3;7 >. Пример 3 . Найти все значения параметра a ,при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. Свойство инвариантности

Свойство инвариантности Пример 4. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если ( ) решение системы, то и ( ) Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие . При y система имеет вид Если x Пусть a Тогда данная система имеет вид Поскольку Тогда Таким образом , 3 Следовательно, 3 , причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 Получаем систему откуда Значит, при a данная система имеет единственное решение (-1;0). При a система имеет более одного корня. Ответ: a

Итоги моей работы В своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду. Р ешение заданий типа 20. Цели , которые я поставила перед собой были достигнуты .

Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (352 кБ)

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.
И.Г. Цейтен

Цели урока:

дидактические: продолжить формирование умений применять различные способы решения неравенств; совершенствовать навыки решения неравенств различными методами;
развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь;
воспитательные: воспитывать у учащихся такие качества личности как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Тип урока: урок систематизации и обобщения изученного материала

Структура урока:

Организационный этап.
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Этап обобщения и систематизации изученного.
Этап подведения итогов.
Этап информации учащихся о домашнем задании.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация “Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”, доска, мел, раздаточный материал для работы на уроке и домашним заданием.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный этап.
Здравствуйте, рада вас всех видеть!		Ответы учащихся: Здравствуйте!
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: “Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах”.

При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать “иной взгляд” на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока…

Но для начала — вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.

“Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”.Слайд 3

Что называется функцией?Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.Какие свойства функций вам известны?Область определения функции.

Область значений (область изменения).Ограниченность функции.

Возрастание, убывание функции.

Четность, нечетность функции.

Периодичность функции.Что называется областью определения функции?Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.Что называется областью значения функции?Область значений (область изменения) – множество всех значений функции .

Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.Что понимается под монотонностью функции?

Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.3. Этап обобщения и систематизации изученного.Судя по тем вопросам, которые я задала вам в начале урока, как вы думаете, какие свойства легли в основу методов, которые мы с вами сегодня будем разбирать? Слайд 3Область определения, ограниченность функции, её монотонность.Для более удобного рассмотрения нестандартных методов я составила для вас таблицу. Она у каждого из вас. С её помощью на сегодняшнем уроке мы разберём три метода. Учитель разбирает методы по таблице: пояснения теоретической части, разбор 1-2 примеров (какого — по желанию учащихся). Приложение 2.

Слайды 4 – 7.Ученики слушают объяснения учителя, делая пометки в таблице.А сейчас вы будете работать в группах. Каждая группа выберет себе задание. Затем представитель от группы представит решение.

1 группа. Решить уравнение .

2 группа. Решить неравенство .

3 группа. Решить неравенство .Учащиеся работают в группах.Защита решений. Слайд 8От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения).

1группа. .

Решение: при решении используем ограниченность функций и квадратичной функций:

1. для любого х из R.

2. .

Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют “точек соприкосновения”. Значит уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2 группа. .

Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства.

ОДЗ: .

х=1 не является решением. Тогда при получим, что , а . Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка.

Ответ:

3 группа. .

Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство.

Рассмотрим функции . Все они непрерывны и строго возрастают на R. значит и сумма этих функций тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что . А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при имеем, а при имеем. Значит решениями являются все .

Ответ: 4.Этап подведения итогов.Ребята, подведём итоги сегодняшнего занятия. Слайд 9.

Какие неравенства мы сегодня рассматривали?
Какими алгоритмами мы пользовались?
Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались?
А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём — минусы?

Учащиеся отвечают, используя записи; рассказывают о своих затруднениях, если они были; высказывают личное мнение о методе.5. Этап информации учащихся о домашнем задании.На следующем занятии мы продолжим решать уравнения и неравенства, с использованием уже других свойств функций. А по теме сегодняшнего урока вам необходимо к следующему уроку выполнить следующее задание (карточки): Слайд 10

2. Творческое задание.

Подумайте, какие “внешние” признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов.

Всем спасибо! Слайд 11

Литература.

П. В. Чулков Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” – М.:”Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учимся решать задачи. 10-11 классы: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа. 2002 г.
Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. Сборник задач по математике (с решениями) – М.: ООО”Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005.

Замечание. По данной теме проводится ещё два урока: 2 урок – использование четности, периодичности, решение задач, 3 урок – самостоятельная работа.

Технологическая карта 11 класс «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта урока математики

Учитель математики Дмитриева Г.Ш.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №55 имени Александра Невского» г. Курска

Алгебра и начала математического анализа

11 класс. Учебник для 11 класса, Никольский С.М.

Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Урок обобщения и систематизации полученных знаний

Формирование навыков решения уравнений и неравенств с помощью свойств функций.

Повторение метода промежутков для уравнений.

Развитие вычислительных навыков учащихся, формирование умения проводить анализ, обобщать, делать выводы.

Воспитание умения вести диалог, самостоятельности мышления, интереса к предмету.

Авторская мультимедийная презентация, экран, кейсы для работы в парах, доска

Формы организации деятельности обучающихся

Индивидуальная работа; работа в парах; фронтальная работа

Формирование навыков решения уравнений и неравенств с помощью использования свойств функций. Умение применять математические знания при выполнении практических заданий.

Умение выдвигать гипотезу, отстаивать или опровергать ее. Умение находить в источниках необходимую информацию для решения математических проблем.

Умение записывать ход решения по образцу. Умение грамотно излагать свои мысли, дополнять и исправлять ответы других учащихся, находить другие способы решения.

Устное сообщение учителя

Учитель приветствует класс, создает позитивный настрой на урок

Приветствуют учителя, настраивают-ся на работу, концентриру-ют внимание, получают позитивный заряд

Регулятивные: способность регулировать свои действия, прогнозиро-вать деятель-ность на уроке

Метод промежут-ков для уравнений и нера-венств

Решение уравнений и неравенств

1. Метод промежутков при решении уравнений с модулем

Устно повторить алгоритм решения уравнения с модулем методом промежутков

На промежутке (-∞;2)

x = -4 — принадлежит промежутку (-∞; 2)

На промежутке [2;3)

x =4 — не принадлежит промежутку [2;3)

На промежутке [3;+∞)

x =6 – принадлежит промежутку [3;+∞)

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня:

2. Метод интервалов для непрерывных функций

D ( f ) – область существования функции f ( x ) – множество решений системы неравенств

Проверка показывает, что числа -2 и 2 являются решениями исходного неравенства.

Нули функции f ( x ) числа 6 и 9 и они не являются решениями исходного неравенства.

Определим знак функции f ( x ) на каждом из четырех интервалов:

Выберем множество всех решений неравенства. Это объединение интервалов (-∞; -2), (2;6), (9;10) и точки -2 и 2.

Ответ: (-∞; -2] U [2;6) U (9;10).

Устно повторяют алгоритм решения уравнения с модулем методом промежутков, применяют его на практике

Регулятивные: способность провести самооценку

Актуализа-ция знаний, умение проводить анализ, обобщать, делать выводы

Использо-вание областей существо-вания функций

Решение уравнений и неравенств

1. Устно вспомнить свойства функций (область определения, неотрицательности, ограничен-ности, монотонности и т.д.), свойства синуса и косинуса.

2. Использование свойств функ-ций при решении уравнений и неравенств

3. Применение теории на практи-ке.

Решим уравнение (учебник п.13.1 пример 1, с.314-315):

Обе части уравнения определены лишь для таких x , которые удовлетворяют системе неравенств:

Этой системе удовлетворяют лишь два числа x =4 и x = -4. Проверка показывает, что число 4 удовлетворяет исходному неравенству, а число -4 – не удовлетворяет неравенству. Следовательно, неравенство имеет единственное решение x=4 .

Устно повторяют свойства функций и свойства синуса и косинуса, применяют знания на практике.

Личностные: осознание своих возмож-ностей; анализируя и вспоминания теорию, нахо-дят необходи-мую информа-цию для реше-ния уравнений и неравенств.

Регулятивные: целеполагание, прогнозирова-ние

Использование неот-рицатель-ности фун-кций, ис-

пользова-ние огра-ниченнос-ти функ-ций

Самостоятельно, работа в парах на местах, два человека за доской

№ 13.2 (а) – решить уравнение

№ 13.4 (а) – решить неравенство

Использование неотрицательности функций

Каждая функция неотрицательна для любого x из области существования и их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю.

x =7 – единственное решение.

Использование ограниченности функций

f ( x ) – квадратичная функция, гра-фик парабола, ветви направлены вверх, вершина (2;1).

– тригонометрическая функция, график синусоида,

Решим любое из них

Проверка показала, что x =2 единственное решение.

Устное сообщение учителя, учащихся

Выводы, проставление отметок

Отвечают на вопросы, получают оценки по результатам выполненной работы

Личностные: умение провес-ти самооценку и организовать взаимооценку.

Регулятивные: построение ло-гической це-почки рассуж-дений и дока-зательство.

Информа-ция о до-машнем задании

Учитель информирует о домашнем задании:

§13, №13.2(б), 13.4(б), 13.8(б), 13.14(б).

Записывают домашнее задание.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 046 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

01.04.2018
607
18

01.04.2018
20872
5

01.04.2018
1540
3

01.04.2018
3032
25

01.04.2018
1063
2

01.04.2018
288
2

01.04.2018
418
6

01.04.2018
283
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

01.04.2018 2171
DOCX 64 кбайт
100 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Дмитриева Галия Шамильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 3 года и 10 месяцев
Подписчики: 0
Всего просмотров: 3564
Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/661107

http://infourok.ru/tehnologicheskaya-karta-klass-ispolzovanie-svoystv-funkciy-pri-reshenii-uravneniy-i-neravenstv-2808317.html