Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

«Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств»

Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:

– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?

– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?

– Каков алгоритм решения?

– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.

В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.

Скачать:

Вложение	Размер
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx	1.87 МБ
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx	1.87 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики

Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ

Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2

Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = — монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2

Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 — x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 — x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.

а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:

Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).

Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n — натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.

Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим

Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:

Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .

Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z

В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:

Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность

Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .

Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности

|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .

Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к

Подписи к слайдам:

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Так как , то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f ( t ) достаточно проверить левый край данного отрезка. З . А истинным является Значит , , что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = ( ) ( ) 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство ( , из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U <2>U [ 4; +∞ ). Ответ: (—∞; — 1] U <2>U [4; +∞).

Пример 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений Решение. Поскольку и sin x 1, из первого уравнения следует, что a 6. Поскольку из второго уравнения системы следует, что a 0. Таким образом, 0 .Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: . Поскольку , из последнего уравнения следует, что , откуда a . Учитывая все 3 неравенства 0 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 . Пусть a 0 . Тогда из второго уравнения данной системы получим y .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x , откуда x , n Z .При a , x , n Z , y третье уравнение системы, очевидно, выполнено. Пусть a . Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y Тогда второе уравнение данной системы принимает вид , и, значит, z При a x , последнее уравнение данной системы принимает вид . Из двух значений z только z принимает вид . Ответ: ( , k , при a=6 Свойство ограниченности

Решение. Необходимо выполнение условия ,откуда . При x = уравнение примет вид . Получим уравнение откуда или . Корнями двух последних уравнений являются При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При уравнение примет вид . Корнями того уравнения являются числа Значит, при 5 уравнение имеет больше одного корня. При и уравнение принимает вид . Теперь раскрываем модуль При уравнение сводится к уравнению , откуда Последнее уравнение, квадратное относительно , не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При уравнение принимает вид и имеет единственный корень При получаем уравнение , откуда . И оно тоже не имеет корней как и при . Следовательно, при данное уравнение имеет единственный корень. Ответ: <3;7 >. Пример 3 . Найти все значения параметра a ,при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. Свойство инвариантности

Свойство инвариантности Пример 4. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если ( ) решение системы, то и ( ) Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие . При y система имеет вид Если x Пусть a Тогда данная система имеет вид Поскольку Тогда Таким образом , 3 Следовательно, 3 , причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 Получаем систему откуда Значит, при a данная система имеет единственное решение (-1;0). При a система имеет более одного корня. Ответ: a

Итоги моей работы В своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду. Р ешение заданий типа 20. Цели , которые я поставила перед собой были достигнуты .

Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (352 кБ)

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.
И.Г. Цейтен

Цели урока:

дидактические: продолжить формирование умений применять различные способы решения неравенств; совершенствовать навыки решения неравенств различными методами;
развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь;
воспитательные: воспитывать у учащихся такие качества личности как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Тип урока: урок систематизации и обобщения изученного материала

Структура урока:

Организационный этап.
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Этап обобщения и систематизации изученного.
Этап подведения итогов.
Этап информации учащихся о домашнем задании.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация “Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”, доска, мел, раздаточный материал для работы на уроке и домашним заданием.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный этап.
Здравствуйте, рада вас всех видеть!		Ответы учащихся: Здравствуйте!
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: “Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах”.

При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать “иной взгляд” на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока…

Но для начала — вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.

“Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”.Слайд 3

Что называется функцией?Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.Какие свойства функций вам известны?Область определения функции.

Область значений (область изменения).Ограниченность функции.

Возрастание, убывание функции.

Четность, нечетность функции.

Периодичность функции.Что называется областью определения функции?Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.Что называется областью значения функции?Область значений (область изменения) – множество всех значений функции .

Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.Что понимается под монотонностью функции?

Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.3. Этап обобщения и систематизации изученного.Судя по тем вопросам, которые я задала вам в начале урока, как вы думаете, какие свойства легли в основу методов, которые мы с вами сегодня будем разбирать? Слайд 3Область определения, ограниченность функции, её монотонность.Для более удобного рассмотрения нестандартных методов я составила для вас таблицу. Она у каждого из вас. С её помощью на сегодняшнем уроке мы разберём три метода. Учитель разбирает методы по таблице: пояснения теоретической части, разбор 1-2 примеров (какого — по желанию учащихся). Приложение 2.

Слайды 4 – 7.Ученики слушают объяснения учителя, делая пометки в таблице.А сейчас вы будете работать в группах. Каждая группа выберет себе задание. Затем представитель от группы представит решение.

1 группа. Решить уравнение .

2 группа. Решить неравенство .

3 группа. Решить неравенство .Учащиеся работают в группах.Защита решений. Слайд 8От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения).

1группа. .

Решение: при решении используем ограниченность функций и квадратичной функций:

1. для любого х из R.

2. .

Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют “точек соприкосновения”. Значит уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2 группа. .

Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства.

ОДЗ: .

х=1 не является решением. Тогда при получим, что , а . Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка.

Ответ:

3 группа. .

Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство.

Рассмотрим функции . Все они непрерывны и строго возрастают на R. значит и сумма этих функций тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что . А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при имеем, а при имеем. Значит решениями являются все .

Ответ: 4.Этап подведения итогов.Ребята, подведём итоги сегодняшнего занятия. Слайд 9.

Какие неравенства мы сегодня рассматривали?
Какими алгоритмами мы пользовались?
Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались?
А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём — минусы?

Учащиеся отвечают, используя записи; рассказывают о своих затруднениях, если они были; высказывают личное мнение о методе.5. Этап информации учащихся о домашнем задании.На следующем занятии мы продолжим решать уравнения и неравенства, с использованием уже других свойств функций. А по теме сегодняшнего урока вам необходимо к следующему уроку выполнить следующее задание (карточки): Слайд 10

2. Творческое задание.

Подумайте, какие “внешние” признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов.

Всем спасибо! Слайд 11

Литература.

П. В. Чулков Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” – М.:”Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учимся решать задачи. 10-11 классы: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа. 2002 г.
Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. Сборник задач по математике (с решениями) – М.: ООО”Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005.

Замечание. По данной теме проводится ещё два урока: 2 урок – использование четности, периодичности, решение задач, 3 урок – самостоятельная работа.

Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств
Знакомство с методом мажорант

На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется.
Некоторые математики называют этот метод
по-другому:
«метод математической оценки»,
«метод mini-max».
Это очень красивый метод, и ему непременно следует научиться

Метод мажорант или метод оценки
используется (чаще всего) в уравнениях вида
f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции,
и на области определения данного уравнения наибольшее значение М одной из них
равно наименьшему значению М другой.
Мажорантой (от magiorante – главенствующий)
данной функции f (х) на множестве D( f )
называется такое число М, что
либо f(х) ≤ М для всех х ϵ D( f ),
либо f(х) ≥ М для всех х ϵ D( f ).

Как начинать решать такие задачи?

Решить систему уравнений:
Привести уравнение или неравенство к виду
Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М, из области
определения (уравнения или неравенства), что f(x) ≤ M и f(x) ≥ M.
Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.

Пример 1. Решите уравнение
Решение. Оценим обе части уравнения.
При всех значениях х
верны неравенства:
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Полученная система не имеет решений, так как х = 0
не удовлетворяет второму уравнению.
Ответ: .
Графическая иллюстрация

Пример 2. Решить уравнение
Решение: Оценим обе части уравнения.
При всех значениях х верны неравенства
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит,
х = 0 корень уравнения.
Ответ: х = 0.
Графическая иллюстрация

Пример 3. Решить неравенство
Пусть
тогда неравенство примет вид
Поскольку
и
неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
Обратная замена: х + 1 = 0
Ответ: — 1.
Решение.
Графическая иллюстрация

Пример 4. Решить уравнение
Так как
то левая часть уравнения
Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно
обратных чисел) выполнено
Поэтому уравнение имеет решения, если одновременно выполнены два условия
Решая эту систему, получаем
принимает значение от 0,5 до 2.
Ответ:
Решение. Оценим обе части уравнения.
Графическая иллюстрация

Пример 5. Решить уравнение
Поскольку — 1 ≤ sinx ≤ 1 и — 1 ≤ sin 9x ≤ 1, то
равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
Решением первого уравнения системы являются значения
При этих х найдем
Следовательно,
решение системы.
Ответ:
Решение. Оценим обе части уравнения.

Пример 6. Решить уравнение
Решение. Очевидно, что
почленно эти неравенства, получаем:
Следовательно, левая часть равна правой, лишь при условии:
Значит, данное уравнение равносильно системе уравнений:
Решая
систему
уравнений, получаем:
.
Заметим, что перемножив

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни:
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Для решения уравнения
оценим его части:
Равенство возможно только при условии
Сначала решим второе уравнение:
(верное равенство).
Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0.
Ответ: 0.
При х = -1 имеем:
(неверное равенство).

Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет решения. Найдите эти решения.
При всех значениях х выражение
При всех значения х выражения
Поэтому
Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:
Ответ:
при
Решение. Перепишем уравнение в виде

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Сейчас обучается 115 человек из 42 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Сейчас обучается 233 человека из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Сейчас обучается 351 человек из 63 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 046 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

30.12.2020
2239
7

30.12.2020
1955
0

30.12.2020
2043
0

30.12.2020
2388
5

30.12.2020
2249
0

30.12.2020
1755
1

22.12.2020
1779
3

09.12.2020
2280
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

19.02.2020 61
PPTX 640 кбайт
1 скачивание
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Домославская Ольга Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 1 год и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 24431
Всего материалов: 234

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/661107

http://infourok.ru/primenenie-svojstv-funkcij-k-resheniyu-uravnenij-i-neravenstv-4719812.html