решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме
конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме «решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул». Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометрических уравнений путем преобразования уравнений с помощью основных тригонометрических формул.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
конспект урока «решение тригонометрических уравнений» | 32.68 КБ |
презентация к уроку «решение тригонометрических уравнений» | 855.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема : Применение тригонометрических формул к решению уравнений.
Тип: объяснение нового материала.
Оснащение урока: компьютер, мультимедийный проектор, авторская презентация.
- повторить формулы корней простейших тригонометрических уравнений;
- повторить основные тригонометрические формулы;
- рассмотреть методы решения тригонометрических с применением тригонометрических формул;
- составить алгоритм решения тригонометрических уравнений с применением основных тригонометрических формул;
- проконтролировать степень усвоения основных знаний, умений и навыков, полученных на уроке.
I. Организационная часть
- проверить наличие личного состава;
- проверить готовность к занятию и внешний вид суворовцев;
- объявить тему, ход и метод проведения занятия.
II. Проверка выполнения задания на самоподготовку
- проверить уровень усвоения суворовцами изученного материала;
- активизировать познавательную деятельность суворовцев;
- повторение изученного материала;
- развитие умения суворовцев обобщать и применять ранее полученные знания к решению конкретных задач.
- Работа суворовцев у доски .
Решите уравнения: а) ; б) ; в) .
Найти координаты точки единичной окружности, соответствующей углу: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
Найдите ошибки в решениях тригонометрических уравнений: а) ; б) ; в) ; г) .
Разложите на множители: а) ; б) ; в) .
III. Из истории тригонометрии
- развитие познавательной деятельности суворовцев;
- мотивация изучения данной темы.
– Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являющийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал известные вам формулы приведения, выделил классы четных и нечетных функций. Жизнь Л. Эйлера очень интересна. Я советую вам познакомиться с ней по книге Яковлева “Леонард Эйлер”.
IV. Объяснение нового материала.
- познакомить суворовцев с некоторыми методами решения тригонометрических уравнений;
- развитие аналитического мышления суворовцев;
- развитие познавательной деятельности суворовцев;
- обобщение и систематизация полученных на уроке знаний;
- применение полученных знаний при самостоятельном выполнении заданий;
- проверка и самопроверка усвоения знаний полученных на уроке.
А. Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
Вот мы и займемся уравнениями.
Решение уравнений с применением основного тригонометрического тождества.
Чем схожи и чем различаются уравнения:
Применяя формулу или , преобразуем уравнение или в виде или . Выполнив алгебраические преобразования, получим квадратное уравнение относительно или , которое решается путем замены неизвестного.
в) суворовцы выполняют самостоятельно с последующей проверкой.
Алгоритм решения уравнений с применением основного тригонометрического тождества
- Замена тригонометрической функции.
- Алгебраическое преобразование уравнения.
- Замена переменной.
- Решение квадратного уравнения.
- Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение уравнений с применением формул сложения
Левую часть уравнений
легко преобразовать с помощью формул сложения в виде
Решая полученные уравнения способом замены неизвестного, получим корни исходных уравнений.
№ 11.16 (б) Суворовцы решают самостоятельно с последующей проверкой.
№ 11.17 Суворовцы решают самостоятельно с последующей проверкой.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений с применением формул сложения
- Применив формулу сложения, получить простейшее тригонометрическое уравнение.
- Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
- приобретение суворовцами навыков самостоятельного решения уравнений;
- проверка и самопроверка полученных на уроке знаний;
- развитие аналитического и логического мышления суворовцев;
- самооценка суворовцев уровня усвоения учебного материала.
Проверка самостоятельной работы
Суворовцы проверяют работы друг друга, выставляют оценки: «5» за правильно выполненные все задания, «4» — за три любых уравнения или, «3» — за два первых уравнения, «2» — за один или ни одного примера.
Задание на самоподготовку
- Закрепление материала, изученного на уроке.
- Отработка самостоятельного решения уравнений.
- Развитие логического мышления суворовцев.
- п.11.3, №№ 11.15( б, г ), 11.16( в, г )
- повторить формулы корней простейших тригонометрических уравнений
- Повторить алгоритм решения уравнений с применением основного тригонометрического тождества.
- Повторить алгоритм решения тригонометрических уравнений с применением формул сложения.
- Оценить работу суворовцев на уроке.
Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`
Решение. Используя формулы приведения, имеем:
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Приведение к однородному уравнению
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Переход к половинному углу
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Введение вспомогательного угла
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `\frac
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Способы решения тригонометрических уравнений
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»
Способы решения тригонометрических уравнений
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6
Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.
На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.
Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.
Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.
Основные цели методической разработки:
· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;
· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;
· развитие творческих способностей;
· повышение интереса к предмету;
· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;
· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.
Особенность методической разработки.
Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.
1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4
2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8
7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13
10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Уравнение .
Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:
2. Уравнение .
При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:
3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.
4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:
Способы решения тригонометрических уравнений.
I. Уравнения, приводимые к алгебраическим
Пример. Решить уравнение
Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,
Уравнения для самостоятельного решения:
II. Уравнения, решаемые разложением на множители
Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .
Уравнения для самостоятельного решения:
III. Однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .
Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.
Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .
Уравнения для самостоятельного решения:
IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.
Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;
Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим
Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим
Уравнения для самостоятельного решения:
V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
при решении тригонометрических уравнений.
Уравнения для самостоятельного решения:
VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Пример. Решить уравнение
Уравнения для самостоятельного решения:
VII. Уравнения вида
Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .
Пример.
Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда
Уравнения для самостоятельного решения:
VIII. Уравнения смешанного типа
1. Решите уравнения:
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности
y
Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
2. Решите уравнения.
y
Не удовлетворяет условию
Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию
Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
3. Решите уравнение.
Данное уравнение равносильно системе:
Решим второе уравнение системы:
не удовлетворяет условию
Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .
Ответ:
4. Решите уравнения.
Число корней на .
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.
Число решений на равно 5.
а)
Найти число решений на .
б) .
Найти число решений на
в)
Найти число решений на .
г) .
Найти число решений на .
5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .
Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.
Аналогичная ситуация с формулами
Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.
Примерами таких формул являются:
Ответ:
а) . Ответ: .
в) .
Ответ: .
б) . Ответ: .
г) .
Ответ: .
IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).
Уравнения, приводимые к алгебраическим.
Уравнения, решаемые способом разложения на множители.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Уравнения вида .
Уравнения смешанного типа.
1.
2.Найти наименьший корень уравнения на интервале
3.
Тест. Решение тригонометрических уравнений.
1. Найдите корни уравнения на интервале .
а) ; б) ; в) .
2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
а) ; б) ; в) .
3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу
а) ; б) ; в) .
4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .
а) ; б) ; в) .
Задания для итогового контроля результатов обучения.
1. Решите уравнения:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2. Найдите сумму корней управления
на промежутке .
3. Укажите количество корней уравнения
4. Решите уравнения:
а) ;
б) .
1. а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;
б) .
X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.
Решите уравнение . (С2,2007г.)
ОДЗ уравнения:
Используя способ разложения на множители, получим
или .
не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.
.
Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:
С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:
1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.
2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.
3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.
4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.
5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.
6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.
7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.
8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.
http://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/trigonometricheskie-uravnenija/
http://pandia.ru/text/80/263/1615.php