Применение уравнений прямых и плоскостей в пространстве примеры

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Уравнение прямой, плоскости и сферы

306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.

Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»

Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.

З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ: Самостоятельная работа

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве

Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу

П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.

Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0

0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно

Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.

Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.

Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением

Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0

Решить задания №1, №2

О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

R – радиус сферы, т. О – центр сферы.

Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.

Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .

Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.

1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64

2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,

Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.

Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6

Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.

Уравнения прямых и плоскостей

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref и \eqref определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Рис. 6.1

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда \(M\) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки \(M\) найдется такое число \(t\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t\boldsymbol.\label
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref в качестве \(t\), вектор \(\boldsymbol\) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение \eqref называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина \(t\), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol_<0>\) — радиус-вектор ее начальной точки \(M_<0>\). Пусть точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol\) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец \(M\) также лежит на плоскости. Так как \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка \(M\) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа \(t_<1>\) и \(t_<2>\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t_<1>\boldsymbol

+t_<2>\boldsymbol.\label
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref определит некоторую точку плоскости.

Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Прямая линия на плоскости.

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref.

Уравнение \eqref линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид \(a_<2>x-a_<1>y+(a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>) = 0\), то есть \(Ax+By+C = 0\), где \(A = a_<2>\), \(B = -a_<1>\) и \(C = a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>\).

Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref в общей декартовой системе координат, а точку \eqref за начальную точку.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol(A, B)\) перпендикулярен прямой с уравнением \eqref.

Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol) = -BA+AB = 0\).

Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol_<1>\) к \(\boldsymbol_<2>\) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. \(k=\operatorname\varphi = -1\). Прямая \(y=-x+1/2\)

Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref, получаем \(y = b\). Это означает, что свободный член уравнения \(b\) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref, то обязательно \(A \neq 0\). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид \(x = x_<0>\), где \(x_ <0>= -C/A\) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol

, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol = [\boldsymbol

, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref в виде
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0.\label
$$

Уравнения \eqref и \eqref называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в \eqref \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\), получим
$$
(\boldsymbol, \boldsymbol)+D = 0.\label
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref и \eqref,
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0\ \mbox<или>\ (\boldsymbol, \boldsymbol)+C = 0.\nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) перпендикулярен ненулевому вектору \(\boldsymbol\), перпендикулярному направляющему вектору \(\boldsymbol\), и потому коллинеарен \(\boldsymbol\).

Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol\) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) при \(\boldsymbol \neq 0\) записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\), где \((A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0)\).

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol_<0>\) и \(\boldsymbol \neq 0\), что в заданной общей декартовой системе координат \(Ax+By+Cz+D = (\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol\) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(x\boldsymbol_<1>+y\boldsymbol_<2>+z\boldsymbol_<3>-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) и
$$
A = (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol),\ B = (\boldsymbol_<2>, \boldsymbol),\ C = (\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)\label
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol\) не может быть ортогонален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol\) из равенств \eqref, считая \(A\), \(B\) и \(C\) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
\boldsymbol = \frac_<2>, \boldsymbol_<3>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<3>, \boldsymbol_<1>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<1>, \boldsymbol_<2>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>.\label
$$

Вектор \(\boldsymbol_<0>\) должен удовлетворять условию \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\). Один из таких векторов можно найти в виде \(\boldsymbol_ <0>= \lambda \boldsymbol\). Подставляя, видим, что \(-\lambda(\boldsymbol, \boldsymbol) = D\), откуда \(\boldsymbol_ <0>= -D\boldsymbol/|\boldsymbol|^<2>\).

Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<0>\) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol)+y(\boldsymbol_<2>, \boldsymbol)+z(\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)-(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).

Это сразу вытекает из формул \eqref и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.

Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref, можно принять за направляющие векторы плоскости.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах \eqref и \eqref \(\lambda \neq 0\), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<1>\) коллинеарны, и существует такое число \(\lambda\), что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). В силу уравнений \eqref \(A_ <1>= (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<1>) = \lambda(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol) = \lambda A\). Аналогично доказываются и остальные равенства \eqref. Обратно, если равенства \eqref выполнены, то из формулы \eqref следует, что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.

Условия \eqref выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами \((A, B)\) и \((A_<1>, B_<1>)\). Точно так же условия \eqref означают коллинеарность векторов с компонентами \((A, B, C)\) и \((A_<1>, B_<1>, C_<1>)\). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end =
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end =
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

При условии \eqref система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end\right.\label
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end^ <2>+
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end^ <2>+
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end^<2>
\neq 0.\label
$$

Разумеется, систему \eqref можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = \frac><\alpha_<1>>,\ t = \frac><\alpha_<2>>,\ t = \frac><\alpha_<3>>,\nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\ \frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Уравнения \eqref представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная \(x\)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref. По условию \eqref один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что \(AB_<1>-A_<1>B \neq 0\). В силу утверждения 9 при любом фиксированном \(z\) система уравнений будет иметь единственное решение \((x, y)\), в котором \(x\) и \(y\), разумеется, зависят от \(z\). Они — линейные многочлены от \(z\): \(x = \alpha_<1>z+\beta_<1>\), \(y = \alpha_<2>z+\beta_<2>\).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref при значении \(z = 0\).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end,\
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end,\
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end.\label
$$

Вектор с компонентами \eqref есть направляющий вектор прямой с уравнениями \eqref, какова бы ни была декартова система координат.

Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref ненулевой в силу неравенства \eqref. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.