Применяя ряд тейлора решить уравнение

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени x n , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o ( x n ) .

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n , до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого выполняем преобразования.

.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида 0/0 . Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.

Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0 . Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x :
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t :
(П4.3) .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x : . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x : , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:

.
Подставляем в предел:

.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0 . Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;

;

.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :

.

Подставляем в исходную функцию.

.
Находим предел.
.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;

;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;

;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что .

;
.

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-04-2019

Разложение функции в ряд Тейлора

Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.

Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале. Разложение ряда Тейлора по степеням x (при a=0) является частным случаем и называется разложением Маклорена.

Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.

• : x^a

Формула Тейлора и ее применение с примерами решения

Содержание:

Формула Тейлора и ее применение

Формула Тейлора

Теорема: Если функция

Эта формула была получена в 1715 г. Бруком Тейлором, который был учеником Исаака Ньютона, и носит его имя. Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом, вид которого установил Лагранж: величина

В этой формуле неизвестной является только величина причем в указанном интервале согласно теореме Лагранжа такая точка всегда присутствует, хотя бы в единственном числе. Если зафиксировать начало интервала, а его конец считать переменной величиной, то формула Тейлора принимает вид:

При a = 0 формула Тейлора переходит в формулу Маклoрена:

Пример:

Представить по формуле Маклорена функцию ограничившись n=2.

Решение:

Вычислим три первых производных заданной функции:

При х = 0 получим Остаточный член имеет вид Следовательно, при n = 2 заданная функция по формуле Маклорена имеет вид: Отметим, что полученное выражение справедливо при Решим найденное равенство относительно величины Отсюда получаем Следовательно, Так как выражение под радикалом 4-ой степени должно быть неотрицательным и Таким образом, из двух корней теореме Тейлора удовлетворяет только корень который действительно лежит между нулем и х.

Замечание: При n = 0 формула Тейлора дает формулу конечных приращений:

(см. теорему Лагранжа ТЗ Лекции №18). При n = 1 получаем Если положить то получим формулу

Применение формулы Тейлора

Если известны величины то формула Тейлора позволяет вычислить значение функции в некоторой точке х. В зависимости от требуемой степени точности вычислений достаточно бывает вычислить два, три или несколько первых слагаемых в формуле Тейлора. Для оценки погрешности вычислений необходимо помнить, что величина в остаточном члене в форме Лагранжа лежит в пределах от а до х.

Пример:

Представить функцию по формуле Маклорена.

Решение:

Так как Следовательно, где Отсюда следует,

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

Так как основание Следовательно, при х = 1/2 остаточный член равен При n = 3: остаточный член Следовательно, удерживая пять первых слагаемых в формуле Маклорена, получим с требуемой точностью, что

Пример:

Вычислить число е с точностью

Решение:

Согласно результатам, полученным в предыдущем примере, для достижения требуемой точности, подсчитаем остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа

При n = 6 имеем

при n = 7 получаем

Итак,

Если вычислять значение числа е с точностью то потребуется взять 13 первых слагаемых, при этом Аналогично формула Маклорена-Тейлора применяется для вычисления и других функций. Например, для вычисления натуральных логарифмов используется формула:причем

Пример:

Вычислить с точностью

Решение:

В данном примере х = -0,1. Так как следовательно, остаточный член При n = 1 получаем Следовательно, достаточно взять первый член в формуле Маклорена-Тейлора

Формула тейлора

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение

Пусть тогда (14.1) перепишется в виде
Рассмотрим многочлен
Многочлен обладает следующими свойствами:

Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке . Найдем многочлен

обладающий аналогичными свойствами:

Из (14.2), (14.3) следует, что

Поэтому коэффициенты многочлена (14.2) задаются формулой

Далее

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты
многочлена задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.
Теорема 14.1. Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема в точке , тогда

где – бесконечно малая функция более высокого порядка
малости, чем
Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности в виде – остаточным членом в форме Пеано.
Если функция то (14.5) перепишется в виде

формула Маклорена.
Если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности
точки , то остаточный член можно представить в виде
остаточный член в форме Лагранжа и формула

называется формулой Тейлора порядка n с остаточным членом в форме
Лагранжа.

Пример 14.1
В условиях примера 9.4 оценим погрешность вычисления значений
Решение
Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

Поэтому

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Пример 14.2
Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции y=sin x:

(см. упражнение 10.1)

Таким образом, и по формуле (14.6)

Аналогично

Формулы (14.7)–(14.11) называются основными разложениями.

Пример 14.3
Разложить по формуле Маклорена до члена используя основные разложения. Оценить погрешность при
Решение
Пусть Тогда (см. формулу (14.10))

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

поэтому
Таким образом, и погрешность при меньше чем

Пример 14.4
Найти
Решение
Воспользуемся разложением (14.7):

Тогда

• Интегрирование рациональных дробей
• Интегрирование тригонометрических функций
• Интегрирование тригонометрических выражений
• Интегрирование иррациональных функций
• Непрерывность функций и точки разрыва
• Точки разрыва и их классификация
• Дифференциальное исчисление
• Исследование функций с помощью производных

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.