Пример решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃,x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
22x₂ = 14x₄ — x₃ — 24x₅
6x₁ + 2x₂ = — 2x₄ — 11x₃ — 6x₅
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂ через свободные x₃,x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₂ = 0.64x₄ — 0.0455x₃ — 1.09x₅
x₁ = — 0.55x₄ — 1.82x₃ — 0.64x₅
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x₃,x₄,x₅ значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x₁,x₂.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Решение

Задача . Найти общее решение системы. Проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства). Решение Пример 3
Пример 4

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $\left \ < \begin& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\\ & -4x_1+5x_2+3x_4=0. \end \right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $\left(\begin 1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end \right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть

Прежде чем дать определение этим терминам, стоит вспомнить, что означает фраза «ранг матрицы равен $r$». Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют. Теперь можно дать следующее определение:

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_$.

Часто вместо словосочетания «фундаментальная система решений» используют аббревиатуру «ФСР». Если решения $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_$ образуют ФСР, и $X$ – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

$$ X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+\ldots+C_\cdot \varphi_, $$

где $C_1$, $C_2$. $C_$ – произвольные постоянные.

Что значит «линейно независимые решения»? показать\скрыть

В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.

Решения $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots$, $\varphi_n$ называются линейно зависимыми, если существуют такие константы $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\ldots,\alpha_n$, что выполняется следующее равенство:

$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\ldots+\alpha_n\cdot \varphi_n=O $$

при условии, что среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.

Если же указанное выше равенство возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$, то система решений называется линейно независимой.

Буква «$O$» в данном определении обозначает нулевую матрицу. Проще всего пояснить это определение на конкретном примере. Давайте рассмотрим ту СЛАУ, о которой шла речь в начале темы. Мы уже проверили, что $\varphi_1=\left(\begin 1 \\-1 \\2 \\3 \end\right)$ – решение данной СЛАУ. Точно так же можно показать, что $\varphi_2=\left(\begin 16 \\ 11 \\ -4 \\ 3 \end\right)$, $\varphi_3=\left(\begin -5 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \end\right)$, $\varphi_4=\left(\begin 7 \\ 5 \\ -2 \\ 1\end\right)$ – решения данной системы.

Примем $\alpha_1=-1$, $\alpha_2=0$, $\alpha_3=4$, $\alpha_4=3$. Выясним, чему же равно выражение $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4$:

$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4= -1\cdot \left(\begin 1 \\-1 \\2 \\3 \end\right)+ 0\cdot \left(\begin 16 \\ 11 \\ -4 \\ 3 \end\right)+ 4\cdot \left(\begin -5 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \end\right)+ 3\cdot \left(\begin 7 \\ 5 \\ -2 \\ 1\end\right)=\\ =\left(\begin -1+0-20+21\\ 1+0-16+15 \\ -2+0+8-6 \\ -3+0+0+3\end\right)= \left(\begin 0\\ 0\\ 0\\0\end\right). $$

Итак, существуют такие значения констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4=O$. Вывод: совокупность решений $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ – линейно зависима.

Для сравнения: равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2=O$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=0$ (я не буду это доказывать, поверьте на слово 🙂 ). Следовательно, система $\varphi_1$, $\varphi_2$ является линейно независимой.

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ \left( \begin 3 & -6 & 9 & 13 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & 0 \end \right) \rightarrow \left|\begin & \text<поменяем местами первую и третью>\\ & \text<строки, чтобы первым элементом>\\ & \text <первой строки стала единица.>\end\right| \rightarrow \\ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ -1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -6 & 9 & 13 & 0 \end \right) \begin \phantom <0>\\ II+I\\ III-3\cdot I\end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end\right) \begin \phantom <0>\\ \phantom<0>\\ III-II\end \rightarrow \\ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right). $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $\left( \begin 3 & -6 & 9 & 13 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \end \right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

$$ M_<2>^<(1)>=\left| \begin 1 & -2 \\ 0 & 0 \end\right|=1\cdot 0-(-2)\cdot 0=0. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:

$$ M_<2>^<(2)>=\left| \begin 2 & 3\\ 3 & 4 \end\right|=2\cdot 4-3\cdot 3=-1. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_2$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$ от нулевой строки:

$$ \left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end\right) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end\right)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=0$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ \left( \begin 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 3 & 0 & -4 \end\right) \begin \phantom <0>\\ II:3 \end \rightarrow \left( \begin 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end\right) \begin I-2\cdot II \\ \phantom <0>\end \rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 2 & -1/3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end\right). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:

Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(2x_2-\frac<1><3>x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-\frac<4><3>x_4\right)+13x_4=0. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $\left(\begin 1 & 0 \\0 & 1\end\right)$. Таблица будет выглядеть так:

Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:

Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:

Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:

Найденные значения $x_1=-\frac<1><3>$ и $x_3=-\frac<4><3>$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:

Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=\left(\begin x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \end\right)$. В том же порядке, в котором в матрице $X$ перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

$$ \varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right);\; \varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right). $$

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: $\left\ <\begin& x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4;\\ & x_2\in R;\\ & x_3=-\frac<4><3>x_4;\\ & x_4 \in R. \end\right.$. Или так: $X=C_1\cdot\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы. Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$.

Записать ФСР однородной СЛАУ

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.

Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$. Общее решение: $X=C_1\cdot\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

,

,

,

,

.

.

Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития: