Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad
Краткие теоретические сведения
Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:
rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;
Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;
Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.
Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.
y – вектор начальных условий из k элементов ( k – количество уравнений в системе);
x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;
p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;
D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.
Результатом работы функции является матрица из p +1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.
На рисунке 2.7.1 приведены конкретные примеры решения различных дифференциальных уравнений и систем ОДУ в MathCAD .
Рисунок 2.7.1 – Примеры решения дифференциальных уравнений и систем
При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y 1 , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y , границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.
При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v , и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица s , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.
На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции rkfixed . Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:
Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью rkfixed
Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.
Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.
На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора а, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.
Практическая часть темы 7
7.1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Последовательность действий для р ешения дифференциального уравнения первого порядка такова:
q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN );
q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:
· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( x , Y );
· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN = 0 , подставлять );
q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:
· первый – имя вектора начальных условий,
· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,
· пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;
например: ,
(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);
q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;
q построить график найденной функции ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец ( если ORIGIN = 0 , набирать соответственно и ).
Пример 7.1 Найти численное решение дифференциального уравнения первого порядка на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y (0)=0.1.
Выполнить графическую интерпретацию результатов.
7.2 Решение систем дифференциальных уравнений
Последовательность действий для р ешения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN =0 ):
q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,
например, систему можно преобразовать в ;
q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);
например, ;
q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:
· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( t , V );
(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)
· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)
· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,
;
q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:
· первый – имя вектора начальных условий,
· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,
· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,
· пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;
например: ,
(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т. д.);
q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;
q построить графики найденных функций ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т. д.
Пример 7.2 Найти решение системы дифференциальных уравнений
на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x (0)=0.1 и y (0)=1.
Выполнить графическую интерпретацию результатов.
Пример решения уравнений в mathcad
Электронный курс по MathCAD
Лекция 5.
Решение уравнений и систем.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
5.3 Задание.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
Линейные алгебраические уравнения.
Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством Gx, a из Ga , b из Gb называется линейным уравнением.
Этапы решения при помощи Mathcad:
- Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
- Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
- Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).
При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.
Нормальный случай.
Дробные уравнения