Метод конечных элементов. решение плоской задачи
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи
4.1. Содержание метода.
Метод конечных элементов (MKЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Он широко применяется при проектировании судов, летательных аппаратов, несущих систем многоэтажных зданий и т. п. Для МКЭ характерна ясная физическая трактовка. Его можно рассматривать, в частности, как обобщение классического метода строительной механики — метода перемещений. С другой стороны МКЭ является своеобразной формой часто применяемого вариационного метода Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и МКЭ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции (обычно ряды) задаются для всей области, то в МКЭ они задаются для ее частей и через множество этих функций определяется состояние системы.
 |
Классический подход к задаче об изучении напряженно-деформированного состояния диска (рис. 4.1) предполагает изучение бесконечно малого его элемента. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения в частных производных (равновесия и геометрические) совместно с физическими уравнениями и контурными условиями позволяют определить напряжения, деформации и перемещения в каждой точке диска.
Метод конечных элементов предполагает иной подход. Рассматривается элемент конечных размеров, за счет чего осуществляется переход от сплошной системы с бесконечным числом степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы.
Разделим воображаемыми линиями диск, изображенный на рис. 4.1, на некоторое количество элементов конечных размеров, например, треугольной формы и примем за узловые точки их вершины. Очевидно, что если диск находится в равновесии то и его элемент, определенный узлами i, j, k, под воздействием напряжений (усилий) от смежных элементов, также уравновешен. Приложим затем к е-му элементу вместо фактических усилий, действующих вдоль его граней статически эквивалентные узловые силы, т. е. силы, вызывающие внутри элемента действительное напряженно-деформированное состояние (рис. 4.2.).
 |
Поставив в соответствие каждому узловому усилию узловое перемещение (рис. 4.2, (б)) представим сплошной диск набором конечных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек.
Такой подход позволяет в дальнейшем использовать один из известных классических методов строительной механики, например метод перемещений (возможно также применение метода сил, либо смешанного). Для этого необходимо установить матрицы жесткости всех конечных элементов и, из условия равновесия узлов, получить разрешающие уравнения задачи. Найденные узловые перемещения не дают, однако, полной характеристики напряженно-деформированного состояния диска. Необходим переход от этих величин к перемещениям, напряжениям и деформациям внутри конечных элементов, т. е. речь идет о решении плоской задачи для каждого конечного элемента, находящегося под воздействием узловых перемещений. Такой переход в МКЭ осуществляется приближенно, путем задания интерполяционных (координатных) функций (функций формы), что и делает метод приближенным. Функции эти (обычно полиномы) такие, что обеспечивают неразрывность перемещений при переходе от одного элемента к другому.
Естественно, что при реализации МКЭ возникает необходимость приведения действующих на конструкцию нагрузок к сосредоточенным узловым силам.
Обычно все зависимости, связанные с конечным элементом, строятся в местной системе координат, с последующим переходом в общую систему для всей области. Это позволяет заранее получить необходимые соотношения для часто применяемых типов конечных элементов.
Решение задач по методу конечного элемента содержит следующие этапы:
1. Разбиение заданной области на конечные элементы. Нумерация узлов и элементов.
2. Построение матриц жесткости конечных элементов.
3. Сведение нагрузок и воздействий, приложенных к конечным элементам, к узловым силам.
4. Формирование общей системы уравнений; учет условий закрепления. Решение системы уравнений.
5. Определение напряжений и (при необходимости) деформаций в. конечных элементах.
4.2. Дискретизация области.
Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.
Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. При этом, с одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получить приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных результатах, с тем, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может сильно меняться.
При решении задач методом конечных элементов используются элементы различных типов. Наиболее распространенные типы элементов приведены в табл. 4.1. Ниже будут рассматриваться в основном трехузловые треугольные КЭ, как наиболее простые и чаще других применяемые для решения плоской задачи.