Пример решения уравнения полного дифференциала

Уравнения в полных дифференциалах

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Рассмотрим уравнение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Полный дифференциал функции U ( x , y ) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:

P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P ( x , y ) ∂ U ∂ y = Q ( x , y )

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + φ ( y )

Функцию φ ( y ) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U ( x , y ) ∂ y = ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y + φ y ‘ ( y ) = Q ( x , y ) ⇒ φ ( y ) = ∫ Q ( x , y ) — ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y d y

Так мы нашли искомую функцию U ( x , y ) = 0 .

Найдите для ДУ ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 общее решение.

P ( x , y ) = x 2 — y 2 , Q ( x , y ) = — 2 x y

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :

∂ P ∂ y = ∂ ( x 2 — y 2 ) ∂ y = — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( — 2 x y ) ∂ x = — 2 y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.

Так как ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y является полным дифференциалом функции U ( x , y ) = 0 , то

∂ U ∂ x = x 2 — y 2 ∂ U ∂ y = — 2 x y

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U ( x , y ) = ∫ ( x 2 — y 2 ) d x + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y )

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) ∂ y = — 2 x y + φ y ‘ ( y )

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = — 2 x y . Это значит, что
— 2 x y + φ y ‘ ( y ) = — 2 x y φ y ‘ ( y ) = 0 ⇒ φ ( y ) = ∫ 0 d x = C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U ( x , y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 — x y 2 + C = 0 .

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки ( x 0 , y 0 ) до точки с переменными координатами ( x , y ) :

U ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y + C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Найдите общее решение дифференциального уравнения ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = 0 .

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :

∂ P ∂ y = ∂ ( y — y 2 ) ∂ y = 1 — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( x — 2 x y ) ∂ x = 1 — 2 y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки ( 1 ; 1 ) до ( x , y ) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки ( 1 , 1 ) до ( x , 1 ) , а затем от точки ( x , 1 ) до ( x , y ) :

∫ ( 1 , 1 ) ( x , y ) y — y 2 d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y + + ∫ ( x , 1 ) ( x , y ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ 1 x ( 1 — 1 2 ) d x + ∫ 1 y ( x — 2 x y ) d y = ( x y — x y 2 ) y 1 = = x y — x y 2 — ( x · 1 — x · 1 2 ) = x y — x y 2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y — x y 2 + C = 0 .

Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Так как ∂ ( y · cos x ) ∂ y = cos x , ∂ ( sin 2 x ) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменных и выполнялось условие

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и

поэтому , где пока неопределенная функция.

Интегрируя, получаем . Частная производная найденной функции должна равняться , что дает откуда так что Таким образом, .

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Здесь , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение легко привести к виду непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Поэтому изначальное уравнение можно записать в виде

Следовательно, есть общий интеграл исходного уравнения.

Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал

Такая функция называется интегрирующим множителем . Из определения интегрирующего множителя имеем

Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (5), т.е. найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (5) примет вид

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функцией только . В таком случае найдется квадратурой.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Здесь . Имеем

Уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде

2. Аналогично, если есть функция только , то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Здесь . Имеем

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его можно записать в виде

Пример 5. Решить уравнение , если его интегрирующий множитель имеет вид .

Решение. Положим , тогда , и, следовательно,

Уравнение (5) для нахождения интегрирующего множителя будет иметь вид

и, значит, , откуда , т.е. . Умножая данное уравнение на , получим

Это есть уравнение в полных дифференциалах и его общий интеграл согласно (3) будет

После несложных преобразований будем иметь .

Уравнения в полных дифференциалах

Содержание:

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции двух переменных по определению имеем:

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов

Разность между полным приращением и полным дифференциалом dz есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с т. е.

• Функция, обладающая непрерывными частными производными, заведомо имеет полный дифференциал. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Из формулы (12.1) следует, что

Формулу (12.5) можно переписать так:

Полный дифференциал функции трех переменных вычисляется по формуле

Возможно вам будут полезны данные страницы: