Пример система нелинейных уравнений электрической сети

Системы нелинейных уравнений установившегося режима и методы их решения

Нелинейные уравнения установившегося режима получаем в том случае, если нагрузка или генерация в узлах сети задана в виде постоянной мощнос-ти.

Математическая модель установившегося режима электрической сети в общем виде представляется как система нелинейных алгебраических урав-нений в форме балансов токов или баланса мощностей с комплексными неиз-вестными и коэффициентами при них.

Такие системы уравнений решаются только итерационными методами.

В общем виде уравнения установившегося режима можно представить в виде системы неявных функций:

(1)

где W — вектор-функция,

X и Y — вектор-столбцы независимых и зависимых параметров режима.

Независимые параметры X — это заданные параметры режима (P, Q, U). В ходе расчета они остаются неизменными. Зависимые параметры Y – пара-метры режима, которые вычисляются в результате решения системы урав-нений установившегося режима ( U΄, U˝, Q_i).

В состав векторов X и Y могут входить различные параметры режимов в зависимости от постановки задачи, целей расчетов и.д.

При расчетах установившегося режима значения элементов вектора X неизменны , тогда (1) мы можем записать с учетом того, что основ-ной состав элементов вектора Y — это напряжения, т.е. :

(2)

Нелинейные уравнения формируются при задании нелинейных источников тока в узлах ( генераторы с постоянной мощностью, нагрузки потребителей с постоянной мощностью, нагрузки, заданные статическими характеристика-ми). Постоянная мощность нагрузки или генерации задается в виде узлового тока:

где S = const – заданная мощность в узле;

U – напряжение в узле;

I(U) – нелинейный источник тока.

Тогда СНАУ установившегося режима в форме баланса токов имеет вид:

(3)

В матричной форме:

.

Это система n комплексных уравнений. Систему будем решать методами Зейделя и Ньютона-Рафсона.

Из системы (3) в результате несложных преобразований можно получить СНАУ в форме баланса мощности:

(4)

где U * _диаг – диагональная матрица, на главной диагонали которой размеща-

ются сопряжённые комплексы напряжения;

Y_б — вектор взаимных проводимостей узлов сети с опорным.

Для решения системы уравнений итерационными методами, её нужно прео-бразовать – решить каждое уравнение относительно одной из неизвестных величин U_i:

В матричном виде: U = G(U).

В итерационной форме: U (к+1) = G(U (к) ).

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

УЧЕТ КОМПЛЕКСНОГО ХАРАКТЕРА

ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И РЕЖИМА[1]

Система уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока:

.

(9.7)

При решении на ЭВМ системы уравнений узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, она приводится к системе действительных уравнений порядка , где — число узлов схемы. Для этого представляют матрицы и вектор — столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор — столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получим:

(9.9)

Уравнение (9.9) переписываем, разделяя действительные и мнимые слагаемые.

.	(9.10)
.	(9.11)

Иными словами, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в виде блочного матричного уравнения:

(9.12)

Выражение (9.12) является системой действительных уравнений порядка и содержит неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений, представленных в форме действительных чисел.

ОПИСАНИЕ РАСЧЕТА УР С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(9.53)

где — вектор-функция.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные ). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима . Остальные (зависимые переменные ) могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных .

Число зависимых переменных равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция и вектор-столбец имеют одинаковую размерность. В зависимости от постановки задачи и способов задания исходных данных в состав векторов независимых и зависимых переменных и могут входить разные параметры режима.

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, то есть , следовательно, нелинейную систему уравнений (9.53) можно переписать как

(9.54)

Число уравнений в этой системе также равно числу зависимых переменных , то есть равно размерности вектора . В результате решения уравнений УР можно найти все зависимые переменные .

МЕТОД НЬЮТОНА

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений представляет собой обобщение на многомерный случай метода касательных, применяемого для решения одного нелинейного уравнения.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. Поясним идею этого метода на примере решения уравнения

	(5.4)
Решение уравнения — точка, в которой кривая проходит через нуль (рисунок 5.1): Рисунок 5.1- Графическая иллюстрация метода Ньютона

Зададим начальное приближение к решению уравнения и вычислим значение функции . Если точка достаточно близка к решению, то для его получения целесообразно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестностях точки :

(5.5)

Выражению (5.5) соответствует касательная к функции, проведенная в точке . Такая касательная показана на рисунке 5.1. Для малых значений приближение (5.5) хорошо моделирует саму функцию , поэтому в качестве приближенного решения исходного уравнения целесообразно использовать решение линеаризованного уравнения (5.5), равное

(5.6)

Полученную точку можно использовать в качестве нового приближения и сделать шаг, в результате которого будет найдено приближение и т. д. Итерационный процесс получения решения показан на рисунке 5.1.

Аналогично определяется решение для системы нелинейных уравнений. Рекуррентное выражение, представленное в матричной форме записи, имеет вид:

(5.7)

где — матрица Якоби (или якобиан), составленная из частных производных;

— вектор невязок, вычисленный в точке ;

— вектор поправок к приближению .

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

Для электрической сети, представленной на рисунке 5.2, определить напряжения в узлах, используя метод Ньютона (три итерации).

Для рассматриваемой схемы электрической сети может быть записана система нелинейных УУН в форме баланса токов:

(5.8)

Рисунок 5.2	Схема электрической сети.

Для решения методом Ньютона система УУН (5.8) представляется в форме баланса мощностей

(5.9)

И приводится к виду

Рекуррентное выражение метода Ньютона:

,

(5.10)

Где: 1) элементы матрицы Якоби вычисляются по формулам:

,

2) вектор невязок вычисляется в точке по следующим выражениям:

,

3) — вектор поправок к -му приближению .

Новые напряжения вычисляются по выражению

(5.11)

Для схемы электрической сети, представленной на рисунке 5.2, исходная система (5.9) имеет вид:

Начальное приближение: кВ

Вектор невязок записывается:

Элементы матрицы Якоби:

Для заданного начального приближения кВ элементы матрицы Якоби приобретают значение

Подставляем все найденные величины в и получаем систему двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Вектор невязок для 4-ой итерации составил бы:

Нелинейные электрические цепи

Содержание:

Расчет нелинейных электрических цепей:

Законы Кирхгофа в первой форме записи (

Приведение нелинейных цепей к линейным

Такое приведение можно сделать, если нелинейные элементы цепи работают в узком диапазоне напряжений и токов, где соответствующие участки вольтамперных характеристик близки к прямым.

Пусть это, например, имеет место для участков ab и cd характеристик 1 и 2 (рис. 4.1) нелинейных резисторов R₁ и R₂ цепи рис. 4.2, а. Так как продолжения этих прямых составляют с осью токов углы и пересекают ось напряжений в точках , уравнения прямых получают следующий вид:

где R₁₁ и R₁₂ — дифференциальные сопротивления этих резисторов, имеющие постоянные значения на участках ab и cd; k — масштабный коэффициент.
Следовательно, каждый такой нелинейный элемент может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из последовательного соединения — резисторов R₁₁ или R₁₂ и источника напряжения U₀₁ или — U₀₂ включенного навстречу внешнему напряжению, так как последнее должно преодолеть напряжение этого источника.

В результате нелинейная цепь рис. 4.2, а заменяется линейной цепью рис. 4.2, б. Так как при принятом положительном направлении напряжение U₀₂ второго источника отрицательно, его направление совпадает с напряжением U всей цепи. Полученная цепь рис. 4.2, б рассчитывается обычными методами. Решение будет правильным только в том случае, если токи I₁ и I₂ не выйдут за пределы участков ab и cd (см. рис. 4.1).

Графические методы расчета нелинейных цепей

Вольтамперная характеристика одиночного нелинейного резистора (см. рис. 1.9—1.11) сразу позволяет определить ток по заданному напряжению или напряжение по заданному току. При последовательном соединении любого числа нелинейных и линейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования ординат характеристик отдельных резисторов в соответствии с зависимостью

На рис. 4.3 показано такое построение для двух последовательно соединенных резисторов. По характеристике всей цепи для заданного значения напряжения U’ определяется соответствующий ему ток I’, а по Рис. 4.3 нему — напряжения участков цепи.

Если нужно определить ток и напряжения на участках цепи из двух приемников только при одном значении напряжения U всей цепи, нет надобности строить вольтамперную характеристику всей цепи, следует лишь отложить горизонталь для заданного значения U, а oт нее вниз — характеристику U₂ (I) (рис. 4.4, а). Её пересечение с характеристикой U₁(I) даст рабочую точку и определит тем самым ток I’ цепи и напряжения U’₁ и U’₂ на участках.

Рис. 4.4, а иллюстрирует также графическое решение задачи определения тока и напряжения цепи при питании нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой U_l (I) от источника напряжения с нелинейной внешней характеристикой U₂ (I).

При параллельном соединении нескольких линейных и нелинейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования абсцисс характеристик, т. е. токов отдельных резисторов:

На рис. 4.5 показано такое построение для двух параллельно соединенных резисторов. По характеристике для всей цепи для любого заданного тока I определяется напряжение U’, а по нему — токи I₁‘ и I₂‘ участков цепи.

Для определения токов ветвей только при одном значении тока I всей цепи можно применить упрощенное построение, аналогичное рис. 4.4, а и показанное на рис. 4.4, б для резисторов с теми же вольтамперными характеристиками. Характеристика U (I₂) строится влево от вертикали для заданного значения I. Ее пересечение с характеристикой U (I₁) определяет напряжение U’ цепи и токи I₁‘ и I₂‘ на ее участках.

При смешанном соединении, например при расчете цепи рис. 4.6, а, также строится вольтамперная характеристика всей цепи по характеристикам отдельных резисторов (рис. 4.6, б). С помощью суммирования абсцисс, т. е. токов I2 и I₃, строится характеристика параллельного разветвления U₂₃ (I₁), затем, суммируя ординаты этой характеристики и характеристики U_l (I₁), т. е. напряжения U₂₃ и U₁ строят характеристику U(I₁) всей цепи. По этой характеристике для заданного напряжения U’ определяется ток I’₁ цепи,
после чего по характеристикам U_l (I₁) и U₂₃ (I₁), находят напряжения участков, а для напряжения U’₂₃ по характеристикам U₂ (I₂) и U₃(I₃) — токи

Совершенно аналогичны построения, если цепь со смешанным соединением, помимо линейных и нелинейных резисторов, содержит источники электрической энергии, например источники напряжения, вольтамперные характеристики которых без учета внутренних сопротивлений представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

Их ординаты и следует алгебраически просуммировать с ординатами
вольтамперных характеристик участков (в том числе внутренних сопротивлений), соединенных последовательно с этими источниками, чтобы получить полные характеристики ветвей. При этом необходимо соблюдать правило знаков. Так как напряжение всей ветви должно преодолевать э. д. с. включенного в ветвь источника, то при э. д. с., направленной навстречу току (рис. 4.7, а), нужно при суммировании брать ее с положительным знаком (рис. 4.7, б), и наоборот.

После построения аналогичных характеристик для всех ветвей подобно предыдущему постепенно строится характеристика всей цепи и по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. Аналогичным образом решаются задачи при заданных источниках тока.

Если любая сложная цепь содержит одну нелинейную ветвь, для расчета может быть применен метод эквивалентного источника энергии: вся цепь, кроме нелинейной ветви, заменяется эквивалентным источником напряжения или тока, после чего задача сводится к только что рассмотренной задаче последовательного или параллельного соединения двух элементов — нелинейной ветви и внутреннего сопротивления (проводимости) эквивалентного источника. Это позволит определить ток или напряжение нелинейной ветви, после чего может быть рассчитана линейная часть цепи.

Метод последовательных приближений

Этот метод, называемый также итерационным, является приближенным аналитическим способом решения нелинейных алгебраических уравнений.
В качестве примера рассматривается расчет простой цепи рис. 4.8, состоящей из резистора с нелинейным сопротивлением R(I) с заданной вольтамперной характеристикой, питаемого от источника напряжения с заданной постоянной э. д. с. и нелинейной внешней характеристикой, из которой может быть получена вольтамперная характеристика его внутреннего сопротивления R_B. Вольтамперные характеристики могут быть заданы не графически, а аналитически.

Расчет этой цепи может быть произведен по уравнению

где n — порядковый номер приближения.

Задавшись произвольно нулевым приближением тока I₀, по вольтамперным характеристикам находят соответствующие ему напряжения: U₀ на внешнем сопротивлении R₀ и U_0B на внутреннем сопротивлении R_0B. Затем определяют эти сопротивления и суммарное сопротивление цепи:

а из исходного уравнения — первое приближение тока

Исходя из этого значения тока, весь ход расчета повторяется для определения второго приближения I₂ и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Как известно из математики, итерация в зависимости от вида характеристик может дать расходящийся процесс. Тогда сходимость можно получить на основе исходного уравнения для другой величины, например для напряжения на приемнике:

В случае сложной цепи, например моста с двумя нелинейными резисторами (рис. 4.9), исходные уравнения могут быть составлены по методу контурных токов. При этом контуры должны быть выбраны так, чтобы контурный ток нелинейных ветвей одновременно был их действительным током. В противном случае действительный ток нельзя находить путем алгебраического суммирования проходящих по нелинейной ветви двух контурных токов, так как принцип наложения для нелинейных сопротивлений неприменим.

Правильный выбор контурных токов показан на рис. 4.9. Здесь токи нелинейных участков цепи
Тогда система уравнений получает вид:

Если нелинейное сопротивление R₂(I₂) с увеличением тока убывает, a R₃(I₃) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток I₃ = I_A и напряжение U₂ = R₂I_B = R₂I₂ выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления R₂ и R₃. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1,
из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.
Таблица 4.1

Закончив вычисления после практической сходимости итерационного процесса и определив тем самым напряжения и токи нелинейных
участков цепи, на основе законов Кирхгофа определяют напряжения
и токи всех линейных участков, например ток I₁ из уравнения

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы (см. рис. 2.6), фотоэлементы (см. рис. 2.7), газоразрядные приборы (см. рис. 2.8—2.10), полупроводниковые приборы (см. рис. 2.15).

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной главе рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей

Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями I = f(U). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU 3/2 . Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента

У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке a вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующих этой точке:

где m_u и m — масштабы напряжения и тока; m_R = m_u /m_i — масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке a определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке a.

Рис. 6.1. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Приведение нелинейных цепей к линейным

Если продолжить линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение U₀. Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения U₀ и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления IR_дин, т. е. прямая выражается уравнением

На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения э. д. с. Е₀ = U₀ и динамического сопротивления R_дин (рис. 6.1, б). При этом

Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 6.2, а). Э. д. с. Е₀ в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости G_дин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы

Этому равенству соответствует схема замещения рис. 6.2, б.

Рис. 6.2. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Рис. 6.3. Вольт-амперные характеристики и схемы замещения нелинейного двухполюсника

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.

Нелинейный активный двухполюсник

Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 6.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной э. д. с. и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник э. д. с. Е₀.
Эквивалентная схема рис. 6.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 6.1, б или 6.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.
В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине э. д. с. Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 6.3, в).

Графический расчет нелинейных электрических цепей

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.
Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданную величину отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомую величину.
Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.

Последовательное соединение двух нелинейных элементов

Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов и I(U₁) и I(U₂) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б).
Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.
Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U₁ + U₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U₁) и I(U₂).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I₁. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U₁, U₂ на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 6.4, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения U₁ и U₂ на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 — напряжения на участках (соответственно U₁ и U₂).

Параллельное соединение двух нелинейных элементов

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При напряжении U₁ (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I₁) и 1-3 (ток I₂) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U₁ нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U₁, и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I₁, I₂, I.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейным, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.

Смешанное соединение нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.
Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а.

Рис. 6.4. К расчету нелинейной электрической цепи при последовательном соединении элементов

Рис. 6.5. К расчету нелинейной электрической цепи при параллельном соединении элементов

Рис. 6.6. К расчету нелинейной электрической цепи при смешанном соединении элементов

По заданным характеристикам I₂(U₂), I₃(U₃) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками b, c.
Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U₂ (отрезок 0-1) определены токи I₂ (отрезок 1-2) и I₃ (отрезок 1-3), а затем ток I₁ = I₂ + I₃ (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I₁(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, c включен последовательно с нелинейным элементом на участке a-b. Для примера при токе I₁ (отрезок 0-7) определены напряжения U₁ (отрезок 7-5) и U₂ (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U₁ + U₂ (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.

Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I₁(U). Отрезком 11-6 определяется ток I₁ в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U₂ и U₁ на участках. Напряжение U₂ — общее для параллельно соединенных участков с токами I₂ и I₃. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I₂(U₂) и I₃(U₂) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I₂ и I₃.

Рис. 6.7. К задаче 6.6

Задача 6.6.

Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебаниях входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором R_н = 1 Ом (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которого дана в табл. 6.2.

Построить график изменения тока в цепи при изменении входного напряжения
Решение. Определим ток в цепи и напряжение на участках графически. Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристики бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварительно масштабы по обеим осям.

Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабы:
напряжений m_u = 2 В/см; токов m_i = 1 А/см.
Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, проходящая через начало координат под углом α к оси токов (см. пунктир Oa на рис. 6.7,6). Определим угол

Ток в цепи и падение напряжения U₁ связаны между собой двумя зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента I(U₁) и уравнением которое при постоянной величине R_н изображается на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента на графике определяет величины I и U₁, удовлетворяющие обеим зависимостям.

Построим указанную прямую при заданной величине R_н = 1 Ом и входном напряжении V = 8 В. Для этого определим положение точек, в которых прямая пересекается с осями координат:
при I = 0

при U₁ = 0

Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента в точке b.

Спроектируем эту точку на оси координат и найдем величины тока и напряжения на участках: I = 2.2 А; U₁ = 5,8 В; U₂ = 2,2 В. Аналогично находим те же величины для других напряжений U, для чего прямую перемещаем параллельно самой себе (на рис. 6.7, б показаны такие характеристики для U = 6 и 10 В).

График I(U) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5до 13 В ток в цепи остается практически постоянным.

Примеры упрощения схем нелинейных цепей

Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

Цепь с двумя узлами

Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной э. д. с.

Рис. 6.8. Схема нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Рис. 6.9. К расчету нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I₁(U₁); I₂(U₂); I₃(U₃) (рис. 6.9).

Построение кривых I₁(U_1.2) и I₂(U_1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность э. д. с. и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I₃(U_1.2) совпадает с заданной кривой I₃(U₃), так как U_1.2 = U₃.

Далее строится кривая (I₁ + I₂)(U_1.2); для ряда значений U_1.2 определяют сумму токов I₁ + I₂, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I₃ : I₁ + I₂ = I₃.
Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I₁ + I₂) и I₃(U₃), определяет величину тока I₃ (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие величины: ток I₁ — отрезок 1-4; ток I₂ — отрезок 2-4; напряжение U_1.2 — отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I₁ + I₂)(U_1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.

Цепь с одним нелинейным сопротивлением

Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники э. д. с., и одно нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.
Включим в нелинейную ветвь э.д.с. E’ такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому Е’ = U_x, где U_x — напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну э. д. с. Е», равную по величине Е’, но направленную ей встречно (рис. 6.10., б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только э. д. с. Е», а остальные э. д. с. (Е’ и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.
В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 6.10, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R = U/I постоянным.

Рис. 6.10. К расчету разветвленной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями

В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 6.11, а).
Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.
В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же как на рис. 6.10, и провести аналогичные рассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Т-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в.

Рис. 6.11. К расчету разветвленной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Затем надо определить сопротивления Т-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Т-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.

Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.
Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома

где n — порядковый номер приближения.
Первое значение тока I₁ в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U₁ и U₂ и затем по закону Ома — сопротивления R₁ и R₂:

По формуле (6.6) находят второе приближение тока:

По найденной величине тока I₂ и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат на начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ достигается после 4-5 повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины [вместо (6.6)], например для напряжения на одном из нелинейных элементов

Задача 6.7.

Лампа накаливания включена параллельно с линейным резистором R₂ = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления R_эк цепи от напряжения U на его зажимах.
Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5 А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в табл. 6.3.

Решение. Построим вольт-амперные характеристики элементов цепи. На рис. 6.12, б: I₁(U) — характеристика лампы и I₂(U) — характеристика резистора R₂. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характеристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение R_эк = U/I для различных значений приложенного напряжения.
Результаты вычислений приведены на графике рис. 6.12, б.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются цепи, в которые включены нелинейные элементы (нэ).

Элемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от чины и направления тока в нем или от напряжения, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы называются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е. зависимость тока от напряжения, приложенного к элементу) — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны рис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.

Примерами нелинейных элементов могут служить электронные газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, ламп накаливания и пр. нелинейную цепь наряду с нелинейными элементами могут быть включены линейные. Сопротивление линейных элементов практически не зависит от тока или напряжения (резистор). Вольт-амперная характеристика линейного элемента — прямая линия, ходящая через начало координат, точку О (рис. 5.1).

Вторую точку (точку А) для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном менте при произвольно выбранном напряжении U’, приложенном к этому элементу, т.е. , где — заданное сопротивление линейного элемента — величина постоянная, аналитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как противление нелинейного элемента — непостоянная величина, зависящая от величины тока. Таким образом, в уравнении закона Ома две переменные величины. Поэтому при расчете линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон а ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.

Для расчета нелинейных цепей рационально использовать графо-аналитический метод, который предусматривает построение суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной характеристике и характеристикам элементов определяются искомые величины (обычно токи и напряжения).

Построение суммарной вольт-амперной характеристики нелинейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелинейной цепи и производится по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов и построенным характеристикам линейных элементов, если они включены в цепь.

Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построением так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).

Неразветвленная нелинейная цепь

В неразветвленной нелинейной электрической цепи все элементы соединены последовательно и по всем элементам проходит одинаковый ток (рис. 5.2а).

Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейными элементами по заданным вольт-амперными характеристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная характеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).

При последовательном соединении элементов для построения суммарной вольт-амперной характеристики суммируются абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик элементов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4 рис. 5.26).

Зная напряжение, приложенное к цепи (), по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нелинейной цепи (). Этот ток создает падение напряжения на пер-элементе U₁ (точка С) и на втором элементе U₂ (точка В). и же задан ток в рассматриваемой цепи, то по суммарной вольт-амперной характеристике можно найти напряжение цепи (точка А) и напряжение на элементах (точки С и В). нелинейных элементов различают статическое и динамиков сопротивления.

Статическое сопротивление — это сопротивление нелинейного элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нелинейного элемента в определенной точке его вольт-амперной характеристики.

Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов в режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для С и В вольт-амперных характеристик (при токе рис 5.26), можно следующим образом:

Динамическое сопротивление нелинейных элементов () в режиме работы цепи определяется как

где бесконечно малое приращение напряжения (определяет-по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов чек С и В), a dl — бесконечно малое приращение тока у этих чек.

Вели в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный элемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой нелинейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напряжений) всех элементов цепи, включая линейный, построив предварительно его вольт-амперную характеристику в той же системе ординат (рис. 5.1).

По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной пи определяется режим работы цепи и ее элементов. Для расчета нелинейной цепи с последовательно включенным линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) можно воспользоваться построением нагрузочной характеристики рис. 5.36).

Нагрузочная характеристика представляет собой прямую линию, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А расположена на оси ординат (ток). Точка В- на оси абсцисс (напряжение).

Построение нагрузочной характеристики осуществляется с использованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой цепи в системе координат

Откуда

Точка В соответствует величинам (см. (5.3)). Точка А соответствует величинам (см. (5.4)). При построении в тех же координатных осях заданной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точка пересечения С этих характеристик, которая является единственно возможной при заданном режиме работы цепи:

• отрезок DC — ток цепи ,
• отрезок OD — напряжение на нелинейном элементе ,
• отрезок DB — напряжение на линейном элементе

Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей называется методом пересечений.

На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи () при изменениях напряжения сети U’ (пунктирные линии). На том же рисунке показаны изменения режима работы цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (перемещение точки С’ на рис. 5.36).

Если точка А, соответствующая измененному значению напряжения сети U’ или сопротивления линейного элемента R (см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют , который нагрузочная характеристика (прямая) составляет вертикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствующей напряжению сети U’, т. е.

— принятый на графике масштаб тока; — принятый на графике масштаб напряжения; U» — произвольно выбранное напряжение (например, U’); I» — ток, соответствующий напряжению U» и сопротивлению R», т.е.:

Тогда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до сечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного мента (точка С’ рис. 5.36) и определяют режим работы цепи, соответствующий измененному значению сопротивления линейного элемента R или напряжения сети V.

Разветвленная нелинейная цепь

В разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные менты могут быть соединены параллельно. При параллельном соединении нелинейных элементов напряжение на всех элементах будет одинаковым.

Для расчета цепи с параллельным соединением нелинейных ментов (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-амперная характеристика цепи по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов, при этом суммируются ординаты (токи), соответствующие различным значениям напряжений (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).

При заданном значении тока в неразветвленной части нелинейной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) можно определить напряжение цепи U’. Это напряжение создает ток в первом элементе (точка С) и во втором элементе (точка В).

Если задано напряжение U’, приложенное к элементам, то по суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в неразветвленной части цепи (точка А), а по вольт-амперным характеристикам элементов определяются токи (точки С и В рис. 5.46).

Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет характера и порядка расчета.

Нелинейная цепь со смешанным соединением элементов

Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).

Пример 5.1

По заданному напряжению цепи U’ требуется определить токи , напряжения на участках (рис. 5.5а), а также сопротивления нелинейных элементов в заданном режиме работы цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента .

Решение

По заданному сопротивлению Я линейного элемента строится вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Линейный элемент с сопротивлением включен параллельно с нелинейным элементом , и суммарная вольт-амперная характеристика для участка АВ цепи (AB) строится так же, как на рис. 5.46 суммируются ординаты (токи) характеристик и R).

Участок АВ соединен последовательно с нелинейным элементом . Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (I) строится так же, как на рис. 5.26.

Напряжение цепи U’, по суммарной характеристике цепи К) определяется ток в неразветвленной части цепи рис. 5.56). Этот ток создает падение напряжения (точка С) и на параллельном участке (точка Е).

Напряжение на участке АВ (U_AB) в разветвленной цепи создает А (точка D) и (точка L).

Определив напряжения и токи нелинейных элементов, можно определить статические сопротивления этих элементов в заданном режиме работы цепи

Таким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-смешанно элементов и их суммарным характеристикам можно определить все параметры нелинейной цепи (), если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).

Стабилизаторы тока и напряжения

Есть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристика которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качестве стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения ис. 5.66).

В качестве стабилизатора тока можно использовать, например бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’В’ (рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абсцисс. Если бареттер включить последовательно с участком (io цепи (рис. 5.8), то ток цепи почти не изменяется при изменении напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизирует ток в цепи.

Эффективность стабилизации характеризует коэффициент стабилизации, показывающий, во сколько раз относительное изменение тока меньше относительного изменения напряжения :

Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий участок В’В» вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения почти параллелен оси ординат (рис. 5.66). Стабилизатор напряжения включается параллельно сопротивлению , на котором он стабилизирует напряжение.

Последовательно с разветвленным участком (ab) включается балластное сопротивление (рис. 5.7). Как видно из рис. 5.66, изменение балластного сопротивления в определенных пределах от почти не вызывает изменения напряжения на стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (U_aь на рис. 5.7).

Пример 5.2

Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лампы (4 В; I А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 5.86.

Определить все токи и напряжения на бареттере U₁ и нити накала U₂, если напряжение сети , а сопротивление . Определить пределы изменения напряжений сети, при которых ток цепи остается практически неизменным.

Решение

Масштаб напряжения на графике

Масштаб тока на графике принят

Нагрузочная характеристика строится в координатах:

, где сопротивление нити накала лампы Ом.

Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характеристики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86) сет координаты , а ток цепи . Напряжение R , а токи

Нагрузочная характеристика проведена под углом к оси орди-т. е.

Нагрузочные характеристики, соответствующие пределам изменил напряжений сети, при которых ток цепи остается практики неизменным (), проводятся параллельно основной нагрузочной характеристике под углами к оси ординат.

Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряжения соответственно равны

Определение нелинейных электрических цепей переменного тока

Нелинейные элементы

Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.

Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер-амперная и другие характеристики.

Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелинейных емкостных сопротивлений.

Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управляемые и неуправляемые.

1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию несинусоидальных токов в электрических цепях.
2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоидального тока. Катушку со стальным сердечником называют дросселем (рис. 19.4).
3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на обкладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари капами. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обладают гистерезисом, т.е. отставанием изменения электрического смещения в диэлектрике от изменения электрического поля в нем.

Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоянный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, получение сигналов различной формы и т. д., можно получить только в нелинейных цепях переменного тока.

В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротивлений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа нелинейных индуктивных сопротивлений).

Выпрямители — источники несинусоидального тока

Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в постоянный.

Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную характеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически односторонней проводимостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.

Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в обратном — бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.1б. Вентиль, сопротивлением которого в прямом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рис. 19.1г.

Как видно, если к реальному вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное напряжение то его ток в обратном направлении увеличивается незначительно. Однако когда это обратное напряжение превышает номинальное обратный ток становится ощутимым и при некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет свои вентильные свойства.

Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной характеристикой являются допустимая температура, плотность тока и допустимое обратное напряжение.

В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.

В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последовательно с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 19.2а).

Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусоидальное напряжение (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется также по синусоидальному закону:

В течение же отрицательного полупериода напряжения тока в цепи нет, так как предполагается Таким образом, в рассматриваемой цепи создается однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 19.2б). При однополупериодном выпрямлении образуется значительная пульсация тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) выпрямленного тока и незначительная величина среднего значения (постоянная составляющая) этого тока (см. кривую 5 таблицы 18.1).

Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток и несинусоидальное напряжение

Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мосту подведено синусоидальное напряжение то по сопротивлению потребителя R проходит несинусоидальный пульсирующий ток, полученный в результате двухполупериодного выпрямления (рис. 19.3б).

В положительный полупериод синусоидального напряжения и ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева направо (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева направо. Таким образом, ток через потребитель изменяется по величине, но не меняется по направлению (рис. 19.3б), т.е. через потребитель проходит пульсирующий ток, который складывается из постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и напряжение на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая несинусоидального тока и напряжения больше, чем при однополупериодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.

При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1) несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составляющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т.д. При этом постоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увеличивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофазным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой схеме соединения вентилей используются электрические фильтры (см. § 18.7).

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4).

Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):

где , а действующее значение напряжения

или
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток.

Ток в катушке при этом оказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитим потоком и током На рис. 19.5а показана петля гистере-1иса, изображающая эту зависимость.

Для каждого момента времени по петле гистерезиса находят значение тока и откладывают его на ординате магнитного потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении — участком be и т. д.

Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальна.

Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3) выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале от напряженности Я магнитного поля в катушке. Напряженность Н в катушке пропорциональна току I в катушке. Магнитный поток в ферромагнитном материале связан с напряжением , приложенным к катушке, прямой пропорциональностью (19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода можно считать вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из ферромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в координатах и I (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным элементом переменного тока, т. е. источником несинусоидальности.

Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусоидальный намагничивающий ток часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике

Значение коэффициента для электротехнической стали при индукции, не превышающей принимается равным единице. При больших значениях магнитной индукции поправочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).

При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечником (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности (рис. 11.4б), т. е. ток отстает от напряжения на угол 90°.

Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике и на вихревые токи т.е. потери в стали то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая тока

совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока

Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки.

Угол на который ток опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 19.7а), называется углом потерь

Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением

где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; — удельная мощность потерь в стали, Вт/кг.

Удельную мощность потерь вычисляют по формуле

где — потери в стали при индукции 1 Тл и частоте — максимальное значение индукции.

Значения для различных марок электротехнической стали даны в Приложении 8.

Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напряжения на этом сопротивлении совпадает по фазе с током На активном сопротивлении возникают потери мощности, которые являются электрическими потерями и называются потерями в меди Эти потери складываются с магнитными и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Суммарные потери Р влияют на угол потерь и на активную составляющую тока катушки так как

Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сердечнике, а незначительная часть потока рассеивается (рис. 19.46). Поток рассеяния индуктирует в катушке ЭДС рассеяния где — индуктивность рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая которая опережает ток на угол 90°. Поток рассеяния совпадает по фазе с током.

Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения создается основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на активном сопротивлении катушки и напряжения т.е. Это выражение используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 19.7б).

Схема замещения

Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изображена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены активное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.

Напряжение для идеальной катушки можно представить суммой падений напряжений на активном сопротивлении и индуктивном

Эти соображения легли в основу построения схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).

Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.8б) при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые токи и мощности.

Активная составляющая тока определяет активную проводимость идеальной катушки а намагничивающий ток — реактивную проводимость На рис. 19.86 показана схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом этих проводимостей.

Пример 19.1

На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9), выполненного из листовой стали Э42 (1512) с воздушным зазором расположена обмотка, к которой подведено напряжение U= 220 В при частоте 10 % объема сердечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением обмотки и рассеянием можно пренебречь. Размеры магнитопровода указаны в мм.

Определить число витков обмотки W, ток в обмотке потери в стали коэффициент мощности цепи coscp и угол потерь для того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в среднем стержне

Решение

По выражению (19.1) определяется число витков обмотки

где

— площадь сечения среднего стержня сердечника; — коэффициент заполнения сердечника сталью,

Расчет намагничивающего тока произведен по закону полного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение всех участков половины магнитной цепи одинаковое (рис. 19.9) и определяется по формуле

Длина средней линии половины сердечника

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложение 5) для стали Э42 (1512) так как действующее значение заданной индукции а в Приложении 5 указаны действующие значения магнитной индукции. Напряженность в воздушном зазоре будет равна

Поправочный коэффициент для максимальной индукции определяется из графика (рис. 19.6), Тогда намагничивающий ток определяется по формуле

Масса стали сердечника

где — плотность стали.

где так как для стали Э42 при толщине листов (Приложение 8).

Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими потерями, т. е.

Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен

Коэффициент мощности цепи угол а угол потерь

Феррорезонанс

В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным сердечником) существует нелинейная зависимость напряжения на индуктивности от тока (рис. 19.5в). Следовательно, резонанса напряжений, т. е. равенства напряжений на емкости и индуктивности , можно добиться изменением тока при последовательном соединении конденсатора и нелинейной индуктивности (рис. 19.10а).

Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную емкость, называют феррорезонансными, а явление равенства напряжений описанное выше, называют феррорезонансом.

Для объяснения явления феррорезонанса можно воспользоваться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивности линейной емкости и линейного активного сопротивления

При построении суммарной вольт-амперной характеристики

рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источника U уравновешивается суммой напряжений:

Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис. 12.46) следует, что индуктивное напряжение U_L опережает по фазе ток на угол 90°, а емкостное напряжение U_c — отстает на 90 (Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквивалентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика нелинейной катушки U_L=f(I) аналогична характеристике, показанной на рис. 19.5в.) Следовательно,, реактивные напряжения U_L и U_c находятся в противофазе, т. е. U_p = U_L — U_c.

Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая U_c=f(I) пересекла кривую U_L=f(I). Точка их пересечения и является том кой феррорезонанса напряжений (U_L = U_c), при котором U_p = U_L — U_с =0. Следовательно, (U_p — реактивное напряжение цепи).

Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока I напряжение U сначала растет (участок 0—2), затем уменьшается (участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезонансе (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).

Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении напряжения источника U ток плавно увеличивается до значения и скачком увеличивается до , после чего продолжает плав но расти (участок 4—5).

При плавном уменьшении напряжения U ток уменьшается до и скачком уменьшается до /ь затем плавно падает до нуля (при U= 0).

Характерно, что при каждом скачке тока его фаза по отношению к напряжению Uизменяется на 180°, поэтому это явление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до значения тока цепь имеет индуктивный характер, т. е. X_L > Х_с, а после значения тока — емкостной, т.е. X_L

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.