Примеры дифференциальных уравнений в биологии

Дифференциальные модели в экономике, биологии и медицине

В этом параграфе мы разберем несколько классических моделей, предложенных за последние 200 лет в различных областях науки: экономике, биологии и медицине. Общим при построении этих моделей является использование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые несложно решить, прочитав §59 данного справочника.

п.1. Экономика. Равновесная цена в модели Вальраса

Начальные сведения о модели рыночного равновесия, кривых спроса и предложения – см. §18 справочника для 9 класса.
Рассмотрим поведение рыночной цены при небольшом отклонении от точки равновесия по методу, предложенному Леоном Вальрасом (1874 г.)
Пусть p — цена товара, D(p) — спрос на него, S(p) — предложение.
Пусть спрос и предложение на рынке уравновешены, равновесная цена равна $p_0$.
Если спрос начнет немного превышать предложение, то цена начнет расти: $$ \frac

=D(p)-S(p) $$ В точке равновесия: $$ \frac

|_=0,\ \ D(p_0)-S(p_0)=0 $$ Разложим каждую из функций с помощью дифференциала (см. §52 данного справочника) с точностью до линейного множителя: \begin D(p)\approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)\\ S(p)\approx S(p_0)+S'(p_0)(p-p_0) \end Тогда разность спроса и предложения: \begin D(p)-S(p)\approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)-S(p_0)-S'(p_0)(p-p_0)=\\ =\underbrace_<=0>+\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0) \end Получаем уравнение с разделяющимися переменными: \begin \frac

=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0)\\ \frac

=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)dt \end Интегрируем: $$ \int \frac

=\ln(p-p_0),\ \ \int\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)dt=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t $$ Общее решение: $$ \ln(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+C $$ Пусть при $t=0$ наблюдается неравновесная цена $p(0)\ne p_0$. Находим C: $$ \ln(p(0)-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)\cdot 0+C\Rightarrow C=\ln(p(0)-p_0) $$ Решение задачи Коши: \begin \ln(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+\ln(p(0)-p_0)\\ e^<\ln(p-p_0)>=e^<\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+\ln(p(0)-p_0)>\\ p-p_0=(p(0)-p_0)e^ <\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t>\end

Например:
Пусть $D(p)=9-\frac<6>,\ S(p)=\frac<12>$
$\sqrt=y’x$ — ДУ первого порядка первой степени
Тогда равновесная цена $9-\frac<6>=\frac<12>\Rightarrow \frac<4>=9\Rightarrow p_0^2=36\Rightarrow p_0=6$

Значения производных: \begin D'(p)=0-\frac<2p><6>=-\frac p3,\ \ D'(p_0)=-2\\ S'(p)=\frac<2p><12>,\ \ S'(p_0)=1 \end Изменение цены со временем в этом случае: $$ p(t)=6+(p(0)-6)e^<(-2+1)t>=6+(p(0)-6)e^ <-t>$$ Построим графики для трех различных цен в начальный момент времени: $$ p(0)=\left\ <5;7;9\right\>$$ $p(0)=5:\ p(t)=6-e^<-t>$
$p(0)=7:\ p(t)=6+e^<-t>$
$p(0)=9:\ p(t)=6+3e^<-t>$

Все три кривые постепенно сходятся к равновесной цене $p_0=6$.

Устойчивое схождение к $p_0$ будет наблюдаться только при условии: $$ D'(p_0)-S'(p_0)\lt 0 $$ Т.е кривая спроса должна быть более крутой в своем спуске, чем кривая предложения на подъеме. Говорят, что эластичность спроса по цене в точке равновесия должна быть выше, чем эластичность предложения по цене.

Если степень при экспоненте будет положительной, $D'(p_0)-S'(p_0)\gt 0$ решение уходит на бесконечность. Говорят, что такое решение неустойчиво.
Если степень при экспоненте будет равна нулю, $D'(p_0)-S'(p_0)=0$, цена не будет меняться и останется неравновесной.

п.2. Биология. Логистическое уравнение Ферхюльста для роста популяции

Пусть $P(t)$ – численность популяции. Построим модель её изменения со временем.
Логично предположить, что прирост потомства в популяции пропорционален количеству особей, из чего получаем:

Закон Мальтуса (1798 г.): $$ \frac

=rP $$ $r$- удельный прирост популяции за единицу времени.

Решением этого уравнения будет $P(t)=P_0e^$ — уходящая в бесконечность экспонента. Что заставило Мальтуса заявить о грядущем перенаселении планеты и потребовать жестких мер по ограничению рождаемости.
Впрочем, в 1804 г. население Земли достигло первого миллиарда, а сегодня, несмотря на многие неприятности, на планете живет уже в 7 раз больше.
Введем в уравнение некий уменьшающий рост популяции фактор – естественный или искусственный – пропорциональный квадрату $P$.
Ферхюльст (1838 г.) предложил такую форму записи: $$ \frac

=rP\left(1-\frac PK\right) $$

Закон Ферхюльста (1838 г.): $$ \frac

=rP\left(1-\frac PK\right) $$ $r$- удельный прирост популяции за единицу времени.
$K$- максимальный размер популяции в условиях ограниченных ресурсов.

Решение уравнения Ферхюльста (логистическая кривая): $$ P(t)=\frac>-1)> $$

Например:
Пусть популяция растет со скоростью $r=0,1$ тыс/год
Начальное количество особей $P_0=1$ тыс
Максимальное количество, которое способна прокормить данная территория, $K=10$ тыс

Модель показывает, что через 70 лет популяция займет всю нишу, и её рост фактически прекратится.
На начальном этапе преобладает r-стратегия: бурное размножение и короткая продолжительность жизни.
Исчерпание ресурсов заставляет переходить на K-стратегию: низкий темп размножения и долгую жизнь.

Экспериментально рост популяции по кривой Ферхюльста был подтвержден в лабораторных условиях для мух-дрозофил. В естественных условиях для животных – и тем более, в рамках социума для людей – закономерность нарушается.

п.3. Медицина. Модель развития эпидемии SIR

Традиционной моделью, описывающей процесс развития эпидемии, является модель SIR (Susceptible/Infected/Recovered), предложенная У. Кермаком и А. Маккендриком в 1927 г.
Вся популяция в модели делится на три группы:

$S(t)$— восприимчивые к инфекции, здоровые на момент времени $t$;
$I(t)$— уже инфицированные;
$R(t)$— выздоровевшие, больше невосприимчивые к инфекции.

Популяция считается постоянной, т.е. $N=S(t)+I(t)+R(t)=const$.
Рождаемость и смертность не учитывается.
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений: $$ \begin \frac

=-\beta\frac\\ \frac

=\beta\frac=-\gamma I(t)\\ \frac

=\gamma I(t) \end $$ где $\beta$ – скорость заражения, вероятность заболевания в случае контакта с инфицированным; $\gamma$ — скорость выздоровления, $\gamma=\frac1T;\ Τ$ – период болезни.
Начальные условия в момент времени $t=0$: $$ S(0)=S_0\geq 0,\ \ I(0)=I_0\geq 0,\ \ R(0)=R_0\geq 0 $$ Переход из одной группы в другую можно изобразить линейной схемой:

№	Переход одного человека из одной группы в другую	Скорость перехода
1	$$ (S;I)\rightarrow (S-1;\ I+1) $$	$$ \beta\frac $$
2	$$ (I;R)\rightarrow (I-1;\ R+1) $$	$$ \gamma I $$

Полученная система уравнений не является линейной и не имеет точного аналитического решения. Но её можно решить с использованием численных методов.
$$ \begin \frac<\triangle S(t)><\triangle t>=-\beta\frac\\ \frac<\triangle I(t)><\triangle t>=\beta\frac-\gamma I(t)\\ \frac<\triangle R(t)><\triangle t>=\gamma I(t) \end $$ Считаем $\triangle t=1$ – следующий шаг итерации. Тогда: $$ \begin S_-S_i=-\beta\frac\\ I_-I_i=\beta\fracI_i>-\gamma I_i\\ R_-R_i=\gamma I_ \end $$ Получаем следующий итеративный процесс: $$ \begin S_=\left(1-\beta\frac\right)S_i\\ I_=\left(1+\beta\frac>-\gamma \right)I_i\\ R_=\gamma I_+R_i \end $$ Знаний по информатике вам должно хватить, чтобы написать небольшой скрипт с циклом для этих уравнений и построить график.

Например:
Пусть общее количество населения N=10 тыс.чел.
В начальный момент инфицирован 1% населения: $$ S(0)=0,99N,\ \ I(0)=0,01N,\ \ R(0)=0 $$ Параметры: $\beta=0,128;\ \gamma=0,096$ в расчете на день (эти параметры были рассчитаны по фактическим данным для лихорадки Эбола в Сьерра-Леоне).
Результат моделирования в MATLAB:
Красная кривая – это количество болеющих в данный момент. Как мы видим, к концу года она стремится к 0. Пик приходится на 70-80 дней с начала эпидемии и составляет 413 чел. или 4,13% населения.
Зеленая кривая – количество переболевших, к концу года выходит на асимптоту в 4700 чел. или 47,0% населения.
Синяя кривая – количество так и не заболевших, к концу года спускается на асимптоту в 5300 чел. или 53,0% населения.

Чем больше больных у вас будет в начале эпидемии и чем больше параметр $\beta$, тем выше будет пик $I_$ для болеющих. Также, количество переболевших в конце эпидемии будет больше количества не заболевших.

Модель SIR – это начальный этап для исследований. На практике для моделирования эпидемий могут использоваться модели с десятками переходов и параметров, с постепенным усложнением по мере накопления данных.

Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2011 в 15:48, реферат

Краткое описание

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

Содержание

Введение
1. Биологические и медицинские понятия
1.1. Понятие популяции.
1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.
1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.
2. Дифференциальные уравнения.
2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.
2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.
2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.
Задачи
Заключение
Список литературы.

Прикрепленные файлы: 1 файл

реферат по математике дифференциальные уравнения в биологии и медицине.docx

«Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: Динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии».

Биологические и медицинские понятия

1.1. Понятие популяции.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Математические методы всегда являлись важным инструментом при исследовании вопросов медицинского и биологического характера. Есть множество математических способов позволяющих описать те или биологические процессы. Один из них решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения используются не только в биологии и медицине, но и многих других науках, таких как физика, экономика, техника. С их помощью описываются практически любые задачи динамики машин и механизмов.

Биологические и медицинские понятия.

1.1 Понятие популяция.

Популяция это совокупность особей одного вида, занимающих определенный ареал, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющих общее происхождение, генетическую основу и в той или иной степени изолированная от других популяций данного вида.

Динамика численности особей и механизмы ее регулирования являются одними из важнейших свойств популяции. Всякое значительное отклонение численности особей от оптимальной связано с отрицательными последствиями для ее существования. В связи с этим популяции обычно имеют адаптационные механизмы, способствующие как снижению численности, если она значительно превышает оптимальную, так и ее восстановлению, если она уменьшается ниже оптимальных значений.

1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.

В целом можно выделить две динамики популяций: независимую от плотности (численности) ее особей и зависимую от плотности.

Независимый от плотности тип изменения численности обусловливается в основном абиотическими факторами (погодные явления, наличие пищи, различного рода катастрофы и т.п.). Эти факторы могут обеспечивать условия как для неограниченного, хотя и кратковременного, роста популяций, так и для снижения их численности до нуля. Группы этих факторов обычно называют модифицирующими.

Зависимая от плотности динамика популяций зависит от биотических факторов. Их называют регулирующими. Они «работают» по принципу обратной отрицательной связи: чем значительнее численность, тем сильнее срабатывают механизмы, обусловливающие ее снижение, и, наоборот – при низкой численности сила этих механизмов ослабевает, и создаются условия для более полной реализации биотического потенциала. Факторы такого типа лежат в основе популяционного гомеостаза, обеспечивающего поддержание численности в определенных границах значений.

К числу регулирующих факторов относится, в частности, взаимоотношение организмов типа хищник – жертва. Высокая численность жертвы создает условия (пищевые) для размножения хищника. Последний, в свою очередь, увеличив численность, снижает количество жертвы. Также к регулирующим факторам можно отнести инфекционные заболевания и эпидемии. При большой численности популяции они быстро распространяются и также способствуют снижению численности, оставляя после себя самых приспособленных.

1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.

Инфекционные заболевания — это группа заболеваний, вызываемых проникновением в организм патогенных (болезнетворных) микроорганизмов

Эпидемия — широкое распространение какого-либо инфекционного заболевания . Эпидемический процесс заключается в непрерывной передаче возбудителя инфекции в коллективе. Для возникновения эпидемического процесса необходимы три фактора (или условия):

источник возбудителя инфекционного процесса
механизмы его передачи
восприимчивые к заболеванию люди.

Существует 2 способа изучения эпидемий. Изучение больших групп и изучение малых групп. Теория больших групп занимается общим исследованием характера возникновения эпидемий в целом сообществе или в больших популяциях и рассматривает довольно упрощенные модели распространения эпидемий в весьма упрощенной форме. Основное значение этих исследований состоит в том, что они связаны с работой органов общественного здравоохранения. Теорию малых групп можно разработать более детально. Она позволяет не только составлять общие прогнозы возможного развития той или иной эпидемии среди группы школьников или в семье, но и получать информацию по вопросам, имеющим конкретное клиническое или биологическое значение (например, продолжительность заразного или латентного периода).

2. Дифференциальные уравнения.

2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.

Дифференциальные уравнение для функции x (t) это уравнение содержащее производные x (t) по времени t. Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

Примеры дифференциальных уравнений:

Простейшие модели роста популяции можно выразить с помощью линейных дифференциальных уравнений первого порядка. К примеру, если предположить, что необходимые популяции ресурсы находятся в изобилии, то скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. И это предположение можно выразить уравнением , где a –постоянная.

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным, если уравнения в членах, содержащих функцию х (t) и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например и.т.п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Примеры линейных уравнений:

Примеры нелинейных уравнений:

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Это уравнение называется однородным, если f(t)=0 при всех t. В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент а (t) постоянный, то уравнение (*)называют уравнением с постоянными коэффициентами.

2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.

Одной из самых знаменитых математических моделей, описывающих биологические сообщества является модель Лотки-Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

x′ = –ax (a > 0),

а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

y′ = by – dxy.

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв:

x′ = –ax + cxy (c > 0).

y′ = by – dxy,

x′ = –ax + cxy,

описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

Модель Лотки-Вольтерры имеет один недостаток. Она не учитывает совокупность всех факторов действующих на популяцию.

Этого недостатка лишена модель Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y ≈ +∞), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y закону Мальтуса , второй –dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

Наконец, третий компонент скорости изменения популяции жертв в модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0).

x′ = (a – bx/y)x,
y′ = [c – dy – px/(q + y)]y.

2.3.Процесс передачи инфекции и эпидемии.

Дана изолированная популяция. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. Третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения

x′ = axy – bx,

y′ = – axy,

Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции, поделенному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?

Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемГлеб Стрекопытов

Презентация на тему: » Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии.» — Транскрипт:

1 Некоторые применения дифференциальных уравнений в биологии

2 С появлением первых трудов по математике (Евклид — III в. до н. э., Фалес Милетский – VI в.до н.э.), эта наука начала широко применятся в строительстве, в торговле, а в дальнейшем с её развитием, в естественных науках, в экономике, в инженерном деле и даже в самых необычных областях, например, таких как музыка.

3 Математика в биологии Взаимодействие видов. Обычно рассматриваются хищники и жертвы.

4 Математика в биологии Модель Лотка Вольтерры имеет смысл в идеальных условиях, то есть без учета возмущающих факторов.

5 Математика в биологии

6 Система уравнений Холлинга Тэннера описывает взаимодействие двух видов (хищников и жертв). Была получена путем усовершенствования модели Лотка Вольтерры.

7 Математика в биологии Другой пример, размножение бактерий с течением времени.

8 Математика в биологии Пусть x – количество бактерий, тогда dx/dt = kx, где k – коэффициент пропорциональности.

9 Математика в биологии При C = x 0 получим Как видно, бактерии в благоприятных условиях будут размножаться по экспоненциальному закону. Это можно применять в практических целях, например, для выращивания нужных микроорганизмов.

10 Математика в биологии «Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии» Дж. Марри, «Математика в биологии и медицине» Н. Бейли, «Принцип оптимальности в биологии» Розен Р.

источники:

http://www.referat911.ru/Matematika/differencialnye-uravneniya-v-biologii-i/6793-495404-place1.html

http://www.myshared.ru/slide/912339/