Что такое дифференциальное уравнение и зачем оно нужно?
На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.
Дифференциальные уравнения – простейшие виды
Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?
Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.
То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.
Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$
Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно «разделить переменные», то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac
Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).
Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.
Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.
Пример применения дифференциального уравнения в экономике
Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.
Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.
Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.
Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.
С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.
Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$
Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.
Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.
Дифференциальные уравнения и продление жизни
188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно. Словно как пёс по горам молодого гонит оленя. 199. Словно во сне человек изловить человека не может, Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, — Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.
Задача №1. Ахиллес и Смерть
В некоей альтернативной вселенной герою по имени Ахиллес предрекли, что жить ему осталось ровно m лет. Но мать Ахиллеса благодаря своему волшебству (она ж нимфа по легенде), продлевает ему жизнь таким образом, что каждые k (k > 1) лет продолжительность жизни увеличивается на 1 год. Сколько Ахиллес проживет в итоге, если считать, что увеличение происходит непрерывно?
Пусть x — это сколько осталось жить нашему герою. Ахиллес проживает первые m лет, но за эти годы получает 
лет прибавки к ПЖ. Он проживает эти 
лет, но за это время получает еще 
лет (прибавку разделить на k). И так далее, до бесконечности и можно подумать, что герой никогда не умрет. Но это не так: Смерть все таки догонит Ахиллеса, потому что все эти прибавки образуют бесконечную геометрическую прогрессию:
И тут стоит обратить внимание на условие: k > 1 из чего следует, что 
а это значит, что геометрическая прогрессия бесконечно убывающая. А бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сходится к конечному значению:
вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии
Пусть у нас есть вот такая сумма:
И тут кому-то пришла в голову гениальная мысль: «а что если обе части равенства умножить на q?». Так чего же мы ждем! Умножаем:
А теперь вычтем из первого второе и получим красивую формулу для суммы:
S = \frac<1-q^n><1-q>» alt=»S(1-q) = 1 — q^n => S = \frac<1-q^n><1-q>» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/187/d03/7e9/187d037e93b88b7241e10ccf2bbac521.svg» width=»253″ height=»42″/>
В период с 2000 по 2019 год ожидаемая продолжительность жизни голландских мужчин, например, увеличилась с 75.5 до 80.5 лет (то есть примерно на год каждые четыре года), что согласуется с данными по Европе в среднем. Таким образом, если человеку на текущий момент осталось жить 40 лет, а ожидаемая ПЖ увеличивается на год каждые четыре года, то имеем:
то есть мужчина-европеец в возрасте примерно 38 лет может прожить не 40 лет в среднем, а примерно на 13 лет дольше из-за прогресса в медицине (конечно, данные расчеты много чего не учитывают, нельзя их воспринимать как надежные предсказания).
А вот если k 
А теперь давайте посмотрим насколько эта же задача легче и логичнее решается при помощи дифференциальных уравнений:
dx — это насколько изменилось количество оставшихся лет до смерти за период dt. В отсутствии медицинского прогресса dx просто уменьшается на величину dt (логично, черт возьми). А прогресс добавляет определенное количество лет, такое что оно равно 1, если dt=k годам. Решается это уравнение тоже элементарно:
x(t) = \frac
Совершенно очевидно, что x(0) = m, откуда C = m. А теперь подставим это в уравнение выше и выразим время t через которое Ахиллес помрет (x(t) = 0):
t = \frac
Получилось просто и красиво, более того, есть задачи на которые можно дать ответ только с помощью дифференциальных уравнений. Например, если k зависит от времени. Давайте помечтаем немного и представим, что в какой-то момент времени наука развилась до такого уровня, что требуется все меньше и меньше времени для продления ожидаемой ПЖ на год, то есть k уменьшается со временем.
Пусть, например, k уменьшается по экспоненте с периодом полураспада в n лет. И давайте попробуем ответить на такой вопрос: какой должен быть минимальный m, чтобы человек мог достигнуть longevity escape velocity при таком k(t)?
Чтобы ответить на данный вопрос давайте составим дифференциальное уравнение:
Надо, пожалуй, пояснить откуда взялось b в экспоненте и чему равняется
Мы определили k(t) = k0*exp(-bt). Так как через n лет значение k(t) должно быть вдвое меньше, то имеем
e^ <-bt_0 + bt_0 + bn>= 2 => e^
b = \frac
Интегрируем уравнение и получаем:
Чтобы определить C, воспользуемся начальным условием: x(0)=m:
m = \frac<1>
Получаем следующую запись функции дожития:
Давайте взглянем на ее график:
Функция x(t) имеет минимум и нам нужно, чтобы этот минимум был выше оси абсцисс (фиолетовая кривая)
Наша функция дожития имеет минимум и все, что нам нужно, это найти значение минимума как функции от m и найти значение m при котором этот минимум больше нуля. Как мы помним еще со школы, для того, чтобы найти минимум функции надо сначала найти ее производную и приравнять к нулю. Причем производную-то мы уже знаем из уравнения (1):
x'(t) = \frac
Мы точно знаем, что это минимум, потому что вторая производная 
положительна на всей области определения, а значит функция выпукла вниз и, следовательно, найденный экстремум является минимумом.
Теперь необходимо найти 
:
А отсюда уже выразим ограничение для m:
При 
и 
необходимо иметь в запасе примерно 9.2 года ожидаемой продолжительности жизни, чтобы достичь longevity escape velocity, то есть быть, например, мужчиной моложе 79 лет. Каждый может прикинуть свои шансы на достижение longevity escape velocity исходя из своего возраста. Но возможно ли в принципе бессмертие? Есть ли какие-то фундаментальные математические (не физические) ограничения? Об этом я расскажу в следующей статье, а пока давайте поговорим о более практических вещах.
Задача 2. Плазмаферез
Конечно, медицинская наука еще очень далека от достижения LEV (а может быть этого и вовсе никогда не случится), однако попытки отсрочить старение ведутся уже сейчас. Одной из самых интересных интервенций, возможно, способной немного продлить молодость и продолжительность жизни является терапевтическое разбавление плазмы. Известные геронтологи супруги Конбои продемонстрировали, что если мышкам заменить половину плазмы на физраствор с альбумином, то у них существенно улучшаются многие показатели жизнедеятельности. Предполагается, что это происходит за счет удаления из организма токсичных продуктов, которые образуются из-за старения организма. Более подробно все описано, например, тут. Более того, некоторые отчаянные биохакеры даже пробуют этот метод на себе и замечают улучшение ряда биомаркеров. Конечно, пройдет еще немало времени прежде чем установят эффективность (или неэффективность) этого метода на людях, но мы тем не менее постараемся ответить на вполне конкретный вопрос: а сколько раз нам необходимо сдать плазму, чтобы заменить половину, если за один раз забирается v мл?
Поскольку нам надо найти такой k при котором обновится половина плазмы, то приравняем правую часть уравнения выше к 1/2, прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся свойствами логарифма, чтобы получить формулу для k:
-ln(2) = kln(1-\frac
Удельный объем плазмы взрослого мужчины составляет, в среднем, 46.7 мл/кг. Возьмем к примеру мужчину массой 80 кг и v=450 мл (стандартный объем плазмы при донорстве):
То есть взрослому сорокалетнему мужчине массой 80 кг необходимо за короткий срок 6 раз пожертвовать плазму, чтобы ее обновить чуть более чем наполовину.
Пусть X(t) — доля старой плазмы в момент времени t. Пусть скорость вытекания плазмы равна r мл/мин. Чему же будет равна концентрация старой плазмы в момент времени t + dt? А концентрация равна:
Давайте разберем каждое составляющее этого равенства:
X(t)V: концентрация старой плазмы помноженная на общий объем — очевидно это объем старой плазмы во всем организме в момент t
X(t)rdt: это объем старой плазмы, который вытечет за время dt (rdt — это скорость истечения, помноженная на время, что соответствует объему, а X(t) — это доля старой плазмы в этом объеме).
Затем мы делим получившийся объем старой плазмы на общий объем (который остается неизменным, потому что физраствор втекает с той же скоростью) и получим концентрацию. А теперь узнаем чему равно изменение концентрации (разница между концентрацией в моменты времени t+dt и t):
X(t + dt) — X(t) = — \frac
Разделяем переменные и решаем это дифференциальное уравнение:
ln|X(t)| = -\frac
Мы знаем, что вначале концентрация старой плазмы равнялась 1:
X(0) = 1 => C = 1
Поэтому 
, а теперь найдем время, за которое обновится половина плазмы:
-ln(2) = -\frac
На практике это означает примерно 259 минут (4 с лишним часа!), если руководствоваться средней скоростью 10 мл/мин (обычно забирают 450 мл плазмы и уходит на это примерно 45 минут):
Конечно, это время абсолютно неприемлемо, однако процедуру можно существенно ускорить. Например, в этой статье описан метод, который позволяет изымать плазму со скоростью 24 мл/мин, что позволяет заменить половину плазмы за 108 минут. Весьма неплохо! Однако неизвестно выдержит ли организм замену половины плазмы за один раз 🙂 Но это уже выходит за рамки математики, оставим этот вопрос врачам. Тем более, что различные клинические исследования по влиянию плазмафереза на старение людей уже начались.
Примеры дифференциальных уравнений в жизни
Дифференциальные уравнения. Тезисы. Примеры применений.
Тип публикации: Тезисы
Язык: Русский
Enter the password to open this PDF file:
Григоренко М.Н., Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург Дифференциальные уравнения и их применение Изучая разделы математики можно рассматривать решение задач с использованием математического аппарата, например таких как, методы расчета рисковых оптимального временного ситуаций, использования ряда [2]. Более выбор оптимального ресурсов, анализ подробно портфеля, и задачи прогнозирование рассмотрим применение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения — раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных дифференциальные) или порядков одного нескольких аргумента аргументов (обыкновенные (дифференциальные уравнения в частных производных) [1]. В самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения применяются для математического описания природных явлений. Так, например, в биологии дифференциальные уравнения применяются для описания популяции; в физике многие законы можно описать с помощью дифференциальных уравнений. Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. Рассмотрим одну из задач макроэкономической динамики [1]. Например, пусть y(f) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t ) py(t ) Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональная величине инвестиций, т.е. y’ (t ) lI (t ) , где 1/l – норма акселерации. (Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен нулю). Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим I (t ) mY (t ) mpy(t ) , где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина ( 0 m 1 ). Подставляя последнее выражение для I(t) в y’ (t ) lI (t ) приходим к уравнению y’ ky , где k mpl . Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t ) y0 e k ( t t0 ) , где y0 y(t 0 ) . Заметим, что уравнение y’ ky описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др. Модель роста в условиях роста конкурентного рынка имеет вид y’ mlp( y) y . Научный руководитель Кныш А.А., старший преподаватель Список литературы: 1. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. 2. Кныш А.А. Примеры реализации межпредметных связей на занятиях математики в экономическом вузе // Новая наука: от идеи к результату. — Стерлитамак: АМИ, 2017. — №2 (2) – С. 55 – 57.
http://habr.com/ru/post/555408/
http://vernsky.ru/pubs/differentsialnye-uravneniya-i-ih-primenenie-592e3104f2ad471e773c71e3