Примеры неоднородных уравнений первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_n – заданные функции переменных x ₁ , x ₂ , . x_n .

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C ₂ ,
.
φ_{n- 1} ( x ₁ , x ₂ , . x_n ) = C_{n- 1} ,
где C_k – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X ₁ , X ₂ , . X_{n+ 1} – заданные функции от переменных x ₁ , x ₂ , . x_n и z .

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ ₁( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₁ ,
φ ₂( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C ₂ ,
.
φ_n ( x ₁ , x ₂ , . x_n , z ) = C_n .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ ₁ = F ( φ ₂ , φ ₃ , . φ_n ) ,
φ ₂ = F ( φ ₁ , φ ₃ , . φ_n ) ,
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Подставим во второе уравнение:

Или:

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C₁ = x y 2 :

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ₁, φ₂) . Найдем ее вид из граничного условия
при .

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :

Отсюда

На границе
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂ ) = φ ₁ φ ₂ .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Общее решение:

где F — произвольная функция от двух аргументов F ( φ ₁ , φ ₂ ) .

Неоднородное уравнение

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C ₁ y

Подставим во второе уравнение:

Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:

Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ ₁ , φ ₂) = 0
Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ ₁ = F ( φ ₂) ,
где F — произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ ₁ = F ( φ ₂)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ₁ и φ₂ :

.
Умножим на a 2 y 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-09-2014

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

В данной теме поговорим о способах решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида y ‘ = P ( x ) · y = Q ( x ) . Начнем с метода вариации произвольной постоянной и покажем способ применения этого метода для решения задачи Коши. Продолжим рассмотрением метода, который предполагает представление произвольной постоянной у как произведения двух функций u ( x ) и v ( x ) . В разделе мы приводим большое количество задач по теме с детальным разбором решения.

На тот случай, если применяемые при разборе темы термины и понятия окажутся незнакомыми для вас, мы рекомендуем заглядывать в раздел «Основные термины и определения теории дифференциальных уравнений».

Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка

Для краткости будет обозначать линейное неоднородное дифференциальное уравнение аббревиатурой ЛНДУ, а линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).

ЛНДУ вида y ‘ = P ( x ) · y = Q ( x ) соответствует ЛОДУ вида y ‘ = P ( x ) · y = 0 , при Q ( x ) = 0 . Если посмотреть на дифференциальное уравнение y ‘ = P ( x ) · y = 0 , становится понятно, что мы имеем дело с уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем его проинтегрировать: y ‘ = P ( x ) · y = 0 ⇔ d y y = — P ( x ) d x , y ≠ 0 ∫ d y y = — ∫ P ( x ) d x ⇔ ln y + C 1 = — ∫ P ( x ) d x ⇔ ln y = ln C — ∫ P ( x ) d x , ln C = — C 1 , C ≠ 0 ⇔ e ln y = e ln C — ∫ P ( x ) d x ⇔ y = C · e — ∫ P ( x ) d x

Мы можем утверждать, что значение переменной y = 0 тоже является решением, так как при этом значении переменной уравнение y ‘ = P ( x ) · y = 0 обращается в тождество. Этому случаю соответствует решение y = C · e — ∫ P ( x ) d x при значении C = 0 .

Получается, что y = C · e — ∫ P ( x ) d x — общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

y = C · e — ∫ P ( x ) d x — это решение ЛОДУ y ‘ = P ( x ) · y = 0 .

Для того, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения y ‘ = P ( x ) · y = Q ( x ) , будем считать С не константой, а функцией аргумента х . Фактически, мы примем y = C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x общим решением ЛНДУ.

Подставим y = C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x в дифференциальное уравнение y ‘ = P ( x ) · y = Q ( x ) . Оно при этом обращается в тождество:

y ‘ = P ( x ) · y = Q ( x ) C x · e — ∫ P ( x ) d x + P ( x ) · C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x = Q ( x )

Теперь обратимся к правилу дифференцирования произведения. Получаем:

C ‘ ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x + C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x + P ( x ) · C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x = Q ( x )

Производная сложной функции e — ∫ P ( x ) d x ‘ равна e — ∫ P ( x ) d x · — ∫ P ( x ) d x ‘ .

Теперь вспомним свойства неопределенного интеграла. Получаем:

e — ∫ P ( x ) d x · — ∫ P ( x ) d x ‘ = — e — ∫ P ( x ) d x · P ( x )

Теперь выполним переход:

C ‘ ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x + C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x ‘ + P ( x ) · C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) C ‘ ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x — P ( x ) · C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x + P ( x ) · C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x = Q ( x ) C ‘ ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x = Q ( x )

Так мы пришли к простейшему дифференциальному уравнению первого порядка. В ходе решения этого уравнения мы определим функцию C ( x ) . Это позволит нам записать решение исходного ЛНДУ первого порядка следующим образом:

y = C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x

Подведем итог

Метод вариации произвольной постоянной при решении ЛНДУ предполагает проведение трех этапов:

• нахождение общего решения соответствующего ЛОДУ y ‘ + P ( x ) · y = 0 в виде y = C · e — ∫ P ( x ) d x ;
• варьирование произвольной постоянной С , что заключается в замене ее функцией С ( x ) ;
• подстановка функции y = C ( x ) · e — ∫ P ( x ) d x в исходное дифференциальное уравнение, откуда мы можем вычислить C ( x ) и записать ответ.

Теперь применим этот алгоритм к решению задачи.

Найдите решение задачи Коши y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 , y ( 1 ) = 3 .

Нам нужно отыскать частное решение ЛНДУ y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 при начальном условии y ( 1 ) = 3 .

В нашем примере P ( x ) = — 2 x 1 + x 2 и Q ( x ) = x 2 + 1 . Начнем с того, что найдем общее решение ЛОДУ. После этого применим метод вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ. Это позволит нам найти искомое частное решение.

Общим решением соответствующего ЛОДУ y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 0 будет семейство функций y = C · ( x 2 + 1 ) , где С – произвольная постоянная.

Варьируем произвольную постоянную y = C ( x ) · ( x 2 + 1 ) и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 C x · ( x 2 + 1 ‘ — 2 x · C ( x ) · ( x 2 + 1 ) 1 + x 2 = 1 + x 2 C ‘ ( x ) · ( x 2 + 1 ) + C ( x ) · 2 x — 2 x · C ( x ) = 1 + x 2 C ‘ ( x ) = 1 ,

откуда C ( x ) = ∫ d x = x + C 1 , где C 1 – произвольная постоянная.

Это значит, что y = C ( x ) · ( x 2 + 1 ) = ( x + C 1 ) · ( x 2 + 1 ) — общее решение неоднородного уравнения.

Теперь приступим к отысканию частного решения, которое будет удовлетворять начальному условию y ( 1 ) = 3 .

Так как y = ( x + C 1 ) · ( x 2 + 1 ) , то y ( 1 ) = ( 1 + C 1 ) · ( 1 2 + 1 ) = 2 · ( 1 + C 1 ) . Обратившись к начальному условию, получаем уравнение 2 · ( 1 + C 1 ) = 3 , откуда C 1 = 1 2 . Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид y = x + 1 2 · ( x 2 + 1 )

Теперь рассмотрим еще один метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) .

Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка

Мы можем представить неизвестную функцию как произведение y = u ⋅ v , где u и v – функции аргумента x .

Мы можем подставить эту функцию в ЛНДУ первого порядка. Имеем:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) ( u · v ) ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x )

Если найти такое v , чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными u ‘ · v = Q ( x ) .

Рассмотрим этот алгоритм решения на предыдущем примере. Это позволит нам сосредоточиться на главном, не отвлекаясь на второстепенные детали.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 .

Пусть y = u ⋅ v , тогда
y ‘ — 2 x y x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ ( u · v ) — 2 x · u · v x 2 + 1 = x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ — 2 x · u · v x 2 + 1 = x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ — 2 x · v x 2 + 1 = x 2 + 1

Находим такое v , отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения v ‘ — 2 x · v x 2 + 1 = 0 .
v ‘ — 2 x · v x 2 + 1 = 0 ⇔ d v d x = 2 x · v x 2 + 1 ⇒ d v v = 2 x d x x 2 + 1 ⇔ d v v = d ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 ∫ d v v = ∫ d ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 ln v + C 1 = ln ( x 2 + 1 ) + C 2

Возьмем частное решение v = x 2 + 1 , соответствующее C 2 – С 1 = 0 .

Для этого частного решения имеем
u ‘ · v + u · v ‘ — 2 x · v x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ u ‘ · ( x 2 + 1 ) + u · 0 = x 2 + 1 ⇔ u ‘ = 1 ⇔ u = x + C

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть y = u · v = ( x + C ) · ( x 2 + 1 )

Ответы в обоих случаях совпадают. Это значит, что оба метода решения, которые мы привели в статье, равнозначны. Выбирать, какой из них применить для решения задачи, вам.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .

Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно привести:

.

Для решения ЛНДУ пользуются методом вариации произвольной постоянной. Кроме того, есть метод, который основан на представлении искомой функции y в как произведение: