Примеры первые представления о решении рациональных уравнений

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Открытый урок «Первые представления о решении рациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цель урока: систематизация и обобщение знаний о выполнении действий с алгебраическими дробями, решении уравнений

Тип урока: закрепление изученного материала.

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, экран, колонки, программа MS Office 2003 Power Point

План урока

Этапы урока

Время

Задачи

Сообщение темы;
постановка целей урока;
сообщение этапов урока.

Проверка домашнего задания.

Проверить правильность выполнения.(проектор)

Повторение теоретического материала.
Теоретический тест
Презентация Power Point
(приложение 1)
слайд 1-9

Основные результаты.
Повторить, что такое:
— рациональное выражение;
— область допустимых значений;
-условие равенства алгебраической дроби нулю;
— алгоритм сложения и вычитания алг. дроби.
— правила умножения и деления алг. дроби.
— возведения в степень.

Актуализация опорных знаний.
Групповая работа

1) Рассмотреть преобразования рациональных выражений.
2) Повторение алгоритма решения рациональных уравнений.
3) Решить задачу на составление уравнения, повторить правила оформления задач.

Закрепление изученного материала.
Тематический тест «Морской бой»
Презентация Power Point
(приложение 1)

Подготовка к контрольной работе в виде тестировании с последующей проверкой (приложение 1) Слайд №10-12

Оценить работу на уроке. Записать домашнее задание.

3 Теоретический тест:

Действия с алгебраическими дробями (приложение 1, слайд 1-9).

1. Основное свойство алгебраической дроби:

а) И числитель, и знаменатель дроби можно умножить и разделить на одно и то же число.

Приведение к новому знаменателю.

б) И числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен.

Приведение к новому знаменателю.

Сокращение алгебраической дроби

в) называют сокращением алгебраической дроби.

2. Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей.

а) Найти для каждой дроби новый числитель. 1

б) Найти дополнительные множители для каждой дроби. 2

в) Разложить все знаменатели на множители. 3

г) Выполнить сложение ( вычитание) полученных дробей. 4

д) Составить общий (новый) знаменатель. 5

е) В числителе привести подобные слагаемые. 6

ж) Проверить полученную дробь. 7

3. Переменные, входящие в состав алгебраической дроби, принимают лишь допустимые значения, при которых

а) знаменатель дроби не обращается в нуль.

б) знаменатель и числитель дроби не обращается в нуль.

в) числитель дроби не обращается в нуль.

4. Условие равенства дроби нулю:

а) А(х) = 0, В(х)0

5. Способы разложения на множители

1. Распределительный закон.

2. Способ группировки.an+bn+am+bm==n(a+b)+m(a+b)==(a+b)(n+m).

3. Формулы сокращенного умножения.

4. Актуализация опорных знаний.

При каких значениях переменной Х дробь имеет смысл.

Когда переменные принимают лишь допустимые значения?

Что значит сократить дробь?
Основное свойство дроби.
Повторить способы разложения на множители.

Найти разность дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебр. дробей.
Как найти общий знаменатель.
Разложить на множители.
Формулы сокращенного умножения.

Повторить правила умножения (деления) алг. дробей.
Какое действие первое необходимо применить?
Числитель и знаменатель каждой дроби разложить на множители.
Как сократить полученную дробь?

Назвать этапы решения уравнений.
1. ОДЗ
2. Преобразование полученной алг. дроби.
3. Решить уравнение.
4. Проверить полученные значения переменной.

Катер прошел 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч?

1. Составить уравнение.
2. Повторить правила оформления таких задач.

Группы №1,№2,№3 сдают на проверку карточки с решением и устно отвечают на вопросы к заданию.

Группы №4,№5,№6 готовят решения на доске .

5. Тематический тест.

Действия с алгебраическими дробями.

А.1 При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла

А.2 Найдите значение алгебраической дроби.

при данном значении переменной а =4.

А.3 Выполните действия

А.4 Упростите выражение

В.5 Найдите корни уравнения

В.6 Решите уравнение

С.1 Упростить выражение.

А.1 При каких значениях переменной а значение дроби равно нулю:

А.2 Найдите значение алгебраической дроби.

при данном значении переменной в =5.

Первые представления о решении рациональных уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В рамках данного урока мы обсудим методику решения рациональных уравнений. Вначале мы рассмотрим несколько примеров на повторение преобразования рациональных выражений, акцентируем внимание на важности уметь работать с такого рода преобразованиями, а затем перейдем непосредственно к разбору примеров уравнений.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»