Примеры по уравнениям математической физики

Уравнения математической физики: примеры и задачи

Уравнения математической физики для чайников

Задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений по предмету «Уравнения математической физики» (подраздел курса «Дифференциальные уравнения в частных производных» с физическими приложениями) для студентов. Разобраны типовые примеры для самых распространенных уравнений (уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности, волновое), методов (разделения переменных, Фурье, Даламбера) и задач (Штурма-Лиувилля, Пфаффа и т.д.).

Задачи с решениями по уравнениям математической физики онлайн

Задача 1. Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду. $$ u_+4u_+u_+u_x+u_y-x^2y=0. $$

Задача 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения.

Задача 3. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

Задача 4. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в кольце.

Задача 5. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Лапласа в кольцевом секторе.

Задача 6. Решить уравнение Лапласа в прямоугольнике:

Задача 7. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Задача 8. Решить задачу Коши для волнового уравнения:

Задача 9. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

Задача 10. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для круга:

Задача 11. Решить уравнение методом Лагранжа-Шарпи.

Задача 12. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Заказать работу по уравнениям в частных производных? Легко!

Нужно выполнить контрольную работу или задания из практикума по УМФ или ДУвЧП? Нет проблем — примем заказ от очников и заочников любых ВУЗов! Стоимость консультации по решению уравнения математической физики — от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Уравнения математической физики в действии

Сегодня поговорим о примерах в дисциплине уравнения математической физики общими словами без погружения в сухой, академический язык и множества формул.

По шкале сложности для чистой математики эта дисциплина на мой субъективный взгляд получает 7/10. Но это не значит, что эти формулы легки для зазубривания и запоминания. Тем более говорить о том, что я могу сделать открытие в данной области которое попадет в учебники, например объясняя физику какого — либо нового процесса или уточняя уже существующий. Если подумать, то, например выбирая какой-либо параграф учебника по данному предмету, то он исписан формулами, которые если провести аналогию похож на модуль по программированию. Скажу сразу мне преподавали данный предмет очень плохо, не объясняя, что данные формулы значат, точнее заглавие было например: «Уравнение волны» или «Колебание мембраны», а дальше переписывали все формулы в параграфе с короткими комментариями что откуда, весьма скудными в полной тишине. Препод перелистывал страницы презентации и ходил туда-обратно пока мы переписывали. Видно, что не ему, ни мне это было не нужно, как бы для общего развития. Скорее всего надо было читать дополнительную литературу чтобы понять, но там уровень для подкованного студента, предметов было много и где-то были пробелы и особо не было времени на все распылиться. Ну это так, к слову. К слову, чем больше людей надо учить в промежутке времени, тем меньше времени уделяется каждому студенту и тем хуже уровень знаний у каждого студента, ну это в пределе.

Ну это было уже давно, лекций не осталось, практика забылась, из головы все выветрилось как талая вода. Вот пример волны наглядный:

Волна

Как бы это уравнение бегущей волны с незакрепленными концами. Я мало что знаю об волнах, даже на уровне физики школьного курса, что-то типа амплитуды, периода, волнового числа и всего такого. Волны бывают продольные, поперечные, сферические, спиральные и другие. Это я только что прочитал на википедии.

Данный код ниже представляет практический интерес.

Как видите есть две функции, ksi и fi, они заданы тригонометрическими функциями sin, cos. Они характеризуют нашу волну. Там же есть аргументы функций 15*x и 18*x. Если, например увеличивать число 15 или число 18, то количество холмов будет увеличиваться, по-умному это значит, что чем большее число мы впишем в скобки, тем самым мы увеличиваем количество периодов функций данных, которые уместятся в заданный промежуток числа x. При увеличении будет сжиматься график вдоль оси Ox.

Икс то мы не увеличивали, шаг остался тем же около 0.01. Если мы будем уменьшать данные аргументы, то количество полных периодов функций будет меньше и как бы график растянется вдоль оси Ox.

А если мы вынесем за скобки и будем увеличивать/уменьшать само значение функции, как на коде выше, то будет растягиваться/сжиматься вдоль оси ординат, то есть вдоль оси Oy. Что показано на графиках ниже.

Здесь растяжение настолько большое что не вмещается в рабочее пространство и надо увеличивать рабочее пространство сцены и отдалять наблюдательное око.

А ниже наоборот сжатие относительно оси ординат.

Дело в том, я вот заметил, что каждое объяснение волн очень сложное, трудно выстроить в голове какие-либо упорядоченные знания об этом. Но я решил, что буду заниматься теперь только самыми насущными вещами, а не чтением гуманитарных статеек в интернете. Я очень много времени потратил на безделье и чтение всяких новостей, я превратился в гуманитария и не заметил.

С другой стороны, а как реализовать эти знания и монетизировать их? Не думаю, что есть вакансии, с требованием к программисту рисовать волны в браузере.

А вот второй пример посложнее, где уравнение окружность:

Волновая окружность

Хотелось сделать такой круг с волнами в виде, который похож на ютубе видел, как анимация голосовых волн от микрофона, но не получилось.

Здесь также можно увеличивать аргумент или/и значение функции и будет весьма интересно просмотреть результат.

Перейдем к следующему примеру, это концентрические окружности с волновым движением по оси Y:

Псевдо-мембрана

Чем-то похоже на изделие №1. Тот же принцип, но уже по массиву колец изменяется график, все кольцо увеличивается и уменьшается на одно значение, а другое кольцо уже на другое.

Чтобы улучшить вид, надо уменьшить шаг до тысячной доли, увеличить размер массива vertices в 10 раз, тогда не будет видно разрезов и будет идеально.

Глаз в положении 0,0,2

Резюмируя, хочу сказать вот многие говорили: «Зачем эти синусы и косинусы нужны?»

Вот для этого и многих других вещей, я, например написал об этом здесь, кто-то еще что-то придумает получше. Хотя трудно найти веб-программиста-математика-физика-художника, адская смесь получается.

Да, статья получилась не особо научной и в некотором роде объективной, но надо было чем-то заполнить пространство между картинками, спасибо у меня все!

Примеры по уравнениям математической физики

На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики (классический курс) в форме презентаций, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами МФТИ в марте-мае 2020 года во время самоизоляции, вызванной коронавирусной инфекцией.

Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.

Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам МФТИ, осваивающим классический курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с построением функции Грина оператора Штурма-Лиувилля.

Содержание

1. Оператор Штурма-Лиувилля
2. Задача Штурма-Лиувилля
3. Построение функции Грина оператора Штурма-Лиувилля
4. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению
5. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в круговых областях на плоскости.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
2. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в круге
3. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга
4. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце
5. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в круге. Необходимое условие разрешимости
6. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга. Необходимое условие разрешимости
7. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце. Необходимое условие разрешимости
8. Общий вид гармонических функций в круговых областях
9. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в сферически симметричных областях в пространстве.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве
2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в сферически симметричных областях в пространстве
3. Оператор Лапласа в сферических координатах
4. Оператор Лапласа-Бельтрами
5. Сферические функции
6. Полиномы Лежандра
7. Присоединенные полиномы Лежандра
8. Общий вид сферических функций
9. Общий вид гармонических функций в сферически симметричных областях в пространстве
10. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие посвящено решению задач на построение методом отражений функций Грина задач Дирихле и решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве при помощи функции Грина.

Содержание

1. Определение функции Грина задачи Дирихле
2. Применение функции Грина для решения задачи Дирихле
3. Примеры решения задач. Метод отражений

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления объемного потенциала: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала.

Содержание

1. Определение объемного потенциала
2. Физический смысл объемного потенциала
3. Свойства объемного потенциала
4. Пример вычисления объемного потенциала для шара двумя способами: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала

Учебно-методическое пособие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие на тему «Потенциалы простого и двойного слоя»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления потенциалов простого и двойного слоя: по определению и при помощи использования свойств потенциалов простого и двойного слоя.