Примеры решений уравнений биномом ньютона

Бином Ньютона — математическая формула с примером решения и объяснением

Рассматривая эти произведения, замечаем, что все они составлены по одному и тому же закону, а именно:

Произведение составляет многочлен, расположенный по убывающим степеням буквы х.

Показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов; показатели при х в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит х (содержит его в нулевой степени).

Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвёртого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Докажем, что этот закон применим к произведению какого угодно числа биномов. Для этого предварительно убедимся, что если он верен для произведения m биномов:
(x+a) (x+b) (х+с) … (x+k),
то при этом предположении будет верен и для произведения (m+1) биномов:
(x+a) (x+b) (x+c) . .. (x+k) (х+l).

Итак, допустим, что верно следующее равенство:
(x+α) (x+b) (х+с)… (x+k) =
где для краткости мы положим:

Умножим обе части допущенного равенства на бином x+l:

Рассматривая это новое произведение, убеждаемся, что оно подчиняется такому же закону, какой мы предположили верным для m биномов. Действительно, во-первых, этому закону следуют показатели буквы х; во-вторых, ему же следуют и коэффициенты, так как коэффициент второго члена S+l есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов, включая сюда и l; коэффициент третьего члена S₂+lS₁ есть сумма парных произведений всех вторых членов, включая сюда и l, и т. д.; наконец, есть произведение всех вторых членов: abc… kl.

Мы видели, что закон этот верен для произведения двух, трёх и четырёх биномов; следовательно, по доказанному теперь, он должен быть верен и для произведения 4+1, т. е. для произведения пяти биномов, если же он верен для произведения пяти биномов, то он верен и для произведения 5+1, т. е. для произведения шести биномов, и т. д.

Изложенное рассуждение представляет так называемое „доказательство от m к m+1“. Оно называется также „математической индукцией» (или „совершенной индукцией»). Заметим, что в предыдущих главах этой книги неоднократно представлялся случай применить доказательство от m к m + 1 . Мы этого не делали только ради простоты изложения.

Формула бинома Ньютона

Предположим, что в доказанном нами равенстве

все вторые члены биномов одинаковы, т. е. что a=b=c= … =k. Тогда левая часть будет степень бинома . Посмотрим, во что обратятся коэффициенты S₁, S₂, …, .

Коэффициент S₁, равный a+b+c+ … +k, обратится в та. Коэффициент S₂, равный ab+ac+ad+ …. обратится в число α², повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из m элементов по 2, т. е. обратится в . Коэффициент S₃, равный abc+abd+…, обратится в число а³, повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из т элементов по 3, т. е. и т. д. Наконец, коэффициент , равный abc...k, обратится в . Таким образом, мы получим:

Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причём многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением бинома. Рассмотрим особенности этого многочлена.

Свойства формулы бинома Ньютона

Из этих свойств мы укажем следующие 10:

1) Показатели буквы х уменьшаются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель х равен показателю степени бинома, а в последнем он есть 0; наоборот, показатели буквы а увеличиваются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель при а есть 0; а в последнем он равен показателю степени бинома. Вследствие этого сумма показателей при х и а в каждом члене одна и та же, а именно: она равна показателю степени бинома.

2) Число всех членов разложения есть m+1, так как разложение содержит все степени а от 0 до m включительно.

3) Коэффициенты равны: у первого члена — единице, у второго члена — показателю степени бинома, у третьего члена — числу сочетаний из m элементов по 2, у четвёртого члена — числу сочетаний из m элементов по 3; вообще коэффициент (n+1)-ro члена есть число сочетаний из m элементов по n. Наконец, коэффициент последнего члена равен числу сочетаний из т элементов по m, т. е. 1.

Заметим, что эти коэффициенты называются биномиальными.

4) Обозначая каждый член разложения буквой T с цифрой внизу, указывающей номер места этого члена в разложении, т. е. первый член T₁, второй член T₂ и т. д., мы можем написать:

Эта формула выражает общий член разложения, так как из неё мы можем получить все члены (кроме первого), подставляя на место n числа: 1, 2, 3,…. m.

5) Коэффициент первого члена от начала разложения равен единице, коэффициент первого члена от конца тоже равен единице. Коэффициент второго члена от начала есть m, т. е. ; коэффициент второго члена от конца есть ; но так как , то эти коэффициенты одинаковы. Коэффициент третьего члена от начала есть , а третьего члена от конца есть ; но , поэтому и эти коэффициенты одинаковы и т. д. Значит:

Коэффициенты членов, одинаково удалённых от концов разложения, равны между собой.

6) Рассматривая биномиальные коэффициенты:

мы замечаем, что при переходе от одного коэффициента к следующему числители умножаются на числа, всё меньшие и меньшие (на m—1, на m — 2, на m — 3 и т. д.), а знаменатели умножаются на числа, всё большие и большие (на 2, на 3, на 4 и т. д.). Вследствие этого коэффициенты сначала возрастают (пока множители в числителе остаются большими соответственных множителей в знаменателе), а затем убывают. Так как коэффициенты членов, равно отстоящих от концов разложения, одинаковы, то наибольший коэффициент должен находиться посередине разложения. При этом, если число всех членов разложения нечётное (что бывает при чётном показателе бинома), то посередине будет один член с наибольшим коэффициентом; если же число всех членов чётное (что бывает при нечётном показателе бинома), то посередине должны быть два члена с одинаковыми наибольшими коэффициентами. Например:
(х+α)⁴=x⁴+4αx³+6α²x²+4α³x+α⁴;
(x+α)⁵=x⁵+5αx⁴+10α²x3+10α³x²+5α⁴x+α⁵∙

7) Из сравнения двух рядом стоящих членов:


заключаем, что:

Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы х в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому.

Пользуясь этим свойством, можно сразу писать, например, (x+a)⁷=x⁷+7ax⁶+…

Теперь берём 7, умножаем его на 6 и делим на 2, получаем 21: (x+a)⁷=x⁷+7ax⁶+21a²x⁵+… .

Теперь уже выписаны члены до середины ряда, остальные получим, основываясь на свойстве пятом:
(х+а)⁷ =х⁷-7αx⁶+21α²x⁵+35α³x⁴+35α⁴x³+21α⁵x²+7α⁶x+α⁷.

8) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна . Действительно, положив в формуле бинома x=a=1, получим:

Например, сумма коэффициентов в разложении (х+a)⁷ равна
1+7+21+35+35 +21+7+1 = 128=2⁷.

9) Заменив в формуле бинома а на — а, получим:

т. е.

следовательно, знаки + и — чередуются.

10) Если в последнем равенстве положим x=α =1, то найдём:

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах.

Применение формулы бинома к многочлену

Формула бинома Ньютона позволяет возвышать в степень многочлен. Так:
(α+ b+c)⁴ = [(а+b)+с]⁴= (a+b)⁴+4c (а+b)³+6c² (а+b)²+4c³ (a+b)+c⁴.

Вывод формулы бинома ньютона

Возникает вопрос, будет ли закономерность, наблюдаемая в этих формулах, обладать общностью, т. е. будет ли справедливой формула

при всяком натуральном значении n?

Воспользуемся методом полной индукции. Допустим, что формула верна для произвольно взятого натурального числа р, т. е. предположим справедливым следующее равенство:

Умножим обе части этого предполагаемого равенства на

и приняв во внимание, что

Из предположения, что формула верна при мы пришли к тому, что формула оказалась верной и при Но поскольку, кроме того, формула верна при то она должна быть верна и при любом натуральном значении n.

Теперь легко получить разложение и для

Последняя формула и называется формулой бинома Ньютона. Ее правая часть называется разложением степени бинома.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Свойства разложения бинома

В разложении бинома содержится членов на один больше, чем показатель степени бинома.

Все члены разложения имеют относительно букв а и b одно и то же измерение, равное показателю степени бинома. (Измерением одночлена относительно букв а и b называется сумма показателей степеней этих букв, входящих в этот одночлен.)

Поскольку все члены разложения имеют одинаковое измерение относительно букв а и b, то это разложение является однородным многочленом относительно букв а и b (см. стр. 450).

В разложении показатель степени буквы а последовательно понижается на единицу, начиная с показателя n, а показатель степени буквы b последовательно повышается на единицу, начиная с показателя, равного нулю.

Член разложения является членом разложения и обозначается символом

называется формулой общего члена разложения, так как, давая букве k целые значения от 0 до n, мы можем получить из нее любой член разложения.

Теперь напишем разложение для выражения

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой. Действительно, по первому свойству числа сочетаний имеем:

2. Сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома.

Доказательство:

Положим, в формуле бинома

3. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме, биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Доказательство:

Полагая в тождестве

Перенеся все отрицательные члены в левую часть, получим:

что и требовалось доказать.

Если вместо биномиальных коэффициентов подставить их значения, то формула бином Ньютона примет вид:

Формулу бинома Ньютона принято записывать ради краткости в следующем символическом виде:

Читателю может показаться непонятным, почему столь элементарная формула

где n — целое положительное число, носит имя великого ученого Ньютона, тем более что эта формула была известна до Ньютона. Например, ее знал Аль-Каши (XV век) и она встречается в трудах Паскаля. Объясняется это тем, что именно Ньютоном была обобщена эта формула для любого действительного показателя.

Ньютон впервые показал, что выражение

где и — любое действительное число, равняется сумме следующего сходящегося, ряда:

Например, если то

Арифметический треугольник, или треугольник паскаля

Написанная ниже таблица

называется треугольником Паскаля *.

По боковым сторонам этой таблицы стоят единицы, внутри же стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел предыдущей строки. Например, число 21 в 8-й строке получается сложением стоящих над ним чисел 6 и 15.

строка этой таблицы дает биномиальные коэффициенты разложения n-й степени бинома. Например:

Треугольник Паскаля получается из следующей таблицы:

в силу того, что

Треугольник Паскаля приведен в книге Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданной после его смерти в 1665 году.

Примеры с решением на Бином Ньютона

1. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, т. е. член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от х, будет тот, который содержит х в нулевой степени).

Решение:

Отсюда

Приравняв показатель степени буквы х к нулю, получим:

Отсюда

Искомым свободным членом будет четвертый, и он будет равен т. е. 165.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение:

Для рациональности члена разложения необходимо, чтобы число k было кратно четырем. Но тогда будет числом четным и будет числом рациональным.

Число k может принимать целые значения 0, 1, 2….. 100. Среди этих чисел кратными четырем будут

Пользуясь формулой получим: или Следовательно, в разложении рациональных членов будет 26.

3. Доказать, что значение выражения

где n — натуральное число, делится на 9.

Доказательство:

Каждое слагаемое последней суммы делится на 9, следовательно, и вся эта сумма, т. е. значение выражения делится на 9, что и требовалось доказать.

Дополнение к Бином Ньютону

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) · ( n — 2 ) · . . . · ( n — ( k — 1 ) ) ( k ) ! — биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а » ! » является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n — k · b k — ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

• коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n — p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
• C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
• биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
• при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
   a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
2. Если неравенство верно при n — 1 , тогда выражение вида a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

1. Доказательство равенства a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n — 1 = = ( a + b ) C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 · a n — 1 · b + C n — 1 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a 2 · b n — 2 + + C n — 1 n — 1 · a · b n — 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + C n — 1 2 · a n — 3 · b 3 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Имеем, что C n — 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n — 1 0 = C n 0 . Если C n — 1 n — 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n — 1 n — 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n — 1 1 + C n — 1 0 = C n 1 C n — 1 2 + C n — 1 1 = C n 2 ⋮ C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 = C n n — 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 = C n — 1 n — 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n .

Бином Ньютона

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n — целое число.

Каждое выражение — это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до «половины пути», а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c₁a 5 b + c₂a 4 b 2 + c₃a 3 b 3 + c₄a 2 b 4 + c₅ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + 1b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = c₀a n b 0 + c₁a n-1 b 1 + c₂a n-2 b 2 + . + c_n-1a 1 b n-1 + c_na 0 b n ,
где числа c₀, c₁, c₂. c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u — v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u — v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1(u) 5 + 5(u) 4 (-v) 1 + 10(u) 3 (-v) 2 + 10(u) 2 (-v) 3 + 5(u)(-v) 4 + 1(-v) 5 = u 5 — 5u 4 v + 10u 3 v 2 — 10u 2 v 3 + 5uv 4 — v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку — скажем, 8-ю строку — без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 — 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x 2 — 2y) 5 = x 10 — 10x 8 y + 40x 6 y 2 — 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 — 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√ x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√ x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√ x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x — 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x — 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n :
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество ?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
<кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр>.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.