Примеры решений уравнений симплекс методом

Подробный разбор симплекс-метода

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Определение: Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание: Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

• Если , то
• Если — любой, то , где

Замечание: Будем нумеровать по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание: ≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Определение: Точка называется угловой точкой, если представление возможно только при .

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит (т.е. – не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение: Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m

Симплексный метод решения ЗЛП

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения задач линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом в следующих формах записи:

• в виде симплексной таблицы (метод жордановых преобразований); базовой форме записи;
• модифицированным симплекс-методом; в столбцовой форме; в строчечной форме.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word
• Также решают

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

1. Составление первого опорного плана. Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.
2. Проверка плана на оптимальность. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.
3. Определение ведущих столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.
4. Построение нового опорного плана. Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана—Гаусса.

Если необходимо найти экстремум целевой функции, то речь идет о поиске минимального значения ( F(x) → min , см. пример решения минимизации функции) и максимального значения ( F(x) → max , см. пример решения максимизации функции)

Экстремальное решение достигается на границе области допустимых решений в одной из вершин угловых точек многоугольника, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками.

Основная теорема линейного программирования . Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения в некоторой точке области допустимых решений, то она принимает это значение в угловой точке. Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то она принимает это же значение в любой из выпуклой линейной комбинации этих точек.

Суть симплекс-метода. Движение к точке оптимума осуществляется путем перехода от одной угловой точки к соседней, которая ближе и быстрее приближает к X_опт. Такую схему перебора точек, называемую симплекс-метод, предложил Р. Данцигом.
Угловые точки характеризуются m базисными переменными, поэтому переход от одной угловой точки к соседней возможно осуществить сменой в базисе только одной базисной переменной на переменную из небазиса.
Реализация симплекс-метода в силу различных особенностей и постановок задач ЛП имеет различные модификации.

Построение симплекс-таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Как с помощью симплекс-таблицы определить, что решение задачи линейного программирования является оптимальным?
Если последняя строка (значения целевой функции) не содержит отрицательных элементов, следовательно, найдет оптимальный план.

Замечание 1 . Если одна из базисных переменных равна нулю, то крайняя точка, соответствующая такому базисному решению — вырожденная. Вырожденность возникает, когда имеется неоднозначность в выборе направляющей строки. Можно вообще не заметить вырожденности задачи, если выбрать другую строку в качестве направляющей. В случае неоднозначности нужно выбирать строку с наименьшим индексом, чтобы избежать зацикливания.

Замечание 2 . Пусть в некоторой крайней точке все симплексные разности неотрицательные D_k³ 0 (k = 1..n+m),т.е. получено оптимальное решение и существует такой А_k – небазисный вектор, у которого D_k = 0. Тогда максимум достигается по крайней мере в двух точках, т.е. имеет место альтернативный оптимум. Если ввести в базис эту переменную x_k, значение целевой функции не изменится.

Замечание 3 . Решение двойственной задачи находится в последней симплексной таблице. Последние m компонент вектора симплексных разностей( в столбцах балансовых переменных) – оптимальное решение двойственной задачи. Значение целевых функций прямой и двойственной задачи в оптимальных точках совпадают.

Замечание 4 . При решении задачи минимизации в базис вводится вектор с наибольшей положительной симплексной разностью. Далее применяется тот же алгоритм, что и для задачи максимизации.

Если задано условие «Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью», то соответствующее условие представляет собой равенство.

Аналитическое введение в симплекс-метод

Итак, если мы решаем ЗЛП в канонической форме, то система ограничений — это обычная система линейных уравнений. При решении задач ЛП получаются системы линейных уравнений, имеющие, как правило, бесконечно много решений.

Например, пусть дана система

Здесь число уравнений равно 2, а неизвестных — 3, уравнений меньше. Выразим x₁ и x₂ через x₃ :

Это общее решение системы. если переменной x₃ придавать произвольные числовые значения, то будем находить частные решения системы. Например, x₃=1 → x₁=1 → x₂=6. Имеем (1, 6, 1) — частное решение. Пусть x₃=2 → x₁=-3, x₂= 1, (-3, 1, 2) — другое частное решение. Таких частных решений бесконечно много.

Переменные x₁ и x₂ называются базисными, а переменная x₃ — не базисная, свободная.

Совокупность переменных x₁ и x₂ образует базис: Б (x₁, x₂). Если x₃ = 0, то полученное частное решение (5, 11, 0) называется базисным решением, соответствующим базису Б (x₁, x₂).

Базисным называется решение, соответствующее нулевым значениям свободных переменных.
В качестве базисных можно было взять и другие переменные: (x₁, x₃) или (x₂, x₃).
Как переходить от одного базиса Б(x₁, x₂) к другому базису Б(x₁, x₃)?
Для этого надо переменную x₃ перевести в базисные, а x₂ — в небазисные т. е. в уравнениях надо x₃ выразить через x₂ и подставить в 1-е:

Базисное решение, соответствующее базису Б (x₁, x₃), таково: (-19/5; 0; 11/5).

Если теперь от базиса Б (x₁, x₃) нам захочется перейти к базису Б (x₂, x₃), то

Базисное решение, соответствующее базису Б (x₂, x₃): (0;19/4; 7/8).
Из трех найденных базисных решений решение, соответствующее базису Б (x₁, x₃) — отрицательное x₁ Пример . Решить задачу ЛП.

Эти ограничения могут рассматриваться как произошедшие из неравенств, а переменные x₃, x₅, x₄ — как дополнительные.
Запишем ограничения, выбрав базис из переменных Б< x₃, , x₄, x₅>:

Этому базису соответствует базисное неотрицательное решение
x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 2, x₄ = 2, x₅ = 5 или (0, 0, 2, 2, 5).
Теперь нужно выразить F через небазисные переменные, в нашем случае это уже сделано: F= x₂ — x₁.
Проверим, достигла ли функция F своего минимального значения. Для этого базисного решения F= 0 — 0 = 0 — значение функции равно 0. Но его можно уменьшить, если x₁ будет возрастать, т. к. коэффициент в функции при x₁ отрицателен. Однако при увеличении x₁ значения переменных x₄, x₅ уменьшаются (смотрите второе и третье равенство системы ограничений). Переменная x₁ не может быть увеличена больше чем до 2, иначе x₄ станет отрицательной (ввиду равенства 2), и не больше, чем до 5, иначе x₅ — отрицателен. Итак, из анализа равенств следует, что переменную x₁ можно увеличить до 2, при этом значение функции уменьшится.
Перейдем к новому базису Б₂, введя переменную x₁ в базис вместо x₄.
Б₂<x₁, x₃, x₅>.
Выразим эти базисные переменные через небазисные. Для этого сначала выразим x₁ из второго уравнения и подставим в остальные, в том числе и в функцию.

Имеем:

F = -2 — x₂ + x₄.
Базисное решение, соответствующее базису Б₂<x₁, x₃, x₅>, имеет вид (2, 0, 6, 0, 3), и функция принимает значение F= -2 в этом базисе.
Значение функции можно и дальше уменьшать, увеличивая x₂. Однако, глядя на систему, x₂ можно увеличивать лишь до 1, т. к. иначе из последнего равенства x₅ = 3 — 3x₂ + x₄ следует, что при x₂ > 1 x₅ станет отрицательной. А у нас все переменные в ЗЛП предполагаются неотрицательными. Остальные уравнения системы не дают ограничений на x₂. Поэтому увеличим x₂ до 1, введя его в базис вместо x₅: Б₃<x₁, x₂, x₃>.
Выразим x₂ через x₅ и подставим во все уравнения:

Базисное решение, соответствующее базису Б₃<х₁, х₂, х₃>, выписывается (4, 1, 9, 0, 0), и функция принимает значение F= -3. Заметим, что значение F уменьшилось, т. е. улучшилось по сравнению с предыдущим базисом.
Посмотрев на вид целевой функции , заметим, что улучшить, т. е. уменьшить значение F нельзя и только при x₄ = 0, x₅ = 0 значение F= -3. как только x₄, x₅ станут положительными, значение F только увеличится, т. к. коэффициенты при x₄, x₅ положительны. Значит, функция F достигла своего оптимального значения F* = -3. Итак, наименьшее значение F, равное -3, достигается при x₁* = 4, x₂* = 1, x₃* = 9, x₄* = 0, x₅* = 0.

На этом примере очень наглядно продемонстрирована идея метода: постепенно переходя от базиса к базису, при этом всегда обращая внимание на значения целевой функции, которые должны улучшиться, мы приходим к такому базису, в котором значение целевой функции улучшить нельзя, оно оптимально. Заметим, что базисов конечное число, поэтому количество шагов, совершаемых нами до того нужного базиса, конечно.

Симплекс метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает задачу линейного программирования симплекс методом. Дается подробное решение с пояснениями. Для решения задачи линейного программирования задайте количество ограничений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП). Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи. Подробнее в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1. Последние три векторы столбцы обазуют базис в трехмерном пространствое. Следовательно базисные переменные , а свободные переменные :

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x₂. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x₃. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₂, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x₁. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x₄. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₁, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F(X)=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1:

Базисные векторы x₄, x₃, следовательно, все элементы в столбцах x₄, x₃, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x₄, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x₃, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x₂. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x₂. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₁, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x₃. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x₅. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₃, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

.

Значение целевой функции в данной точке:

.

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственные переменные, а в целевую функцию добавляем эти переменные, умноженные на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы x₄, x₅, x₆, следовательно, все элементы в столбцах x₄, x₅, x₆, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x₄, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x₅, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x₆, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x₀ отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.