Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Делаем замену y → ty , x → tx .
Делим на t 2 .
.
Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux ,
где u — функция от x . Дифференцируем по x :
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .
При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 .
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
,
,
.
Сокращаем на t .
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x .
y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 .
,
Умножаем на ± dx и делим на .
При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные,
.
Применим формулу:
( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 .
Положим a = u , .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.
Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .
Умножаем на x и подставляем ux = y .
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.
Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 .
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!