Примеры решения уравнений логарифмических и показательных уравнений

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

1. Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

1. Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

1. Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

• Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 393)
• Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 280)
• ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 272)
• Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 234)

StudyWay

Помощь

© 2021 StudyWay. Все права защищены.

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Примеры решения уравнений логарифмических и показательных уравнений

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 198. Примеры графического решения показательных и
логарифмических уравнений

Пример 1. Решить уравнение

На одном и том же чертеже (рис. 260) построим графики двух функций: у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках: А с абсциссой 1 и В с абсциссой 2. Поэтому данное уравнение имеет два корня: х = 1 и х =2.

Пример 2. Решить уравнение

Графики функций y = lg х и y = x (рис. 261) не пересекаются друг с другом. Поэтому данное уравнение не имеет корней.

Мы рассмотрели простейшие примеры. Уравнения, которые получаются при решении практических задач, обычно значительно отличаются от таких «учебных» задач. Для их решения наряду с графической иллюстрацией приходится обращаться и к таблицам. Рассмотрим, например, такое уравнение.

Графики функций у = log₂ x и у = 1 /_x (рис. 262) пересекаются в одной точке, абсцисса которой заключена между 1 и 2. Поэтому данное уравнение имеет один корень х₀, который больше 1, но меньше 2:

Используя таблицы В. М. Брадиса, находим, что

искомый корень х₀ должен быть меньше, чем 1,7 (см. рис. 262). следовательно,

1471. Найти корень уравнения 2 х = 2 — х с точностью до 0,1.

1472. Найти наименьший корень уравнения log₂ x = 1 /₃ х с точностью до 0,1.

Решение показательных и логарифмических уравнений в классах с углублённым изучениАем математики.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Алгоритм решения показательных и логарифмических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №22 с УИОП»

Решение показательных и логарифмических уравнений в классах с углубленным изучением математики.

Учитель математики Куликова Н.В.

Решению показательных и логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начал математического анализа уделяется большое внимание, так как изучение этого вопроса открывает широкие возможности для четкого восприятия свойств функции, а также для повторения некоторых ранее изученных разделов алгебры (решение квадратных уравнений и т.д.)

Показательные уравнения принадлежат к классу уравнений, носящих название трансцендентных уравнений. Для этих уравнений нельзя указать общего способа решения. До окончательного решения трансцендентного уравнения неясно, сколько оно имеет корней. При решении показательных уравнений возможно получение посторонних корней, поэтому в тех случаях, где это необходимо, корни следует проверять подстановкой.

Показательные уравнения можно разбить на три типа, каждый из которых решается определённым способом.

К перовому типу можно отнести уравнения, в которых равные основания даны в неявном виде.

Исходное уравнение свелось к уравнению вида . Данное уравнение равносильно уравнению при условии, что и .

С учетом изложенного уравнение (*) равносильно уравнению

Необходимо сделать проверку, т.к. областью допустимых значений Х является не всё множество действительных чисел.

Можно разделить левую и правую части уравнения на произведение Это сделать можно, так как данное произведение не ровно 0 ни при каких Х.

Исходное уравнение свелось к уравнению . С учётом изложенного выше

Ко второму типу можно отнести уравнения, левая часть которых требует предварительного разложения на множители.

Степени равны, показатели степеней тоже равны при неравных основаниях, значит показатели степеней равны 0, т.е.

К третьему типу можно отнести уравнения, решение которых сводится к решению квадратного уравнения. При этом используется метод введения новой переменной с отбором корней на промежуточном этапе.

Если обозначить , ( по свойству показательных функций), то исходное уравнение сведётся к уравнению

не удовлетворяет условию .

В данном случае необходимости в проверке не существует.

Решение простейших логарифмических уравнений связано с определением логарифма и основным логарифмическим тождеством вида , где .

На основании определения логарифма решаются задачи, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определятся число и по данному числу и логарифму определятся основание. Решения уравнений вышеприведенного характера обычно затруднений не вызывают. В школьной программе чаще всего встречаются уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным упрощением данного выражения, либо логарифмированием обеих частей уравнения.

Желательно, не приступая к решению уравнения, найти область допустимых значений функции, стоящей в левой части уравнения.

При наличии предварительного исследования проверку делать не обязательно. Если же исследование не проводится, то проверка решения необходима.

В данном случае

С учётом проведенного исследования проверка решения не нужна.

С учётом проведенных исследований возможно перейти к решению уравнения

Данное решение удовлетворяет ОДЗ, следовательно является корнем исходного уравнения.

Необходимо прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10

Решив данное уравнение относительно , можно получить

С учётом ОДЗ является корнем исходного уравнения.

Логарифмирование обеих частей уравнения используется в основном для уравнений, в которых показатель степени содержит логарифмы.

Несколько примеров решения уравнений с усложнёнными условиями:

Естественно заметить, что , , . Используя определение логарифма, можно перейти к следующим равенствам:

Тогда с учетом новой переменной исходное уравнение примет вид

не удовлетворяет ОДЗ

Решив данное уравнение относительно , можно получить откуда

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок — семинар в 11 классе «Решение показательных и логарифмических уравнений с модулем»

Данный урок — семинар рекомендуется для работы в профильном классе, а также материал этого занятия можно использовать на факультативном занятии. Здесь предложен конспект урока, презентация, разадаточн.

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Разработка урока по теме «Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений .

Урок алгебры в 11 классе с углубленным изучением математики по теме: «Решение показательных и логарифмических уравнений с переменным основанием. Введение сложной экспоненты».

Форма: урок-практикум.Задачи: путем введения сложной экспоненты научить решать показательные и логарифмические уравнения с переменным основанием.Цели урока:Образовательные: -.

Обобщающий урок по теме:»Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» в 10 — 11 классе

Ребятам нравится практичесое приложение данного материала, спор двух очень сложных для решения и понимания функций (показательной и логарифмической).Решение большого количества различных заданий дает .

Урок алгебры в 11 классе «Решение показательных и логарифмических уравнений»

Презентация предназначена для проведения урока по алгебре (11 класс).Урок адресован:- учителям математики, работающим в выпускных классах, которым нужно не просто закрепить тему, но и подготовит.

Крупноблочное изучение тем : «Показательная логарифмическая функция», «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств»

Данная методическая разработка поможеть учителю в планировании учебной деятельности.

Повторение 11 класс Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Рассматривается материал повторения решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.