Примеры решения уравнений методом феррари

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем р = −6, q = 4 (1 — i).

Таким образом, получаем:

; v = 1 + i ;

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем уравнение:

причем х = у + 1 ; р = 9 ; q = −26.

Таким образом, находим:

D = (−13)2 + 33 = 196 , = 14 ;

u = = 3 ; v = −1 ;

y2 = −1 + 2i ;

y3 = −1 − 2i .

х1 = 3 ; х2 = 2i ; х3 = − 2i .

Ответ: а) 7 ; 1 + i; 1 − i;

в) 3 ; 2i ; − 2i .

Занятие 16. Решение уравнений четвертой степени методом Феррари

Рассмотрим решение уравнений 4-й степени на конкретном примере.

Пример. Решите уравнение

Оставим в левой части уравнения члены, содержащие х4 и х3 :

Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:

х4 − х3 + х2 = х2 + 3х2 − 5х + 10,

(1)

Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r :

Откуда с учетом равенства (1) получим:

, (2)

Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т. е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).

D =

= .

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

В частности, D = 0 , если r = −3/2 .

Подставив значение r = −3/2 в равенство (2) , получим:

,

.

,

,

х2 − х + 2 = 0 или х2 − 5 = 0 .

.

Ответ: .

Задача 1. Решите уравнения:

Преобразуем уравнение (1)* по методу Феррари :

Введем в полный квадрат левой части равенства (2)* параметр r . Получим:

Используя равенство (2)*, находим :

Теперь подберем такое значение параметра r , чтобы дискриминант правой части равенства (3)* был равен нулю.

D = (r − 1)2 − (12 − 3)(2r − 3) = −2r3 + 4r2 + 4r − 8 .

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

В частности, D = 0 , если r = 2.

Подставив найденное значение параметра r в равенство (3)* получаем:

x2 − 2x + 3 = 0 или x2 + l = 0;

.

Преобразуем уравнение (4)* по методу Феррари:

Введем в полный квадрат левой части равенства (5)* параметр r . Получим:

Откуда с учетом равенства (5)* находим:

Подберем такое значение параметра r , чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (6)* обратился в нуль:

− 2 r 3 + 10 r 2 − 12 r + 4 = 0 ; r 3 − 5 r 2 + 6 r − 2 = 0;

r 3 − r 2 − 4 r 2 + 4 r + 2 r − 2 = 0;

В частности, дискриминант равен нулю, если r = 1. Следовательно, подставив значение r = 1 в равенство (6)* получим:

(х2 − 3 х + 1)2 = х 2 − 4 х + 4 ; (х 2 − 3 х + 1)2 − (х − 2)2 = 0;

х 2 − 2 х − 1 = 0 или х 2 − 4 х + 3 = 0 ;

х 1, 2 = ; х 3 = 3; х 4 = 1.

Ответ: a)

б) ; 3; 1.

ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ

ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

В 1494 году в Венеции вышла книга францисканского монаха, занимавшего кафедру математики Миланского университета, Луки Пачиоли (Пачоли) (1450–1510) «Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциям» («Summa»), которая заканчивалась выводом: «Решение кубических уравнений вида

где а > 0 и b > 0 , столь же невозможно при современном состоянии науки, как и решение квадратуры круга циркулем и линейкой».

Однако, несмотря на это предупреждение, уже через 6 лет в 1500 году профессор Болонского университета Сципион дель Ферро (1456–1526) нашел формулу решения уравнения

где а > 0 и b > 0 . Эта формула имела вид:

(1)

Но, как это было принято в ту эпоху, дель Ферро держал свой метод в тайне.

В феврале 1535 года Николо Фонтана из Брешии (1499 (?)–1557), известный под именем Тарталья (что в переводе с итальянского означает «заика» – Фонтана сильно заикался), в ходе публичных состязаний с Фиоре (учеником дель Ферро) решил три десятка кубических уравнений вида:

где m , n , а, b − положительные числа.

В конце 30-х годов XVI века Джероламо (Джеронимо) Кардано (1501–1576) ознакомился с методом Тартальи, но поклялся его не разглашать. Однако, в 1545 году вышла книга Кардано «Великое Искусство» («Ars Magna»), в которой он приводит методы решения уравнений третьей степени (формулы дель Ферро− Тартальи) и четвертой степени (метод Людовико Феррари (1522–1565), ученика Кардано).

Как Тарталья, так и Кардано столкнулись с трудностью, которую они так и не смогли разрешить: когда величина , (называемая в настоящее время дискриминантом кубического уравнения) отрицательна, что соответствует случаю трех различных действительных корней, формулу (1) нельзя применять, не выходя за пределы множества действительных чисел. Чтобы сохранить эту формулу, надо выйти за пределы множества R , и тогда два действительных корня находятся с помощью суммы и разности двух комплексных чисел и двух сопряженных кубических корней из 1 .

Этот случай Тарталья назвал «неприводимым». Кардано, решая задачу о нахождении сторон прямоугольного участка с площадью 40 и периметром 20 , пришел к системе

;

.

Кардано назвал «софистическим» числом, добавив, что «для осуществления таких действий нужна новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной».

Первая догадка, как из этих «софистических чисел»
получить действительные корни, пришла замечательному ученому из Болоньи Рафаэлю Бомбелли (1530–1572), который в своем труде «Алгебра» (1572) показал, что новые числа дают при извлечении квадратного корня сопряженные числа, при сложении которых взаимно уничтожается корень квадратный из отрицательного числа.

В этой же книге Бомбелли установил четыре правила действий над новыми числами и четыре правила, связывающие «новую» () и «старую»» («1») единицы:

Именно поэтому Рафаэля Бомбелли считают основоположником теории комплексных чисел.

В дальнейшем комплексные числа встречаются в работах французского математика XVII века Рене Декарта (1596–1650) при исследовании решений алгебраических уравнений второй степени. В приложении к труду «Рассуждение о Методе, чтобы направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637), называемом «Геометрия» (в третьей книге − «О природе уравнений») Декарт ставит вопрос: сколько корней может иметь алгебраическое уравнение n-й степени, и дает ответ: столько же, сколько имеет единиц степень уравнения. При этом он отмечает, что надо различать «истинные» (положительные), «ложные» (отрицательные) и «воображаемые» (мнимые) корни, подчеркивая, что линии на плоскости, которые не могут пересекаться при их алгебраическом представлении в виде уравнений, дают мнимые точки пересечения.

Однако, «мнимые» величины, выдвинутые Декартом и его последователями, долго не получали признания. Даже такой выдающийся математик и философ, как , писал: «Мнимые числа − это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

Первая удачная попытка геометрической интерпретации комплексных чисел была предпринята датским землемером и математиком Каспаром Весселем () в работе «Опыт аналитического представления направлений» (1797), которая, к сожалению, в течение столетия оставалась неизвестной.

После Весселя свою интерпретацию комплексных чисел предложил французский математик Жан Арган () в работе «Опыт некоторого представления мнимых количеств в геометрических построениях» (1806).

Однако, самую наглядную геометрическую интерпретацию комплексных чисел дал немецкий ученый, «король математиков» (1777–1855) в работе «Теория биквадратных вычетов» (1799) и позднее в «Арифметической теории комплексных чисел» (1806, 1825 и 1831), где он, рассматривая способ интерпретации новых чисел, назвал их впервые «комплексными числами» (от латинского слова «соmplex» — «объединение»), имея в виду объединение двух единиц (1 и = i ) в одно число:

(где а и b — действительные числа), оставив при этом идущее от Декарта название вторых единиц − «мнимые единицы».

В этой работе Гаусс навсегда изгнал таинственность, окружавшую мнимые числа, представив их с помощью точек плоскости. Позднее французский математик Огюстен Коши (1789–1857) в своем труде «Алгебраический анализ» (1821) продолжил эту удачную интерпретацию и ввел понятие модуля комплексного числа z = а + bi в виде неотрицательного действительного числа

.

1. , , Мордкович вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс.– М.: Просвещение, 1980.

2. , , Шабунин и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы.– М. Просвещение, 1975.

3. Андронов действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.

4. , , Пасиченко по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.

5. , , Ашкенузе . Учебное пособие для 9-10 классов средней школы с математической специализацией. – М.: Просвещение, 1972.

6. , Ивашев-, Шварцбурд и математический анализ. Учебное пособие для учащихся 10 классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1989.

7. , , Шварцбурд изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1991.

8. Гибш . Пособие для учителей 9−11 классов. – М.: Просвещение,1960.

9. , Солодовников – практикум по высшей алгебре для студентов−заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1969.

10. , Новик и начала анализа. – М.: Просвещение, 1987.

11. Калнин и элементарные функции. – М.: Наука, 1964.

12. , , Яковлев и начала анализа. Часть II. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1978.

13. Киселев . Часть II. Учебник для 8-10 классов средней школы. – М.: Учпедгиз, 1950.

14. Кочетков B. C., Кочеткова и элементарные функции. Часть II. – М.: Просвещение, 1968.

15. Крамор B. C. Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1981.

16. , , Яковлева по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1985.

17. Ларичев задач по алгебре. Часть II. Для 9−10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1965.

18. Математика в школе. № 3, 1990.

19. Математика в школе. № 6, 1992.

20. Окунев алгебра. – М.: Просвещение, 1966.

21. Петраков кружки в классах. – М.: Просвещение, 1988.

22. Петраков алгебры в педучилищах. Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1970.

23. Понтрягин чисел. – М.: Просвещение, 1985.

24. Туманов математика. Пособие для самообразования. – М.: Просвещение, 1970.

25. , Соминский для самообразования. – М.: Наука, 1966.

26. , Пинский по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. 1989.

27. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель – М.: Педагогика, 1989.

28. Энциклопедия элементарной математики. Арифметика. Книга I. Под ред. – М.−Л.: Гостехиздат, 1951.

Комплексные числа и их приложение к решению

уравнений 3-й и 4-й степени

Глава 1. Комплексные числа в алгебраической

Занятие 1. Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и

деление комплексных чисел.

Степени мнимой единицы (лекция) 6

Занятие 2. Операция сопряжения и ее свойства.

Модуль комплексного числа.

Извлечение корня квадратного

из комплексного числа (лекция) 15

Занятие 3. Действия с комплексными числами

в алгебраической форме (практика) 21 Занятие 4. Действия с комплексными числами

в алгебраической форме (практика) 27

Занятие 5. Контрольная работа №1 29

Глава 2. Геометрическая интерпретация

Занятие 6. Геометрическая интерпретация

комплексных чисел (лекция) 30

Занятия 7–8. Геометрическая интерпретация

комплексных чисел (практика) 33

Занятие 9. Контрольная работа №2 (45 мин.) 44

Глава 3. Комплексные числа в тригонометрической

Занятие 10. Тригонометрическая форма

комплексного числа, ее связь с

алгебраической формой (лекция) 45

Занятие 11. Действия с комплексными числами

в тригонометрической форме.

Возведение в натуральную степень

и извлечение корня из комплексного

числа в тригонометрической форме

(лекция) 50 Занятия 12–13. Действия с комплексными числами

в тригонометрической форме

Занятие 14. Контрольная работа №3 64

Глава 3. Решение уравнений 3-й и 4-й степени

Занятие 15. Решение уравнений третьей

степени (лекция) 65

Занятие 16. Решение уравнений третьей

степени (практика) 73

Занятие 17. Решение уравнений четвертой

степени методом Феррари (практика) 78

Из истории возникновения и развития понятия