Примеры решения уравнений по информатик

Примеры решения уравнений по информатик

Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Программирование на Паскале. Тема: «Решение квадратного уравнения с использованием конструкции IF–THEN–ELSE»

Цели урока:

  • Повторить с учащимися правила решения квадратных уравнений
  • Вспомнить алгоритмическую конструкцию IF-THEN-ELSE
  • Составить блок-схему программы и саму программу на языке Pascal
  • Проверить работоспособность программы на конкретных примерах
  • Расширить представления учащихся о применении языка Pascal
  • Воспитать у учащихся чувство аккуратности, внимательности, ответственности
  • Научить учащихся самостоятельно находить свои ошибки в программах
  • Оборудование:

  • Таблички с формулами
  • Плакат с блок-схемой алгоритма КВУР
  • Листочки с индивидуальными заданиями
  • Система программирования «Turbo Pascal 7.0»
  • До сих пор мы с вами говорили о каких-то отвлечённых задачах из области математики. Сегодня мы поговорим о конкретной задаче, которая встречается у вас почти на каждом уроке. Это решение квадратного уравнения. Я хочу, чтобы вы на примере этой задачи поняли, что программирование — это не просто прихоть учителя, это действительно раздел информатики, который может нам помочь, например, в решении конкретных математических задач. Нужно только уметь разбираться в этом.

    2. Математическое решение

    Давайте вспомним, что понимают под квадратным уравнением?

    Что из себя представляют числа a,b,c и как их называют?

    С чего начинают решение квадратного уравнения?

    Найдите вокруг себя формулу дискриминанта. (D=b 2 -4ac) (Приложение 3)

    Как мы решаем далее квадратное уравнение? (сравнение D с нулём)

    Какие выводы мы из этого делаем?

    (если D 0, то два корня)

    Как найти корни квадратного уравнения? Найдите формулы корней среди тех, что развешены повсюду.

    Если я случай наличия корней квадратного уравнения сведу к условию D0, то что я получу в случае D=0?

    (Два одинаковых корня)

    Давайте ещё раз подробно разберём нашу задачу:

    Итак, у нас есть квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0.

    Мы должны решить его, т.е. найти такие значения х, при которых правая часть уравнения =0. Мы знаем, что для этого нам надо:

    Найти дискриминант D=b 2 — 4ac.

    Сравнить его с нулём

    D=b 2 -4ac=10 2 -4*3*3=100 — 36 =64

    Х1=,

    X2 =

    3. Составление блок-схемы алгоритма.

    По заданному решению попробуем составить блок-схему алгоритма в тетради. Кто справится первым, прошу к доске.

    Подпишем основные элементы блок — схемы применительно к языку программирования.

    4. Составление программы по блок — схеме.

    Теперь, пользуясь нашими записями, составим программу и покажем её учителю. Тот, кто до конца урока составит только программу, не проверив её на компьютере, получит три, тот, кто наберёт программу на компьютере, но не проверит её на примерах, получит три. Тот, кто выполнит всё задание, получит пять.

    А я раздам вам домашнее задание.

    Var a,b,c,d,x1,x1: real;

    Write(‘введите коэффициенты уравнения a,b,c’); readln(a,b,c);

    Else writeln(‘действительных корней нет’)

    1. Составить и набрать программу КВУР на компьютере.

    Загрузка среды Pascal- 2ЩЛКМ по значку Pascal, нажать ALT+ENTER.

    Запуск программы — ЩЛКМ по кнопке RUN выбрать RUN.

    2. Решить следующие квадратные уравнения и показать учителю их решения (если нет такой возможности, то занести их в маршрутный лист (Приложение 4)

    1,5х 2 -0,6х — 4,8 = 0

    3. Переделайте программу КВУР таким образом, чтобы в ней учитывался случай, когда D=0 и уравнение имеет один корень.

    4. Закрыть программу.

    Подсказка: Меню File — Exit или ALT+X.

    1. За простое воспроизведение (набор программы) без проверки оценка «3»

    2. За проверку работы программы на примерах, представленных учителем оценка «4»

    3. За решение всех заданий и дополнительное изменение программы для случая D=0, оценка «5»

    4. Закрыть программу.

    Подсказка: Меню File — Exit или ALT+X.

    Х1Х2
    13,2301390,1031947
    21,464102-5,464102
    31,106107-1,356107
    4Корней нет
    5Корней нет
    61,60
    72-1,6
    8Корней нет
    90,6872614-1,131706
    109,486833-9,486833

    Можно дать дополнительное задание:

    Изменить программу так, чтобы ответ был с точностью до 2-х знаков после запятой.

    1) Напишите программу проверки пароля. Пусть пароль — некоторое число, зафиксированное в программе. Программа печатает приглашение «введите пароль» и вводит число. Если введённое число совпадает с фиксированным паролем, то программа выводит приветствие, если нет — сообщает о том, что пароль не угадан.

    7. Подведение итогов урока.

    Итак, ребята, сегодня мы с вами решали конкретные задачи из математики, применяя свои умения по программированию. Вы получили следующие оценки за свои знания. (Перечисление оценок) На следующем уроке нам предстоит познакомиться с новыми алгоритмами — Циклическими.

    На сегодня наш урок закончен. До свидания.

    Литература:

  • И. Семакин, Л. Залогова «Информатика. Базовый курс. 9 класс», М., БИНОМ, 2005г.
  • А.А. Чернов «Конспекты уроков информатики в 9-11 классах», Волгоград: Учитель, 2006г.
  • Л.И. Белоусова, С.А. Веприк «Сборник задач по курсу информатики», М., «Экзамен», 2007.
  • Задача №23. Решение систем логических уравнений.

    Решение систем логических уравнений методом замены переменных

    Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.

    Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

    (x1 → х2) → (х3→ х4) = 1

    (х3 → х4) → (х5 → х6) = 1

    (х5 → х6) → (х7 → х8) = 1

    В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

    Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ных:

    (x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.

    Тогда можно за­пи­сать си­сте­му в виде од­но­го урав­не­ния:

    (y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:

    Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.

    Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.

    Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:

    Кол-во наборов на x1…x8

    Сло­жим ко­ли­че­ство наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

    Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

    В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

    Сде­ла­ем за­ме­ну пе­ре­мен­ных:

    (x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

    Систему можно записать в виде одного уравнения:

    (¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

    Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:

    z1z2z3z4z5z6z7z8z9
    010101010
    101010101

    Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).

    Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

    Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.

    Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.

    Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.

    Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет си­сте­ма урав­не­ний

    где x1, x2, … x10 — ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные?

    В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний x1, x2, … x10, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

    Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:

    Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.

    Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.

    Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:

    Ni+1 = Ni + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.

    Решение систем логических уравнений различного типа

    Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, . x4, y1. y4, z1. z4, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

    В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, . x4, y1, . y4, z1, . z4, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств.

    В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

    Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.

    Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):


    источники:

    http://urok.1sept.ru/articles/592261

    http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/informatika/zadanie-23/