Примеры с решениями уравнений клеро

Дифференциальное уравнение Клеро

Решение дифференциального уравнения Клеро

Рассмотрим уравнение Клеро:
(1)
Не трудно убедиться, что его общее решение имеет вид:
(2)

Действительно, поскольку – постоянная, то – тоже постоянная. Тогда дифференцируя (2) имеем:
;
(3) .
Подставляя (2) и (3) в (1), получаем тождество:
.

Особое решение дифференциального уравнения Клеро

Уравнение Клеро может иметь особое решение. Как известно, если общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
,
то особое решение может получиться исключением из уравнений:
;
.

В нашем случае, решение (2) можно записать в виде:
.
Тогда
.
Тогда особое решение может получиться, исключением из уравнений:
;
.

Поскольку возможны посторонние решения, то после нахождения особого решения, необходимо проверить, удовлетворяет ли он исходному уравнению (1).

Пример

Решить уравнение:
(1.1)

Это уравнение Клеро. Его общее решение имеет вид:

Ищем особое решение. Перепишем общее решение в виде:
.
Дифференцируем по :

.
Тогда особое решение может получиться исключением из уравнений:
(1.2) ;
(1.3) .

Исключаем . Из уравнения (1.3) имеем:
(1.4) .
Возводим в квадрат и преобразуем:
;
;
. Отсюда следует, что .
Извлекаем квадратный корень:
(1.5) .
Поскольку мы возводили в квадрат, то, возможно, (1.5) содержит лишние решения, которые не удовлетворяют (1.4). Сейчас мы примем (1.5), а отсев лишних решений сделаем в самом конце.
Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2):
.

Итак, особые решения имеют вид:
(1.6) .
Теперь сделаем проверку, чтобы выяснить, удовлетворяет ли исходному уравнению (1.1):
(1.1) .
Находим производную (1.6) и выполняем преобразования:

;
;
.
Подставляем в (1.1):
(1.7) .

При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять нижний знак:
.
То есть при , .

При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять верхний знак:
.
То есть при , .

Общее решение уравнения имеет вид:

При уравнение имеет особое решение:
.

При уравнение имеет особое решение:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-08-2012 Изменено: 10-04-2016

Уравнение Клеро

Вы будете перенаправлены на Автор24

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

В общем виде дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, записываются как $F\left(x,y,y’\right)=0$.

Основной метод решения таких дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы выполнить некоторые преобразования, приводящие к уравнениям, разрешенным относительно производной. В дальнейшем могут применяться любые из известных методов, соответствующие тому, что в результате получилось: или уравнение с разделяющимися переменными, или однородное уравнение, или линейное уравнение и т.п.

Решить дифференциальное уравнение $y’^ <3>-y’^ <2>\cdot x+2\cdot y’=2\cdot x$.

Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому известные методы для его решения применить не удается.

Поэтому выполняем следующие преобразования:

• все слагаемые переносим в одну сторону $y’^ <3>-y’^ <2>\cdot x+2\cdot y’-2\cdot x=0$;
• выражение слева разлагаем на множители $\left(y’^ <2>+2\right)\cdot \left(y’-x\right)=0$;
• так как $y’^ <2>+2\ne 0$, то исходное уравнение эквивалентно $y’-x=0$.

Получено дифференциальное уравнение, допускающее непосредственное интегрирование: $\frac =x$.

Отсюда: $y=\int x\cdot dx $; $y=\frac > <2>+C$.

Решить дифференциальное уравнение

\[y’^ <2>-y’\cdot y+\cos x\cdot \left(y’-y\right)=0.\]

Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому выполняем преобразования:

\[y’\cdot \left(y’-y\right)+\cos x\cdot \left(y’-y\right)=0;\] \[\left(y’-y\right)\cdot \left(y’+\cos x\right)=0.\]

Таким образом, данное дифференциальное уравнение эквивалентно двум другим: $y’-y=0$ и $y’+\cos x=0$.

Первое дифференциальное уравнение $y’-y=0$ решается посредством разделения переменных:

Второе дифференциальное уравнение $y’+\cos x=0$ допускает непосредственное интегрирование: $\frac =-\cos x$, откуда $y=-\sin x+C$.

Метод введения параметра

В ряде случаев дифференциальное уравнение вида $F\left(x,y,y’\right)=0$ не удается разрешить относительно производной. Но вполне возможно, что оно разрешимо или относительно $y$, или относительно $x$. Тогда мы получаем дифференциальное уравнение общего вида $y=u\left(x,y’\right)$ или $x=v\left(y,y’\right)$. Некоторые из дифференциальных уравнений подобного вида можно решить методом введения параметра.

Рассмотрим пример дифференциального уравнения вида $x=f\left(y’\right)$.

Решается введением параметра $\frac =p$.

В результате имеем решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме, задаваемое следующими выражениями:

Готовые работы на аналогичную тему

Решить дифференциальное уравнение $8\cdot y’^ <3>=27\cdot x$.

Здесь мы имеем дифференциальное уравнение вида $x=f\left(y’\right)$, не разрешенное относительно производной.

Вводим параметр $\frac =p$ и записываем уравнение в виде $x=\frac<8> <27>\cdot p^ <3>$.

Здесь $f\left(p\right)=\frac<8> <27>\cdot p^ <3>$, откуда $\frac =\frac<8> <27>\cdot 3\cdot p^ <2>=\frac<8> <9>\cdot p^ <2>$.

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме задается следующими выражениями:

Отсюда получаем: $\left\<\begin <27>\cdot p^ <3>> \\ <9>\cdot \frac<1> <4>\cdot p^ <4>+C> \end\right. $ или $\left\<\begin <27>\cdot p^ <3>> \\ <9>\cdot p^ <4>+C> \end\right. $ — решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме.

Параметр $p$ из этой системы уравнений можно исключить:

из $x=\frac<8> <27>\cdot p^ <3>$ получаем $p^ <3>=\frac<27> <8>\cdot x$ или $p=\frac<3> <2>\cdot x^<\frac<1> <3>> $;

подставляем в $y=\frac<2> <9>\cdot p^ <4>+C$ и получаем $y=\frac<2> <9>\cdot \left(\frac<3> <2>\cdot x^<\frac<1> <3>> \right)^ <4>+C$ или $y=\frac<9> <8>\cdot x^<\frac<4> <3>> +C$.

Таким образом, получено общее решение $y=\frac<9> <8>\cdot x^<\frac<4> <3>> +C$ данного дифференциального уравнения $8\cdot y’^ <3>=27\cdot x$ в явной форме.

Решение уравнения Клеро

Уравнение Клеро имеет вид $y=x\cdot y’+\psi \left(y’\right)$ и относится к более сложным видам дифференциальных уранений, не разрешенных относительно производной.

Введим параметр $\frac =p$, в результате чего имеем $y=x\cdot p+\psi \left(p\right)$.

После дифференцирования и простых преобразований получаем уравнение $\frac \cdot \left(x+\psi ‘\left(p\right)\right)=0$, которое распадается на два дифференциальных уравнения $\frac =0$ и $x+\psi ‘\left(p\right)=0$.

Из этого уравнения следует $p=C$. Отсюда получаем общее решение дифференциального уравнения Клеро $y=x\cdot C+\psi \left(C\right)$. Иначе говоря, общее решение можно получить из данного уравнения $y=x\cdot y’+\psi \left(y’\right)$ формальной заменой $y’$ на $C$.

Уравнение $x+\psi ‘\left(p\right)=0$.

Это уравнение дает особое решение в параметрической форме:

Оно представляет собой огибающую семейства кривых общего решения.

Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y’+y’$.

Имеем уравнение Клеро, в котором $\psi \left(y’\right)=y’$.

Вводим параметр $\frac =p$ и получаем $y=x\cdot p+p$, где $\psi \left(p\right)=p$.

Формально заменив в данном дифференциальном уравнении $y’$ на $C$, получим его общее решение $y=x\cdot C+C$ или $y=C\cdot \left(x+1\right)$.

Находим особое решение.

Так как $\psi \left(p\right)=p$ и $\frac =1$, то особое решение в параметрической форме преобразуется к виду: $\left\<\begin \\ \end\right. $. Это значит, что особые решения для данного дифференциального уравнения отсутствуют.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022

Уравнение Клеро

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением Клеро. Не очень оправданное название, так как изначально это уравнение рассматривал Даламбер. Это уравнение является частным случаем уравнения Лагранжа .

Уравнение Клеро, как и уравнение Лагранжа, решается заменой: . Приведем пример:

Пример 1 Решить уравнение: .

Сделаем замену и возьмем дифференциалы обеих частей получившегося равенства: .

Отсюда находим, во первых: . Из уравнения находим константу : . Так что одно решение .

Во-вторых, еще решение: .

Подстановка в уравнение дает . Таким образом, окончательный ответ: и

Пример 2 Решить уравнение: .

Опять сделаем замену и продифференцируем обе части уравнения:

Далее, . Подставляем в уравнение, находим : . Таким образом, решение, зависящее от произвольной постоянной, такое: . Находим еще решение:

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что .

Итак, общее решение уравнения и огибающая семейства этого семейства (тоже решение).

Итак, мы получили, что решение уравнения Клеро есть функция вида и огибающая этого семейства решений, которую можно найти из уравнения: .

Вот строгое обоснование этого утверждения:

Одно решение получается из равенства . Это равенство дает , а подстановка этого выражения в уравнение позволяет найти . Огибающую полученного семейства дает второе уравнение .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?