Решение задач с помощью квадратных уравнений
Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.
Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.
Шаг 3. Записать уравнение.
Шаг 4. Решить полученное уравнение.
Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.
Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.
Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).
Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)
Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165
$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.
Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).
Примеры
Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.
Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.
По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения
$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$
$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$
$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin
Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.
Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.
По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $
Произведение xy = x(x-9) = 162
$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$
$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin
Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin
Ответ: -9 и-18; или 18 и 9
Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)
Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.
Пусть x — искомое число.
По условию $x^2+108 = 24x$
$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.
Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.
$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$
Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14
Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14
Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?
Решение текстовых задач на составление квадратных уравнений
Решение текстовых задач на составление квадратных уравнений.
Цель: актуализировать умения и навыки решения текстовых задач алгебраическим методом: составлять уравнение по условию задачи и решать его.
При решении текстовых задач алгебраическим методом основное внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на математический язык. Напомним еще раз учащимся основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом:
1-й э т а п. Анализ условия задачи и введение переменной.
2-й э т а п. Перевод условия задачи на математический язык (составление уравнения).
3-й э т а п. Решение полученного уравнения.
4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.
Самым важным и сложным для учащихся являются первые два этапа. Чтобы преодолеть эти трудности, необходима наглядность в представлении условия. С этой целью напоминаем, что данные условия можно заносить в таблицы, составлять схемы, графы.
Также следует уделить внимание 4-му этапу. Учащиеся должны понимать, какие результаты удовлетворяют условию задачи, а какие нет (определение правдоподобности).
2. Текстовые задач и можно условно разбить на группы по типу уравнения:
а) сводящиеся к линейному уравнению;
б) сводящиеся к квадратному уравнению;
в) сводящиеся к дробно-рациональному уравнению.
Также задачи можно классифицировать по фабуле:
а) задачи «на движение»;
б) задачи «на работу»;
в) задачи «на проценты и концентрацию».
1.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (х/60 — х/90 = 3/2)
2.Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано? (х/12 – х/18 = 3)
3.Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель – на 3, то получится число 
. Найдите дробь. (30/32).
4. Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?
Методическое пособие на тему «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Посредством уравнений, теорем я уйму всяких реазрешил проблем. »
Английский поэт средних веков
Определение. Уравнение вида
где любые действительные числа, причем а переменная, называется квадратным уравнением.
В уравнении называют первым коэффициентом, вторым коэффициентом и свободным членом.
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой
Формула читается так: корни квадратного уравнения равны дроби, знаменателем которой является удвоенный первый коэффициент, а числителем – второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из дискриминанта уравнения.
Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Здесь имеют место три случая.
При уравнение имеет два различных корня. В этом случае корни находим по формуле
При уравнение имеет два равных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле
При уравнение не имеет корней.
Я придумал для них хорошую теорему,
а они все равно решают через дискриминант
Разделив обе части на первый коэффициент уравнения можно получить приведенное квадратное уравнение:
Приведенное квадратное уравнение принято записывать в виде
Сопоставив и , можно заключить, что
Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным путем. Задачи же, приводящиеся к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению.
Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени.
При решении задач с помощью уравнений можно придерживаться следующей схемы:
Необходимо изучить ее условие так, чтобы определить зависимость между величинами, о которых говорится в тексте задачи;
Искомую величину обозначить буквой. Очень часто решение задачи и составление уравнения упрощается, если обозначить буквой какую-нибудь вспомогательную переменную, через которую выражается искомая;
Выразить искомую переменную через данные и вспомогательные величины, обозначенные буквами;
Составить уравнение, т.е. два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравнять их;
Найти корни (решения) составленного уравнения;
Проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию задачи.
Пример 1. В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше ее ширины, а длина второй равна 7,2 м. Найдите ширину этих комнат, если площадь квартиры должна быть равной 56,7 м 2 .
Решение. Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой . Тогда длина первой комнаты будет равна м, а ее площадь – а площадь второй комнаты –
Согласно условию задачи, имеем:
Решая последнее квадратное уравнение, получим:
Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условию задачи. Но условию задачи удовлетворяет лишь первый корень, т.е. так как ширина комнаты должна быть больше нуля. Проверка по условию задачи показывает, что 4,2 м удовлетворяет задаче.
Пример 2. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин. И ликвидировал опоздание не перегоне в 192 км со скоростью, превышающей на 10 км/ч положенную по расписанию. Найдите первоначальную скорость движения поезда.
Решение. Обозначим скорость поезда по расписанию через Если бы поезд шел на перегоне в 192 км со скоростью то на это понадобилось бы время Так как поезд на этом перегоне шел со скоростью то на этот путь он потратил и ликвидировал опоздание на 16 мин Следовательно, корнями которого будут: Так как по условию то Выполнив проверку, убеждаемся, что 80 км/ч удовлетворяют условию задачи.
Пример 3. Двое рабочих обязались выполнить определенную работу за 16 дней. После четырехдневной совместной работы первый рабочий перешел на другую работу. А второй рабочий один закончил оставшуюся часть работы, потратив на 12 дней больше того времени, за которое первый рабочий один может выполнить всю работу.
За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всю работу?
Решение. Предположим, что первый рабочий может выполнить всю работу за дней, тогда за один рабочий день он должен выполнить часть всей работы.
При совместной работе производительность за день равна части всей работы; следовательно, на долю второго рабочего приходится в день части всей работы. С другой стороны, второй рабочий должен выполнить в день части всей работы, так как за 4 дня их совместной работы была выполнена всей работы; следовательно, на долю второго рабочего осталось выполнить всей работы за дней.
Отсюда: Левая и правая части уравнения выражают одну и ту же величину – дневную норму второго рабочего.
Преобразуя полученное уравнение, имеем:
Решая квадратное уравнение, находим: Второй корень не удовлетворяет условию задачи.
Первый рабочий выполнит всю работу за 24 дня. Теперь можно вычислить, за сколько дней выполнил бы всю работу второй рабочий. За один рабочий день он выполнит часть всей работы.
Следовательно, всю работу второй рабочий выполнит за 48 дней.
Ответ: 24 дня; 48 дней.
Упражнения из группы А
Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.
Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.
Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см 2 .
Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см 2 .
Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится Найдите исходную дробь.
Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 7. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получится Найдите исходную дробь.
Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.
Моторная лодка прошла 17 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки равна 15 км/ч.
Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?
Двое рабочих, работая вместе, завершили работу за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому рабочему на выполнение этой работы, если одному для этого требуется на 5 дней меньше, чем другому?
Пройдя 12 км, лыжник увеличил скорость на 3 км/ч и проехал еще 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 ч.
Проехав 45 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал еще 24 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на начальное расстояние он потратил на 1 ч больше.
Упражнения из группы В
На чемпионате команды встречались со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если они провели 78 встреч?
Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.
Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.
Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.
Среднее арифметическое двух чисел равно 6, а квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа
Один из катетов прямоугольного треугольника равен а второй катет на 2 см меньше гипотенузы. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а разность катетов – 3 см. Найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен а периметр – Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.
Токарь должен был обработать 180 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на 30 деталей в день больше и поэтому закончил работу на один день раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за день?
Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из них, работая по одному, если мастеру на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?
Пешеход прошел расстояние АВ за 3 ч. Возвращясь он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем понизил на 1 км/ч, и таким образом затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между А и В.
Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Турист проплыл на байдарке 10 км против течения реки и 18 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 28 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.
Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а к знаменателю – 2, то данная дробь увеличивается на Найдите исходную дробь.
Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю – 3, то данная дробь увеличивается на Найдите первоначальную дробь.
Задача 30. Задача Бхаскары
(Бхаскара Агарья (1114 – 1185 г.г.) индийский математик и астроном)
Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.
А 12 по лианам. стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?
Прежде чем решать задачу – прочитай условие
Упражнения из группы А
Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.
По условию задачи:
Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
Если первое число равно 4, то второе число равно 4+10=14.
Если первое число равно –14, то второе число равно –14 +10= –4.
Ответ: 4 и 14; –14 и –4.
Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.
По условию задачи:
Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
Если первое число равно –4, то второе число равно – 4 – 16 = – 20.
Если первое число равно 20, то второе число равно 20 – 16 =4.
Ответ: –4 и – 20; 20 и 4.
Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см 2 .
Площадь (см 2 ) 130
По условию задачи:
Получим приведенное квадратное уравнение:
Решим полученное уравнение по теореме Виета:
Если длина прямоугольника равна 13 см, то ширина равна 13 – 3 = 10 (см).
Ответ: 10 см и 13 см.
Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см 2 .
Сумма двух смежных сторон(см)
По условию задачи:
Ответ: 12 см и 15 см.
Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится Найдите исходную дробь.
http://pandia.ru/text/80/359/85548.php
http://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-na-temu-reshenie-tekstovih-zadach-s-pomoschyu-kvadratnih-uravneniy-1782196.html