Примеры уравнений с пустым множеством

Пустое множество.

Задачи по математике для 3 класса.

Задача 1

Сравни элементы множеств в первом и во втором рядах. Есть ли в первом ряду элемент, которого нет во втором ряду? Есть ли во втором ряду элемент, которого нет в первом ряду?

Решение
• В первом ряду нет элементов, которых нет во втором ряду
• Во втором ряду нет элементов, которых нет в первом ряду

Задача 2

Сравни множества в первом и во втором рядах. В каком ряду есть лишний элемент?

Задача 3

Верно ли записано равенство? Почему?

Решение
• а) Верно. В этих равенствах одни и теже элементы, только в разном порядке.
• б) Не верно. В левой части равенства есть треугольник, а в правой нет.
• в) Верно. Левая часть не равна правой, потому что их элементы отличаются.

Задача 4

Решение
• A = B: У этих множеств одинаковые элементы, записанные в разном порядке.
• C не равно A: У множества C отсутствует элемент 2, который есть у множества A.
• D не равно A: У множества A отсутствует элемент 3, который есть у множества D.

Задача 5

D = < a; ; 5 >. Составь множество А, равное множеству D, и множество В, не равное множеству D.

Решение
• A <5; a; >
• B

Задача 6

• а) Составь все множества» равные множеству < О ; /\ >;
• б) Составь все множества, равные множеству <а; б; в).

Задача 7

Сколько элементов содержит:
• а) множество дней недели;
• б) множество парт в первом ряду;
• в) множество букв русского алфавита;
• г) множество хвостов у кошки Мурки;
• д) множество носов у Пети;
• е) множество лошадей, пасущихся на Луне?

Решение
• а) множество дней недели = 7;
• б) множество парт в первом ряду = 3;
• в) множество букв русского алфавита = 33;
• г) множество хвостов у кошки Мурки = 1;
• д) множество носов у Пети = 1;
• е) множество лошадей, пасущихся на Луне = 0.

Задача 8

• а) Растут ли в вашем школьном саду тропические пальмы? Каково множество пальм в школьном саду?
• б) Каково множество шестиногих лошадей, двухлетних детей в классе, крокодилов в Москве-реке?
• в) Придумай несколько примеров пустого множества.

Решение
• а) Не растут пальмы в школьном саду. Пустое множество Ø
• б) Пустое множество. Ø
• в) Двухметровые мухи, деревянные перчатки.

Задача 9

Найди правильное обозначение пустого множества, а остальные зачеркни:

• Решение:
• 

Задача 10

• а) Во сколько раз 56 больше, чем 8?
• б) Во сколько раз 8 меньше, чем 56?
• в) На сколько единиц 56 больше, чем 8?
• г) На сколько 8 меньше, чем 56?

Решение
• а) 56 больше, чем 8 в 7 раз.
• б) 8 меньше, чем 56 в 7 раз.
• в) 56 больше, чем 8 на 48 единиц.
• г) 8 меньше, чем 56 на 48 единиц.

Задача 11

• а) Шапка стоит а руб., а пальто — в 9 раз дороже. Сколько стоят пальто и шапка вместе?
• б) Масса арбуза Ь кг, а масса тыквы — на 2 кг меньше. Какова общая масса арбуза и тыквы?
• в) В ведро входит c л воды, а в кастрюлю — в 7 раз меньше. На сколько объём ведра больше объёма кастрюли?
• г) В куске было (d м ткани. Из этой ткани сшили 8 одинаковых платьев, расходуя на каждое платье по n м. Сколько метров ткани осталось в куске

Задача 12

Отгадай, кто это?

• Решение
• 

Решение некоторых задач по теории множеств

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Е

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АВ = А∩В

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

1. Сколько учащихся решили все задачи?
2. Сколько учащихся решили только две задачи?
3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

• m (Е) = 40
• m (А) = 20
• m (В) = 18
• m (С) = 18
• m (А∩В) = 7
• m (А∩С) = 8
• m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

• m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
• m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
• m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
• m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
• m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
• m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
• m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
• m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
• m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

• m (АВ) = 33
• m (АС) = 31
• m (ВС) = 32
• m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

• m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
• m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
• m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
• m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
• m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
• m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
• 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
• 2m (К 1 ) + 12 = 24
• 
• m (К 3 )= 13-6=7
• m (К 7 )=12-7=5
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

• m (Е) = 35
• m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
• m (А∩В)= 15
• m (А∩С)= 13
• m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

• m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
• m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
• m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

A = $\$ — множество всех действительных положительных x

B = $\$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = $\<(x,y)|x^2+y^2 \ge 1,x \in \Bbb R,y \in \Bbb R\>$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Множество A называют подмножеством множества B (A $\subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:

$$ A \subseteq B \iff (a \in \Bbb A \Rightarrow a \in \Bbb B) $$

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Знак $\subseteq$ является аналогом $\ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A \subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $\lt$).

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = \, B = \, A \subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 \lt n \le 12$.

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = \frac<4>$ в данном интервале $-4 \le x \le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества: