Численные методы решения уравнений эллиптического типа
Введение
Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.
Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]
Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.
Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:
(1)
где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.
Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:
(2)
Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:
(3)
Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:
(4)
где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.
Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:
(5)
Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, получим:
(6)
где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.
Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), получим:
(7)
Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, получим:
(8)
где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.
Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].
Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).
Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице . Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:
Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии
(9)
Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации.для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:
(10)
Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:
(10)
Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:
(11)
При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.
На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .
- Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
- Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.
Ссылки:
- Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с. - Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.
Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений . С другой стороны, системы сеточных уравнений , возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы .
6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест»
Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона
в единичном квадрате с краевыми условиями первого рода на границе расчетной области
( — заданная на границе функция ).
В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:
Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами
Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы «крест» . На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:
где h — шаг по координатам, или в операторной форме
Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:
Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.
Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:
Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора
и аналогичное разложение для um — 1.
Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки
Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость , применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.
Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.
http://intuit.ru/studies/courses/1170/213/lecture/5499