Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

Принцип перестановочной двойственности

Предположим, что известен электромагнитный процесс, описываемый следующими уравнениями Максвелла:

ю

Обращает на себя внимание симметрия этих двух уравнений. Действительно, уравнения переходят одно в другое при замене вида

, .

Последние соотношения являются математическим выражением принципа перестановочной двойственности для электромагнитного поля, обоснованного впервые А. А. Пистолькорсом в 1944 г.

Физическое содержание этого принципа заключается в следующем. Если известно полное решение какой-либо электромагнитной задачи, то простая перестановка позволяет автоматически получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация линий электрического поля повторяет аналогичную конфигурацию линий магнитного поля в исходном электромагнитном процессе и наоборот. При этом, поскольку в результате перестановки уравнения Максвелла не меняют своего вида, двойственный электромагнитный процесс действительно существует.

Естественно считать, что исходное электромагнитное поле возбуждается сторонними электрическими токами. В этом случае можно полагать, что двойственный процесс возбуждается сторонними магнитными токами, как это было показано в предыдущем разделе. Однако для сохранения симметрии уравнений Максвелла плотность стороннего магнитного тока должна быть введена во второе уравнение с обратным знаком. Таким образом, получаем систему уравнений Максвелла с учетом сторонних магнитных токов:

.

Дополнительное перестановочное соотношение для плотностей сторонник токов приобретает вид

.

Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности

Магнитный ток— это два течения, одно течение сформировано единичными магнитами северного полюса другое магнитами южного полюса , и они создают один встречно-текущий закрученный подобно винту поток, обладающий высокой скоростью. Одно течение, если это будет течение магнитов северного полюса или течение магнита южного полюса, не может существовать отдельно. Чтобы сформировать поток, одно течение должно двигаться встречно другому.

Существуют магнитные заряды — монополи – квазичастицы, несущие на себе только положительный или только отрицательный магнитный заряд. Они не связаны в пары и могут передвигаться по отдельности. Магнитный заряд является источником статического магнитного поля совершенно так же, как электрический заряд является источником статического электрического поля. Магнитный монополь — гипотетическая элементарная частица, обладающая ненулевым магнитным зарядом — точечный источник радиального магнитного поля. Магнитный монополь можно представлять как отдельно взятый полюс длинного и тонкого постоянного магнита. Однако у всех известных магнитов всегда два полюса, то есть он является диполем. Если разрезать магнит на две части, то у каждой его части по-прежнему будет два полюса. Все известные элементарные частицы, обладающие электромагнитным полем, являются магнитными диполями.

Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Принцип перестановочной двойственности- инвариантность однородной системы Максвелла уравнений относительно замены , , , , где -соответственно напряжённости и индукции электрич. и магн. полей. Отсюда вытекает правило замены для электрич. и магн. поляризаций: , а также для диэлектрич. и магн. проницаемостей: . При наличии источников возникает асимметрия Д. п. п., связанная с тем, что электрич. зарядам и токам сопоставляются нек-рые эфф. магн. заряды и токи : . Поскольку, однако, магн. монополи в природе не обнаружены, соответствующие магн. источники вводятся как совокупность магн. диполей, реализуемых с помощью кольцевых электрич. токов. Д. п. п. позволяет исходя из одного решения ур-ний Максвелла получать другое, минуя обращение к самим ур-ниям. Напр., по известному полю переменного во времени электрич. диполя в однородной среде получается поле магн. диполя (рамки с током); по известным Френеля формулам для одной поляризации падающей волны — аналогичные ф-лы для др. поляризации и т. п. Д. п. п. органически связан с дуальностью тензоров эл—магн. поля в четырёхмерном Минковского пространстве-времени, поэтому иногда его наз. принципом дуальности. В теории дифракции Д. п. п. устанавливает связь между эл—магн. полями, дифрагировавшими на отверстии S, прорезанном в бесконечно тонком идеально проводящем плоском экране, и на плоской пластине, совпадающей по форме с отверстием S. В этом случае его часто наз. обобщённым принципом Бабине (см. Бабине теорема)или просто принципом двойственности. Принцип двойственности позволил, в частности, развить теорию т. н. плоских дифракц. излучателей, в т. ч. узких щелей в плоском экране, эквивалентных тонкому электрич. вибратору. Получаем используя принцип:

Лабораторная работа № ВИ-104 Элементарные излучатели

К КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»

Лабораторная работа № ВИ-104

Целью работы является изучение элементарных излучателей электромагнитного поля и исследование их свойств с помощью виртуальной лабораторной установки.

2. Подготовка к работе.

Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.206-220; 2, с.126-136; 3, с.163-181; 4, с.106-129; 5, с.137-166].

3. Краткие теоретические сведения.

Устройство, предназначенное для излучения электромагнитных волн, называют излучателем или передающей антенной. Любую антенну можно представить в виде совокупности простейших элементарных излучателей. Различают элементарный электрический излучатель, элементарный магнитный излучатель и элемент Гюйгенса – элементарный поверхностный излучатель.

Элементарный электрический излучатель

Элементарным электрическим излучателем называют элемент электрического линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Пусть ось направлена вдоль элементарного электрического излучателя, который занимает интервал Мгновенные значения тока излучателя от координаты не зависят, т. е.

(1)

Поскольку этот ток изменяет свое значение только в точках: и , то согласно закону сохранения заряда в этих точках должны существовать сосредоточенные электрические заряды, связанные с током (1) соотношениями:

(2)

и, следовательно, равные друг другу по величине и противоположные по знаку:

(3)

причем

Элементарный электрический излучатель со строго неизменным вдоль его длины током практически неосуществим и представляет собой идеализированную излучающую систему, удобную для теоретического, анализа.

Пусть в однородной среде без потерь с параметрами и расположен элементарный электрический излучатель с известным током .

Комплексные амплитуды векторов поля этого излучателя определим через векторный потенциал.

Если поместить начало координат O в центре элементарного излучателя (рис.1) и обозначить расстояние r между точкой наблюдения и текущей точкой излучателя , то, учитывая, что и для элементарного излучателя , имеем векторный электрический потенциал в виде:

(4)

Рис.1. Элементарный электрический излучатель

Из (4) следует, что векторный потенциал элементарного электрического излучателя направлен в точке наблюдения параллельно его оси и зависит только от расстояния R, представляющего собой радиальную координату точки наблюдения в сферической системе координат, начало которой совмещено с центром излучателя. Поэтому дальнейшие преобразования целесообразно проводить в сферической системе, направление полярной оси которой совпадает с током излучателя (рис.2).

В точке наблюдения M орт-вектор разложим в сферической системе координат по двум взаимно перпендикулярным направлениям ( рис. 2):

(5)

Рис.2. Сферическая система координат

Тогда векторный электрический потенциал имеет в точке M следующие составляющие:

, , (6)

Векторный электрический потенциал определяет напряжённость магнитного поля

(7)

, , (8)

Для определения напряжённости электрического поля воспользуемся первым уравнением Максвелла:

(9)

, (10) , (11)

(12)

Электромагнитное поле (8), (10) – (12) не зависит от азимутального угла , что является следствием осевой симметрии излучателя. Зависимость поля от координаты R точки наблюдения позволяет разбить окружающее излучатель пространство на три зоны — ближнюю, промежуточную и дальнюю. В ближней и дальней зоне справедливы более простые, но приближенные формулы для составляющих векторов поля. В промежуточной зоне, переходной между ближней и дальней зоной и характеризуемой условием , должны учитываться все слагаемые в (8), (10) – (12), так как они имеют один порядок.

Поле в ближней зоне

Ближняя зона, или зона индукции, характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Конечно, одновременно R должно удовлетворять и условию , при котором были получены исходные формулы (8), (10) – (12). Оставив в каждой из этих формул лишь один член, содержащий в высшей степени, и используя справедливое при приближенное соотношение , имеем:

, , (13)

Учитывая, что и переходя от (13) к мгновенным значениям, получаем:

(14)

(15)

(16)

В ближней зоне векторы поля в точке наблюдения в момент времени t определяются значениями тока в этот же момент времени. Таким образом, ближняя зона представляет собой область квазистационарного поля. Использованное нами приближенное соотношение и привело к пренебрежению временем запаздывания.

Вектор Пойнтинга в ближней зоне имеет две составляющие:

и (17)

Компоненты напряженности электрического поля (14), (15) отстают по фазе от напряженности магнитного поля (16) на . Вследствие этого, обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону , принимая как положительные, так и отрицательные мгновенные значения. При этом средние значения составляющих вектора Пойнтинга за период T равны нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер — в течение четверти периода T энергия течет в одном направлении (положительные значения и ), в течение следующей четверти периода энергия течет в противоположном направлении, возвращается обратно (отрицательные значения и ). Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения. Электромагнитные волны, которые уносят с собой от излучателя энергию, существуют и в ближней зоне, но здесь их поля весьма малы по сравнению с рассмотренными выше полями.

Поле в дальней зоне

Дальняя зона характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Удерживая при этом в (8), (10) – (12) члены, содержащие в первой степени, имеем только две отличные от нуля составляющие поля:

(18)

(19)

где — характеристическое сопротивление среды.

Перейдя к мгновенным значениям, имеем:

(20)

(21)

Согласно (20), (21) в среде без потерь векторы и в любой точке дальней зоны имеют одинаковую фазу, в которую время t и расстояние R входят в виде линейной комбинации , где м/с. Уравнение постоянных значений фазы имеет вид:

(22)

Подставив в (22) два последовательных момента времени и , получим , откуда . Это означает, что с увеличением времени t постоянное значение фазы поля распространяется в направлении возрастающих значений R ее скоростью v. Таким образом, в дальней зоне распространяется электромагнитная волна в радиальных направлениях. Фаза постоянна при , значит поверхность равных фаз (фазовый фронт) – сфера. Скорость v движения точек с постоянной фазой называют фазовой скоростью.

Вектор направлен по касательной к дуге меридиана, — по касательной к дуге параллели, причем вектора поля и направление распространения волны взаимно перпендикулярны и образуют правую ортогональную тройку векторов (рис.3).

Рис.3. Вектора поля излучения элементарного электрического излучателя

При этом мгновенные значения векторов связаны между собой соотношениями:

, (23)

Вектор Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну радиальную составляющую:

(24)

Причем ее мгновенное значение всегда оказывается положительным вследствие того, что векторы поля имеют одинаковую фазу колебаний. Это означает, что энергия движется в направлении радиусов только от излучателя. Она не возвращается обратно к излучателю и представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

Это поле называют полем излучения, а дальнюю зону называют также зоной излучения или волновой зоной.

Рассмотрим зависимость амплитуд векторов поля излучения от сферических координат точки наблюдения. Согласно (20), (21) амплитуды векторов поля изменяются обратно пропорционально первой степени расстояния R, то есть значительно медленнее, чем в ближней зоне. Убывание по закону величин векторов поля сферических бегущих волн является следствием закона сохранения энергии для среды без потерь.

Входящая в выражения для амплитуд векторов поля излучения антенны функция угловых сферических координат , определяющая их зависимость от направления на точку наблюдения, носит название амплитудной характеристики направленности. Графическое изображение характеристики направленности называют диаграммой направленности.

Согласно (20), (21) характеристика направленности элементарного электрического излучателя . Она не зависит от азимутального угла вследствие осевой симметрии излучателя. Поле излучения максимально в экваториальной плоскости и равно нулю вдоль оси излучателя . В плоскости, которая проходит через ось излучателя, характеристика направленности, построенная в полярной системе координат, изображена на рис.4а. (Уравнение в полярных координатах представляет собой две соприкасающиеся окружности). Пространственная характеристика направленности есть тор, образованный вращением фигуры рис.4а вокруг вертикальной оси (рис.4б).

Рис.4. Характеристика направленности элементарного электрического излучателя

Элементарный магнитный излучатель

Если в некотором объеме известна напряженность стороннего магнитного поля , то она вводится во второе уравнение Максвелла:

(25)

В этом случае первичное возбуждение электромагнитного поля вызывается известной в каждой точке объема величиной:

, (26)

которую по аналогии с плотностью стороннего электрического тока называют плотностью стороннего магнитного тока.

Напомним, что в природе не существует магнитных зарядов и магнитного тока, представляющего собой упорядоченное движение этих зарядов. Поэтому формулу (26) следует рассматривать как результат формального введения в теорию фиктивных магнитных зарядов и обусловленных ими фиктивных магнитных токов, благодаря которому приобретается удобство в описании магнитных полей.

Если монохроматическое поле обусловлено электрическими токами и фиктивными магнитными токами, то оно удовлетворяет симметричным уравнениям Максвелла следующего вида:

(27)

(28)

Из симметрии соотношений (27), (28) следует, что при известном решении задачи при заданных сторонних электрических токах , решение задачи при заданных сторонних магнитных токах получим, осуществив в известном решении перестановки:

, , (29)

Конечно, это возможно только в том случае, если в обеих задачах одинакова форма поверхности , на которой заданы граничные условия, и если перестановка (29) преобразует граничные условия исходной задачи в граничные условия новой задачи.

Этот прием называют принципом перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Этот принцип широко используется при решении различных задач и имеет большое практическое значение.

Элементарным магнитным излучателем называют элемент фиктивного магнитного линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Поле, которое создает элементарный магнитный излучатель в безграничной однородной среде без потерь, проще всего найти с помощью принципа перестановочной двойственности, позволяющего сразу перейти от известного нам поля элементарного электрического излуча, (21) к искомому полю:

(30)

(31)

По своей структуре формулы (30), (31) аналогичны (20), (21). Поэтому отмеченные выше особенности поля излучения электрического излучателя полностью присущи и полю излучения элементарного магнитного излучателя. Поверхностью равных фаз является сфера, вектора поля лежат по касательной к ней, они взаимно ортогональны и пропорциональны по величине, сохраняется форма диаграммы направленности. Различие между полями электрического и магнитного элементарных излучателей состоит в разной ориентировке в пространстве векторов (рис.5.42).

Рис.5. Вектора поля излучения элементарного магнитного излучателя

Простейшей физически осуществимой моделью элементарного магнитного излучателя является плоская проводящая рамка (одиночный виток провода) с электрическим током, периметр которой весьма мал по сравнению с длиной волны создаваемого ею поля. Такой излучатель называют элементарной электрической рамкой. Эквивалентный такой рамке фиктивный элементарный магнитный излучатель ориентирован перпендикулярно плоскости рамки. Следовательно, при расположении элементарного магнитного излучателя в центре сферической системы координат вдоль полярной оси элементарная электрическая рамка должна лежать в экваториальной плоскости .

Элемент Гюйгенса

Элементом Гюйгенса называют элемент волновой поверхности бегущей волны, линейные размеры которого много меньше , который поэтому можно считать плоским и в пределах которого касательные составляющие и поля сохраняют постоянные значения.

Совместим начало декартовой системы координат с центром прямоугольного элемента Гюйгенса, стороны и площадь которого равны , и , в пределах которого параллельна оси , — оси (рис.6).

Рис.6. Элемент Гюйгенса

При определении поля элемента Гюйгенса в полупространстве можно, в соответствии с теоремой эквивалентности, заменить касательные составляющие , плотностями поверхностных эквивалентных токов , и найти комплексные амплитуды эквивалентных сторонних электрического и магнитного токов, которые на равны соответственно:

и (32)

Элемент электрического тока длиной и элемент магнитного тока длиной можно рассматривать как эквивалентные элементарные электрический и магнитный излучатели. Таким образом, элемент Гюйгенса можно представить совокупностью взаимно перпендикулярных элементарных электрического и магнитного излучателей.

Определим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне, т. е. на расстояниях , для которых выполняется условие . Это поле проще всего найти суммированием в дальней зоне уже известных полей элементарных электрического и магнитного излучателей. При записи полей этих излучателей необходимо учесть связь их амплитуд (32) и изменённое положение элементов тока в пространстве. В итоге получаем две составляющих напряжённости электрического поля:

(33)

(34)

В дальней зоне электромагнитному полю элемента Гюйгенса присущи все основные особенности поля излучения элементарных излучателей. Это поле представляет собой сферические бегущие волны, расходящиеся в полупространстве от элемента Гюйгенса вдоль радиусов в бесконечность со скоростью и убывающие по амплитуде по закону .

Определим амплитуду поля элемента Гюйгенса:

(35)

Следовательно, амплитудная характеристика направленности, определяющая зависимость амплитуды поля от угловых координат, одинакова во всех меридиональных полуплоскостях и выражается формулой:

(36)

Выражение (36) является уравнением кардиоиды (рис.7).

Рис.7. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса

Пространственная характеристика направленности представляет собой тело вращения кардиоиды рис.7 вокруг оси .

4. Описание лабораторной установки.

С помощью виртуальной лабораторной установки планируется изучать изменение продольной и поперечной компонент напряженности электрического поля от расстояния до элементарного электрического излучателя. Кроме того, должна иметься возможность наблюдать диаграммы направленности элементарных излучателей и определять их характеристики.

В верхней части лицевой панели лабораторной установки расположен заголовок «Исследование элементарных излучателей» и кнопка останова STOP (рис.8).

Виртуальная лабораторная установка состоит из двух частей, отображаемых в двух страницах на экране: «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»(рис.8) и «Диаграммы направленности элементарных излучателей» (рис.9).

Рис.8. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»

Работа с установкой начинается в закладке «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Справа на ней находится графический индикатор «Амплитуда компоненты поля», на котором отображаются зависимости продольной и поперечной составляющих поля от расстояния между излучателем и точкой наблюдения.

Под индикатором находится панель управления двумя курсорами, в которой имеются названия измеряемых компонент поля «Продольная компонента» и «Поперечная компонента» и окна с координатами курсоров.

В левой верхней части расположен регулятор, задающий значение угловой координаты «Угол от оси излучателя».

Ниже расположен регулятор размера шкалы расстояния (горизонтальная шкала экрана).

На странице «Диаграммы направленности элементарных излучателей» находится два графических индикатора. На левом индикаторе диаграмма направленности отображается в декартовой системе координат. Под индикатором есть панель управления курсором, позволяющая измерять графики на экране.

Рис.9. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Диаграммы направленности элементарных излучателей»

На правом индикаторе диаграмма направленности отображается в полярных координатах.

Над экранами имеется переключатель на три положения: «Электрический», «Магнитный», «Площадка». Он осуществляет переключение на экране всех изучаемых элементарных излучателей.

Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.

5. Порядок выполнения работы.

1. Запустить лабораторную установку «Элементарные излучатели», ознакомиться с органами управления.

2. Перейти на страницу «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Выполнить исследования в соответствии с вариантом, выбранным в таблице 1.

Таблица 1. Исходные параметры для исследования элементарных излучателей радиоволн