Принцип суперпозиции при решении дифференциальных уравнений

Принцип суперпозиции при решении дифференциальных уравнений

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:
L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если y₁(x) и y₂(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)
при любых постоянных c₁, c₂ является решением однородного уравнения.
б) Если y₁(x) и y₂(x) — два решения неоднородного линейного уравнения
L(y) = f(x), то их разность y(x) = y₁(x) — y₂(x)
является решением однородного уравнения L(y) = 0.
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

ПРИМЕР 1. Проверка принципа суперпозиции для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Принцип суперпозиции при решении дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

основан на следующих

1. Если y ₁( x ) и y ₂( x )— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

то любая их линейная комбинация y ( x ) = C ₁ y ₁( x ) + C ₂ y ₂( x ) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y ₁( x ) и y ₂( x ) — два решения линейного неоднородного уравнения L ( y ) = f ( x ) , то их разность y ( x ) = y ₁( x ) − y ₂ ( x ) является решением однородного уравнения L ( y ) = 0 .

Решение дифференциальных уравнений систем автоматического управления. Принцип суперпозиции

Страницы работы

Содержание работы

Решение дифференциальных уравнений систем автоматического управления

1. Сокращенная форма записи дифференциальных уравнений систем автоматического управления

2. Принцип суперпозиции

3. Установившиеся и переходные процессы

4. Свободные движения системы. Нулевые, простые и кратные корни

5. Вынужденные движения системы

Когда мы используем дифференциальный оператор Лапласа дифференциальной уравнение системы можно записать в форме полинома :

где D(p),Q(p) и N(p) – полиномы от р.

В замкнутых системах в качестве общей фазовой координаты обычно используется ошибка x(t) , т.e. разность между задающим воздействием и сигналом главной обратной связи :

D(p) выражает свободные движения системы, когда задающее (управляющее) воздействие g(t) º0 и возмущающее воздействие f(t) º0. Он называется характеристическим полиномом системы:

Q(p) выражает влияние управляющего воздействия на рассматриваемую систему (на сигнал x(t)).

N(p) выражает влияние возмущающего воздействия f(t) на сигнал ошибки x(t). Если линейная система одновременно испытывает влияние нескольких внешних сигналов (возмущений, управляющих)., можно выразить результат их воздействия на систему как сумму результатов отдельных воздействий каждого отдельного внешнего сигнала. Эта особенность линейных систем называется принципом суперпозиции. Он может быть легко доказан с применением теоремы линейности. (рис.1)

где x_i(t), -частные результаты внешних воздействий g_i(t),

Эта особенность справедлива и для возмущающих воздействий f_k(t). Если f_k(t) ¹0 , но характеристический многочлен N_k(p)=0, то система будет называться инвариантной относительно данного сигнала f_k(t).

Решение любого линейного дифференциального уравнения состоит из общего однородного решения (определяемого левой частью) и частного неоднородного решения (определяемого как правой так и левой частями). Таким образом все решение дифференциального уравнения делится на две части, влияющих на состояние автоматической системы независимо от другого.

Найдем в первую очередь свободные движения системы. Можно выделить несколько частных случаев свободных движений системы в соответствии с распределением корней D(p).

Как известно, уравнение

D(p)x(t)=0

имеет общий вид решения

где причем для некоторых i может быть a_i=0 или b_i=0

—(-0)(a_np n-2 +a_n-1p n-3 +…+a₃p+a₂)-…-x (n-2) (-0)(a_np+a_n-1)-x (n-1) (-0)a_n=

Пусть

В последнем выражении каждый действительный корень p_i соответствует действительному C_i, а комплексный р_i соответствует комплексному коэффициенту C_i

Вторая часть выражения (2) соответствует вынужденным движениям системы:

Первая сумма в (3) соответствует свободным движениям системы (собственным движениям) (см. выше). Вторая часть зависит как от свойств системы, так и от внешнего сигнала. Эту часть обычно называют сопровождающими движениями. При поведение этих движений такое же, как и у собственных.

В последней сумме в (3) характер каждого слагаемого определяется корнями G₂(p) (внешнего воздействия). Вид этих движений подобен внешнему воздействию. Например:

Мы имеем одну вынужденную компоненту в (3): соответствующую виду функции g(t).

Наконец рассмотрим кратные корни D(p). Пусть порядок корня p₁ будет равен числу r£n.

Первая сумма (2) в этом случае будет иметь вид:

Затем можно вычислить C_i как было указано выше:

Выполняя обратное преобразование Лапласа для (4) в соответствии с таблицей 2 (из предыдущей лекции) можно получить для первого слагаемого в (4) соответствующий оригинал, пропорциональный величине t r-1 .

Следовательно: