Приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений второго порядка

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

, (7)

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению

где .

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты :

10. Вычислим выражение :

11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;

; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

6. Введём характеристические переменные:

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

где .

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

Лекция 13. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА, ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ И НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

, (13.1)

которое можно также записать в виде

, (13.1*)

, (13.2)

которое можно также записать в виде

, (13.2*)

где u – искомая функция х и у; A, B, C, E, D, K – коэффициенты, которые могут быть как функциями х и у, так и постоянными величинами, некоторые из которых могут быть равные нулю.

Уравнение (13.1) или (13.1*) называется линейным, а уравнение (13.2) или (13.2*) называется квазилинейным, поскольку оно линейно только относительно старших производных, входящих в это уравнение.

Линейные уравнения в частных производных классифицируются на три типа:

— линейные уравнения гиперболического типа (ГТ);

— линейные уравнения параболического типа (ПТ);

— линейные уравнения эллиптического типа (ЭТ).

Для того, чтобы классифицировать уравнения в частных производных необходимо проанализировать выражение

состоящее из коэффициентов при старших производных в уравнениях (13.1) — (13.2*).

Если В 2 – АС > 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ГТ.

Если В 2 – АС = 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ПТ.

убедимся в том, что все волновые уравнения принадлежат к уравнениям ГТ.

2. Запишем уравнение теплопроводности, описывающее распределение нестационарного температурного поля в тонком стержне без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

убедимся в том, что все уравнения, описывающие тепловые и диффузионные процессы, принадлежат к уравнениям ПТ.

3. Запишем стационарное уравнение Лапласа, описывающее распределение нестационарного температурного поля в мембране без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

В 2 – АС = 0 2 – 1×1 =-1 2 , привести к виду

. (13.3*)

Это уравнение представляет собой уравнение первого порядка, второй степени, которое можно легко разрешить относительно производной

Полученное уравнение распадается на два уравнения

. (13.4)

Решая эти уравнения, найдем два интеграла, т.е. два семейства характеристик:

Используя эти интегралы, введем новые независимые переменные

. (13.5)

Вычислим все производные, входящие в уравнение (13.1*):

(13.6)

Подставляя вычисленные производные в уравнение (13.1*), получим его каноническую форму.

I.Для уравнений гиперболического типа уравнение характеристик имеет вид (13.3*), которое распадается на уравнения (13.4). С помощью их интегралов, произведя замену переменных (13.5) и, вычислив производные (13.6), после подстановки их в исходное уравнение, получим каноническую форму уравнения гиперболического типа

(13.7)

II. Для уравнений параболического типа уравнения характеристик принимает вид одного уравнения

которое имеет только одно семейство характеристик:

В этом случае для того, чтобы произвести замену переменных (13.5), необходимо в качестве недостающего второго интеграла C₂ выбрать некоторую произвольную функцию , такую, чтобы она была линейно независимая с функцией , т.е. для интегралов C₁ и C₂ должно выполнятся

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение параболического типа получим его каноническую форму

. (13.8)

III.Для уравнений эллиптического типа уравнения характеристик принимает вид (13.3*) и оно распадается на два уравнения в комплексной форме:

следовательно, уравнения (13) имеют два комплексно-сопряженных интеграла

причем функции являются действительными функциями своих аргументов и с их помощью вводим новые переменные, причем

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение эллиптического типа получим его каноническую форму

. (13.9)

Пример 13.1. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.1.1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13.1.2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.1.2) и в исходном (П13.1.1):

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение:

следовательно, исходное уравнение (П13.1.1) принадлежит к уравнениям гиперболического типа.

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Следовательно, С₁ и С₂ определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид

Найдем в новых переменных

.Таким образом, исходное уравнение (П13.1.1) в новых переменных имеет вид:

и после преобразований, получим

с учетом того, что каноническая форма исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 13.2. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.2.1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13.2..2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.2.2) и в исходном (П13.2..1):

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение (П13.2.1)

следовательно, исходное уравнение (П13.2.1) принадлежит к уравнениям параболического типа.

Произведем замену переменных и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение (П13.2.1) и после преобразований, получим

так как .

Таким образом, окончательно каноническая форма исходного уравнения (П13.2.1) имеет вид:

.▲

Пример 13.3. Привести к каноническому виду уравнение:

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в уравнении и в исходном:

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение

следовательно, исходное уравнение принадлежит к уравнениям эллиптического типа.

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

.▲

Пример 13.4. Найти решение уравнения

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

или .

Это степенное уравнение первого порядка распадается на два уравнения

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований

окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

.▲

Приведение исходного уравнения к канонической форме в ряде случаев позволяет достаточно легко найти общее решение исходного уравнения. Поскольку в данном методе используется уравнение характеристик (13.3), то данным метод нахождения общего решения называется методом характеристик. Рассмотрим примеры нахождения решения уравнений методом характеристик.

Пример 13.5. Найти общее решение уравнения:

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в этом уравнении и в исходном:

Найдем в новых переменных

Подставим полученные производные в исходное уравнение, и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

или

Интегрируя дважды это уравнение, получим решение

Возвращаясь к «старым» переменным х и у, запишем окончательно общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.6. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения

(П13.6.1)

, (П13.6.2)

тогда уравнение (П13.6.1) принимает вид

Это однородное линейное уравнение, которое к тому же является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные, найдем

Подставив найденную функцию в (П13.6.2) и проинтегрировав полученное выражение, окончательно получим решение уравнения (П13.6.1)

Обозначив , получим

и, возвращаясь к «старым» переменным получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.7. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

если а ≠ 0, то окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.7.1)

Уравнение (П13.7.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲

Пример 13.8. Найти решение уравнения

которое распадается на два уравнения

для которых семейство характеристик имеет вид

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.8.1)

Уравнение (П13.8.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲

источники:

http://allrefrs.ru/5-30915.html